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1、离离散散型型随随机机变变量量：随随机机变变量量所所有有可可能能取取的的值值是是有限个或可列无限多个。有限个或可列无限多个。为了掌握随机变量为了掌握随机变量X X的统计规律性，我们不仅的统计规律性，我们不仅需要知道随机变量需要知道随机变量X X的取值，而且还应知道的取值，而且还应知道X X取取每个值的概率。每个值的概率。第二节第二节 离散型随机变量及其分布率离散型随机变量及其分布率如如X：取到次品的个数，：取到次品的个数，Y：收到的呼叫数等：收到的呼叫数等都是离散型随机变量，但都是离散型随机变量，但Z：电视机的寿命：电视机的寿命 不不是离散型随机变量。是离散型随机变量。 这样，我们就掌握了这样，
2、我们就掌握了X X这这个随机变量取值的概率规个随机变量取值的概率规律。律。从中任取从中任取3个球个球取到的白球数取到的白球数X是一个随机变量是一个随机变量X X可能取的值是可能取的值是0,1,20,1,2取每个值的概率为取每个值的概率为例例2.1且且 1、定义、定义 设离散型随机变量设离散型随机变量X的所有可能的所有可能取值为取值为xk（k=1, 2, ），称），称X取各个可能值的概率取各个可能值的概率，即事件，即事件X=xk的概率，的概率， PX=xk=pk, （k=1, 2, ） 为为X的的分布律分布律或概率分布或概率分布（Probability distribution）。也。也可以表示
3、为可以表示为Xx1 x2xkpkp1p2pk一、离散型随机变量概率分布的定义一、离散型随机变量概率分布的定义用这两条性质判断用这两条性质判断一个函数是否是一个函数是否是概率分布概率分布（1） pk 0, k1, 2, ;（2） 2. 分布律的性质分布律的性质例例2.2 设随机变量设随机变量X X的概率分布为：的概率分布为：k =0,1,2, ,试确定常数试确定常数a 。解解: : 依据概率分布的性质依据概率分布的性质: :PX =k0, a0从中解得从中解得 。欲使上述函数为概率分布欲使上述函数为概率分布这里用到了幂级数这里用到了幂级数展开式展开式k =0,1,2, ,3. 利用分布律求事件概
4、率利用分布律求事件概率离散型随机变量的分布律不仅给出了离散型随机变量的分布律不仅给出了X=xk 的概率，而且通过它可以求事件的概率，而且通过它可以求事件发生的概率。发生的概率。 由概率的有限可加性有由概率的有限可加性有例例2.3 设袋中有设袋中有5只球，其中有只球，其中有2只白只白3只红。现从只红。现从中任取中任取3只球只球(不放回不放回)，求抽得的白球数，求抽得的白球数X为为k的概的概率率。解解：k可取值可取值0，1，2，求抽得白球数至少为求抽得白球数至少为的概率。的概率。例例2.4 某篮球运动员投中篮圈概率是某篮球运动员投中篮圈概率是0.90.9，求他两，求他两次独立投篮投中次数次独立投篮
5、投中次数X X的分布律。的分布律。解：解：X可取可取0、1、2为值为值 PX =0=(0.1)(0.1)=0.01 PX =1= 2 (0.9)(0.1) =0.18 PX =2=(0.9)(0.9)=0.81 且且 PX =0+ PX =1+ PX =2=11. （0-1）分布）分布若随机变量若随机变量X只取只取0和和1，其分布律为，其分布律为 PXkpk(1p)1k, k0,1 (0p1)则称则称X服从参数为服从参数为p的的（0-1）分布）分布(贝努利分布或两点贝努利分布或两点分布分布) （Two-point distribution）。）。二、二、常见的离散型随机变量的概率分布常见的离散
6、型随机变量的概率分布其分布律也可以写成其分布律也可以写成 凡是随机试验只有两个可能的结果，凡是随机试验只有两个可能的结果，常用常用0 - 1分布描述，如产品是否格、人口性别统分布描述，如产品是否格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等。计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等。应用场合应用场合 200件产品中，有件产品中，有196件是正品，件是正品，4件是次品，件是次品，今从中随机地抽取一件，若规定今从中随机地抽取一件，若规定例例2.5X=1, 1, 取到合格品取到合格品0, 0, 取到不合格品取到不合格品则则 PX=1=196/200=0.98，PX=0=4/200=0.02，
7、 故故X服从参数为服从参数为0.98的两点分布的两点分布。若以若以X表示表示n重重伯努利试验事件伯努利试验事件A发生的次数，则发生的次数，则称称X服从参数为服从参数为n, p的的二项分布二项分布（binomial distribution）。）。记作记作X b（n, p), 其分布律为：其分布律为：2. 伯努利试验、二项分布伯努利试验、二项分布设将试验独立重复进行设将试验独立重复进行n次，每次试验都只有两次，每次试验都只有两种可能的结果种可能的结果A和和 ，设事件，设事件A发生的概率为发生的概率为p，则称这则称这n次试验为次试验为n重重伯努利试验。伯努利试验。 例例2.6 从某大学到火车站途中
8、有从某大学到火车站途中有6个交通岗，假设在各个交个交通岗，假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立，并且遇到红灯的概率都是通岗是否遇到红灯相互独立，并且遇到红灯的概率都是1/3。（1）设）设X为汽车行驶途中遇到的红灯数，求为汽车行驶途中遇到的红灯数，求X的分布律。的分布律。（2）求汽车行驶途中至少遇到）求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率。次红灯的概率。解解: :（1 1）由题意，由题意， X b(6,1/3), 于是于是X的分布律为的分布律为:例例2.7 某人射击的命中率为某人射击的命中率为0.02，他独立射击他独立射击400次次，试求其命中次数不少于试求其命中次数不少于2的概率的概率。解解：设
9、设X表示表示400次独立射击中命中的次数，次独立射击中命中的次数， 则则Xb(400, 0.02)， 故故, PX 2=1-PX=0-PX=1 =1-0.98400-(400)(0.02)(0.98399)=0.9972。例例2.8，见，见P35例例2。注注: : 伯努利概型对试验结果伯努利概型对试验结果没有等可能的要求没有等可能的要求，但，但有下述要求：有下述要求：（1 1）每次试验条件相同；）每次试验条件相同；二项分布描述的是二项分布描述的是n n重伯努利试验中出现重伯努利试验中出现“成功成功”次数次数X X的概率分布。的概率分布。（3 3）各次试验相互独立。）各次试验相互独立。（2 2）
10、每次试验只考虑两个互逆结果每次试验只考虑两个互逆结果A或或 A， 且且P(A)=p，P(A )=1-p； 二项分布二项分布 b(n,p) 和和0-1分布之间的关系分布之间的关系1. .若若X服从服从0-1分布，则分布，则X b(1, p) ；2. 把试验把试验E在相同条件下，在相同条件下，相互相互独立地进行独立地进行n次，记次，记X为为n次独立试验中结果次独立试验中结果A出现的次数，出现的次数，Xi为第为第i次试次试验中结果验中结果A出现的次数，出现的次数，则则Xi b(1, p)，且，且X= X1+X2+Xn b(n, p)。 设试验设试验E只有两个结果：只有两个结果：A和和 A。记记p=P
11、(A),0p13. 泊松泊松( (Poisson) )分布分布定义定义 若离散型随机变量若离散型随机变量X的分布律为的分布律为PXk , , k0, 1, 2, (0),则则称称X服从参数为服从参数为的泊松分布，记为的泊松分布，记为X()。易见易见例例2.9 某一无线寻呼台，每分钟收到寻呼的次数某一无线寻呼台，每分钟收到寻呼的次数X服从参数服从参数 =3 的泊松分布。的泊松分布。求：求：（1）一分钟内恰好收到）一分钟内恰好收到3次寻呼的概率。次寻呼的概率。 （2）一分钟内收到）一分钟内收到2至至5次寻呼的概率次寻呼的概率。解：解：因为因为 X (3)，所以，所以X的分布律为的分布律为 PX=k
12、=(3k/k!)e-3 , k0, 1, 2, .则，（则，（1） PX=3=(33/3!)e-30.2240 （2） P2X5 =PX=2+PX=3+PX=4+PX=5 =(32/2!)+(33/3!)+(34/4!)+(35/5!)e-3 0.7169解解: :例例2.10 某一城市每天发生火灾的次数某一城市每天发生火灾的次数X服从参数服从参数为为0.8的泊松分布。求该城市一天内发生的泊松分布。求该城市一天内发生3次以上次以上火灾的概率。火灾的概率。 PX3=1- PX3 =1-PX=0+ PX=1+PX=2 =1-(0.8 0/0!)+(0.81/1!)+(0.82/2!)e-0.8 0
13、.0474 泊松分布的图形特点：泊松分布的图形特点：Xp p( )历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的。年由法国数学家泊松引入的。泊松定理：泊松定理：对于二项分布对于二项分布b(n,p)，当，当n充分大，充分大，p又很小时，则对任意固定的又很小时，则对任意固定的非负整数非负整数k，有近似公式，有近似公式 PX=k= pk(1-p)n-k 其中其中 。对对例例2.用泊松定理，取用泊松定理，取 =np(400)(0.02)8，故故近似地有近似地有 PX 21 PX0P X11(18)e80.996981。由泊松定理，由泊松
14、定理，n重伯努利试验中稀有事件出现的重伯努利试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布。次数近似地服从泊松分布。我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀稀有事件，有事件，如地震、火山爆发、特大洪水、意外事如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等。故等等。对于离散型随机变量，如果知道了它的概率分布对于离散型随机变量，如果知道了它的概率分布, ,也就知道了该随机变量取值的概率规律。在这个意也就知道了该随机变量取值的概率规律。在这个意义上，我们说义上，我们说离散型随机变量由它的概率分布唯一确定。离散型随机变量由它的概率分布唯一确定。 两点分布、二项分布、泊松
15、分布两点分布、二项分布、泊松分布对非离散型随机变量，其取值不是离散的，有时对非离散型随机变量，其取值不是离散的，有时可以充满整个区间，对于这种更一般的随机变量，可以充满整个区间，对于这种更一般的随机变量， 我们感兴趣的就不是它取到某个具体的数的概率，我们感兴趣的就不是它取到某个具体的数的概率，而是它的取值落在某一个区间上的概率，比如：而是它的取值落在某一个区间上的概率，比如：Px1a。Px1a=1-PX a。为此我们引入随机变量分布函数的概念。为此我们引入随机变量分布函数的概念。设设X是是随机变量随机变量，对任意实数对任意实数x，事件事件X x的概的概率率PX x称为随机变量称为随机变量X的的
16、分布函数分布函数（ Distribution function），），记为记为F(x)，即即 F(x)PX x。易知易知，对任意实数对任意实数a, b (ab)， PaX bPX bPX a F(b)F(a)。一、分布函数的概念一、分布函数的概念1. 这里分布函数的定义对任何随机变量都适用这里分布函数的定义对任何随机变量都适用。2. 分布函数分布函数F(x)P X x 是一个普通的函数，是一个普通的函数，它的它的自变量是全体实数自变量是全体实数。掌握了。掌握了X的分布函数就的分布函数就掌握了掌握了X在在(, +)上的概率分布情况。上的概率分布情况。 注注: : 1、单调不减性：单调不减性： 若
17、若x1x2，则则F(x1) F(x2);3、右连续性：对任意实数右连续性：对任意实数x，二、分布函数的性质二、分布函数的性质2、归一归一 性：性： 对任意实数对任意实数x，0 F(x) 1，且且这三这三个性质是个性质是分布函数的充分必要性质分布函数的充分必要性质例例2.11 设随机随机变量量X具分布律具分布律如右表，如右表，试求出求出X的的分布函数及分布函数及PX1, P0.5X1.5, P1X2。解解： X012Pk0.10.60.3PX1=F(1)=0.7, P0.5X 1.5=F(1.5)-F(0.5)=0.7-0.1=0.6,P1 X 2=F(2)-F(1)+PX=1=1-0.7+0.6=0.9 一般地，对离散型随机变量一般地，对离散型随机变量 XPX= xkpk, k1, 2, 其分布函数为其分布函数为 例例2.12 向向0,1区区间随机抛一随机抛一质点，以点，以X表示表示质点坐点坐标。假定。假定质点落在点落在0,1区区间内任一子区内任一子区间内的概率内的概率与区与区间长成正比成正比，求，求X的分布函数的分布函数。当当x1时，时，Xx=S, 故故F(x)=1。用分布函数描述随机变量不如分布律直观，用分布函数描述随机变量不如分布律直观，对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？a ab b
