小学奥数举一反三三年级

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1、 按照一定次序排列起来的一列数，叫做数列。如按照一定次序排列起来的一列数，叫做数列。如自然数列：自然数列：1 1，2 2，3 3，4 4，双数列：双数列：2 2，4 4，6 6，8 8，我们研究数列，目的就是为了发现数列中数排列我们研究数列，目的就是为了发现数列中数排列的规律，并依据这个规律来填写空缺的数。的规律，并依据这个规律来填写空缺的数。 按照一定的顺序排列的一列数，只要从连续的几按照一定的顺序排列的一列数，只要从连续的几个数中找到规律，那么就可以知道其余所有的数。寻个数中找到规律，那么就可以知道其余所有的数。寻找数列的排列规律，除了从相邻两数的和、差考虑，找数列的排列规律，除了从相邻两

2、数的和、差考虑，有时还要从积、商考虑。善于发现数列的规律是填数有时还要从积、商考虑。善于发现数列的规律是填数的关键。的关键。 【例题【例题1】 在括号内填上合适的数。在括号内填上合适的数。 （1 1）3 3，6 6，9 9，1212，（，（ ），（），（ ） （2 2）1 1，2 2，4 4，7 7，1111，（，（ ），（），（ ） （3 3）2 2，6 6，1818，5454，（，（ ），（），（ ） 【思路导航】【思路导航】 在（在（1 1）列数中，相邻的两个数的差都是）列数中，相邻的两个数的差都是3 3，即每一个数加，即每一个数加上上3 3都等于后面的数。根据这一规律，括号里应填的数为

3、：都等于后面的数。根据这一规律，括号里应填的数为：12+3=1512+3=15、15+3=1815+3=18。 在（在（2 2）列数中，第）列数中，第2 2个数比第个数比第1 1个数增加个数增加1 1，第，第3 3个数比第个数比第2 2个数增加个数增加2 2，第，第4 4个数比第个数比第3 3个数增加个数增加33故空格里面的两个数故空格里面的两个数分别为：分别为：11+5=1611+5=16，16+6=2216+6=22。 在（在（3 3）列数中，相邻的两个数的积都是）列数中，相邻的两个数的积都是3 3，即每一个数乘，即每一个数乘以以3 3都等于后面的数。根据这一规律，括号里应填的数为：都等于

4、后面的数。根据这一规律，括号里应填的数为：543=162543=162、1623=4861623=486。 【练习【练习1】 在括号内填上合适的数。在括号内填上合适的数。 （1 1）2 2，4 4，6 6，8 8，1010，（，（ ），（），（ ） （2 2）1 1，2 2，5 5，1010，1717，（，（ ），（），（ ） （3 3）2 2，8 8，3232，128128，（，（ ），（），（ ） （4 4）1 1，5 5，2525，125125，（，（ ），（），（ ）【例题【例题2】 先找出规律，再在括号里填上合适的数。先找出规律，再在括号里填上合适的数。 （1 1）1515，2 2，

5、1212，2 2，9 9，2 2，（，（ ），（），（ ） （2 2）2121，4 4，1818，5 5，1515，6 6，（，（ ），（），（ ）【思路导航】【思路导航】 在（在（1 1）列数中，通过观察可以发现这是分为单数和双数）列数中，通过观察可以发现这是分为单数和双数两个不同的数列。其中双数列都为两个不同的数列。其中双数列都为2 2，而单数列是前数比后数，而单数列是前数比后数大大3 3，根据这一规律，括号里应填的数为：，根据这一规律，括号里应填的数为：9-3=69-3=6、2 2。 在（在（2 2）列数中，通过观察可以发现这也是分为单数和双）列数中，通过观察可以发现这也是分为单数和双数

6、两个不同的数列。其中单数列是前数比后数大数两个不同的数列。其中单数列是前数比后数大3 3，双数列都，双数列都是后数比前数大是后数比前数大1 1，根据这一规律，括号里应填的数为：，根据这一规律，括号里应填的数为：15-15-3=123=12、6+1=76+1=7。【练习【练习2】 按规律填数。按规律填数。 （1）2，1，4，1，6，1，（，（ ），（），（ ） （2）3，2，9，2，27，2，（，（ ），（），（ ） （3）18，3，15，4，12，5，（，（ ），（），（ ） （4）1，15，3，13，5，11，（，（ ），（），（ ） （5）12，1，10，1，8，1，（，（ ），（），（

7、） 【例题【例题3】 根据前面图形里的数的排列规律，填入适当的数。根据前面图形里的数的排列规律，填入适当的数。 1、 2、 510914712111691413 ？9437148428164【思路导航】【思路导航】 经仔细观察、分析表格中的数可以发现：经仔细观察、分析表格中的数可以发现： 1 1、每一列下面的数与上面的数的差均为、每一列下面的数与上面的数的差均为4 4，即，即9-5=49-5=4，14-14-10=410=4；11-7=411-7=4，16-12=416-12=4；13-9=413-9=4。依此规律，空格中应填的。依此规律，空格中应填的数为：数为：14+4=1814+4=18。

8、 2 2、左下角数与右上角数的商与上面数的乘积即为中间数。、左下角数与右上角数的商与上面数的乘积即为中间数。如如824=16824=16； 847=14 847=14。依此规律，空格中应填的数为：。依此规律，空格中应填的数为： 439=12439=12。【练习【练习3】 找出排列规律，在空缺处填上适当的数。找出排列规律，在空缺处填上适当的数。 1、 2、 4892768287375981210 1412 1614 把一些书平均分给几个小朋友，要使每个小朋友分得的本把一些书平均分给几个小朋友，要使每个小朋友分得的本数最多，这些书分到最后会出现什么情况呢？一种是全部分完，数最多，这些书分到最后会出

9、现什么情况呢？一种是全部分完，还有一种是有剩余，并且剩余的本数必须比小朋友的人数少，还有一种是有剩余，并且剩余的本数必须比小朋友的人数少，否则还可以继续分下去。每次除得的余数必须比除数小，这就否则还可以继续分下去。每次除得的余数必须比除数小，这就是有余数除法计算中特别要注意的。是有余数除法计算中特别要注意的。 解这类题的关键是要先确定余数，如果余数已知，就可以解这类题的关键是要先确定余数，如果余数已知，就可以确定除数，然后再根据被除数与除数、商和余数的关系求出被确定除数，然后再根据被除数与除数、商和余数的关系求出被除数。除数。 在有余数的除法中，要记住：（在有余数的除法中，要记住：（1 1）余

10、数必须小于除数；）余数必须小于除数；（2 2）被除数商）被除数商除数余数。除数余数。 【例题【例题1】 668 8 ，括号内被除数最大是几？最小，括号内被除数最大是几？最小是几？是几？ 【思路导航】【思路导航】 已知商为已知商为8 8、除数为、除数为6 6，则余数最大为，则余数最大为5 5、最小为、最小为1 1，即可求，即可求出最大的被除数为出最大的被除数为68685 55353，最小的被除数为，最小的被除数为68681 14949答：被除数最大是答：被除数最大是5353，最小是，最小是4949。 【练习【练习1】 (1)(1)下面题中被除数最大可填下面题中被除数最大可填_，最小可填，最小可填

11、_。 883 3 (2) (2)下面题中被除数最大可填下面题中被除数最大可填_，最小可填，最小可填_。 447 7 (3) (3)下题中要使除数最小，被除数应为下题中要使除数最小，被除数应为_。 124 124 【例题【例题2】 算式算式 8 中，被除数最小是几中，被除数最小是几？ 【思路导航】【思路导航】 题中只告诉我们商是题中只告诉我们商是8 8，要使被除数最小，那么只要除数和，要使被除数最小，那么只要除数和余数小就行。除数最小为余数小就行。除数最小为2 2，余数最小为，余数最小为1 1，那么被除数则为，那么被除数则为82821 11717。【练习【练习2】 (1)(1)下面算式中，被除数

12、最小是几？下面算式中，被除数最小是几？ 44 77 99 (2) (2)下面算式中商和余数相等，被除数最小是几？下面算式中商和余数相等，被除数最小是几？ 33 66 【例题【例题3】 算式算式28 4中，除数和商分别是中，除数和商分别是_和和_。 【思路导航】【思路导航】 根据根据“被除数商被除数商除数余数除数余数”，可以得知，可以得知“商商除数除数被除数余数被除数余数”，所以本题中商，所以本题中商除数除数28284 42424。这两。这两个数可能是个数可能是1 1和和2424，2 2和和1212，3 3和和8 8，4 4和和6 6，又因为余数为，又因为余数为4 4，则，则除数不得小于除数不得

13、小于4 4，因此除数可以是，因此除数可以是2424，1212，8 8，6,6,商分别为商分别为1 1，2 2，3 3，4 4。 答：除数和商分别是答：除数和商分别是2424，1 1；1212，2 2；8 8，3 3；6 6，4 4。 【练习【练习3】 （1 1）下面算式中，除数和商各是几？）下面算式中，除数和商各是几？ 22 22 4 4 65 65 22 37 37 77 48 48 66 （2 2）149149除以一个两位数，余数是除以一个两位数，余数是5,5,请写出所有这样的两请写出所有这样的两位数。位数。【例题【例题4】 算式算式 77 中，商和余数相等，被中，商和余数相等，被除数可以

14、是哪些数？除数可以是哪些数？ 【思路导航】【思路导航】 题目中告诉我们除数是题目中告诉我们除数是7 7，商和余数相等，因为余数必须，商和余数相等，因为余数必须比除数小，所以余数和商可为比除数小，所以余数和商可为1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6。这样被除数。这样被除数就可以求出来了。就可以求出来了。 71 711 18 728 722 216 7316 733 32424 74 744 432 7532 755 540 7640 766 64848 答：被除数可以是答：被除数可以是8 8，1616，2424，3232，4040，4848。【练习【练习4】 (1) (1) 下列算式中

15、，商和余数相等，被除数可以是哪些数？下列算式中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？ 66 55 44 (2) (2)算式算式 99 中，商和余数相等，中，商和余数相等，被除数最大是被除数最大是_。 (3) (3)算式算式 44中，除数和商相等，中，除数和商相等，被除数最小是几？被除数最小是几？ 被人称为被人称为“数学王子数学王子”的高斯在年仅的高斯在年仅8 8岁时，就以一种非岁时，就以一种非常巧妙的方法又快又好地算出了常巧妙的方法又快又好地算出了1+2+3+4+99+1001+2+3+4+99+100的结果。的结果。小高斯是用什么办法算得这么快呢？原来，他用了一种简便的小高斯是用什么办法算得这

16、么快呢？原来，他用了一种简便的方法：先配对再求和。方法：先配对再求和。 数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最后一项）叫末项，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项后一项）叫末项，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。数则称为这个数列的公差。 计算等差数列的和，可以用以下关系式：计算等差数列的和，可以用以下关系式： 等差数列的和（首项末项）等差数列的和（首项末项）项数项数22 末项首项公差末项首项公差（项数（项

17、数1 1） 项数（末项首项）项数（末项首项）公差公差1 1【例题【例题1】 你有好办法算一算吗？你有好办法算一算吗？ 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10= 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（）（） 【思路导航】【思路导航】 很很容易看出这是一个等差数列，公差为容易看出这是一个等差数列，公差为1 1，首项是，首项是1 1，末项，末项是是1010。依据前面的公式：。依据前面的公式： 项数（末项首项）项数（末项首项）公差公差1 1 （10101 1）111 11010 等差数列的和（首项末项）等差数列的和（首项末项）项数项数22 （1+101+10） 10 2 10 2 5555 答

18、：答：1+2+3+4+5+6+7+8+9+101+2+3+4+5+6+7+8+9+10（5555） 【练习【练习1】 速算。速算。 （1 1） 1+2+3+4+5+20 1+2+3+4+5+20 （2 2）1+2+3+4+99+1001+2+3+4+99+100 （3 3） 21+22+23+24+100 21+22+23+24+100 （4 4）21+23+25+27+29+31+3321+23+25+27+29+31+33 （5 5） 312+315+318+321+324 312+315+318+321+324 【例题【例题2】 有一堆木材叠堆在一起，一共是有一堆木材叠堆在一起，一共是1

19、010层，第层，第1 1层有层有1616根，第根，第2 2层有层有1717根，根，下面每层比上层多一根，这堆木材共有多少下面每层比上层多一根，这堆木材共有多少根？根？【思路导航】【思路导航】 这也是一个等差数列，公差为这也是一个等差数列，公差为1 1，首项是，首项是1616，项数是，项数是1010。依据前面的公式：依据前面的公式： 项数项数 （末项首项）（末项首项）公差公差1 1 末项（项数末项（项数1 1） 公差首项公差首项 末项（末项（10 10 1 1 ） 1 1 16162525 等差数列的和等差数列的和 （首项末项）（首项末项）项数项数22 （1616 25 25） 10 2 10

20、2 205205 答：这堆木材共有答：这堆木材共有205205根。根。【练习【练习2】 （1 1）体育馆的东区共有）体育馆的东区共有3030排座位，呈梯形，第排座位，呈梯形，第1 1排有排有1010个个座位，第座位，第2 2排有排有1111个座位，个座位，这个体育馆东区共有多少个这个体育馆东区共有多少个座位？座位？ （2 2）有一串数，第）有一串数，第1 1个数是个数是1010，以后每个数比前一个数大，以后每个数比前一个数大4,4,最后一个数是最后一个数是9090，这串数连加的和是多少？，这串数连加的和是多少？ （3 3）有一个钟，一点钟敲）有一个钟，一点钟敲1 1下，两点钟敲下，两点钟敲2

21、2下，下，十二点十二点钟敲钟敲1212下，分钟指向下，分钟指向6 6敲敲1 1下，这个钟一昼夜敲多少下？下，这个钟一昼夜敲多少下？【例题【例题3】 计算计算1000-11-89-12-88-13-87-14-86-15-85-16-84-17-1000-11-89-12-88-13-87-14-86-15-85-16-84-17-83-18-82-19-8183-18-82-19-81 【思路导航】【思路导航】 这题相对较复杂些。仔细观察，上列可以变成如下：这题相对较复杂些。仔细观察，上列可以变成如下： 1000 1000 （11 11 1212 13 141515 1616 1717 181

22、8 19 818282 83 84 85 86 87 88） 括号里有两个等差括号里有两个等差数列。一个数列的首项是数列。一个数列的首项是1111，末项是，末项是1919；另一数列的首项是；另一数列的首项是8181，末项是，末项是8888，公差均为，公差均为1 1。项数分别为。项数分别为9 9，8 8。依据前面的公式：等差数列的和。依据前面的公式：等差数列的和 （首项末项）（首项末项）项项数数22 两列数的和分别为：（两列数的和分别为：（1111 19 19） 9 2 9 2 135135 （8181 88 88） 8 2 8 2 676676 则则1000 1000 （135 135 676

23、676） 189189 【练习【练习3】 （1 1）1000-1-9-2-8-3-7-4-6-5-5-6-4-7-3-8-2-9-11000-1-9-2-8-3-7-4-6-5-5-6-4-7-3-8-2-9-1 （2 2）1000-81-11-82-12-83-13-84-14-85-15-86-16-87-1000-81-11-82-12-83-13-84-14-85-15-86-16-87-17-88-18-89-1917-88-18-89-19 （3 3） 2001-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10-11+12-13+14-15+16 2001-1+2-3+4-5+6-7+8-

24、9+10-11+12-13+14-15+16 在进行加减运算时，为了又快又好，除了要熟练地掌握计在进行加减运算时，为了又快又好，除了要熟练地掌握计算法则外，还需要掌握一些巧算的方法。加减法的巧算主要是算法则外，还需要掌握一些巧算的方法。加减法的巧算主要是运用运用“凑整凑整”的方法，把接近整十、整百、整千的数看做所接的方法，把接近整十、整百、整千的数看做所接近的数进行简算。近的数进行简算。 进行加减巧算时，凑整之后，对于原数与整十、整百、整进行加减巧算时，凑整之后，对于原数与整十、整百、整千千相差的数，要根据相差的数，要根据“多加要减去，少加要再加，多减要多加要减去，少加要再加，多减要加上，少减

25、要再减加上，少减要再减”的原则进行处理。另外，可以结合加法交的原则进行处理。另外，可以结合加法交换律、结合律以及减法的性质进行凑整，从而达到简算的目的。换律、结合律以及减法的性质进行凑整，从而达到简算的目的。 【例题】【例题】 你有好办法迅速算出结果吗？你有好办法迅速算出结果吗？ 502+799-298-98 502+799-298-98 【思路导航】【思路导航】 按照按照“凑整凑整”的方法，的方法，502+799-298-98502+799-298-98可变为：可变为： 500+2+800-1- 500+2+800-1-（300 -2300 -2）- -（100-2100-2） =500+8

26、00-300-100+2-1+2+2 =500+800-300-100+2-1+2+2 =900+6-1 =900+6-1 =905 =905【练习】【练习】 （1 1） 308+203-399-97 308+203-399-97 （2 2） 99999+9999+999+99+9 99999+9999+999+99+9 （3 3） 1999+199+19 1999+199+19 （4 4） 375+483+525+617 375+483+525+617 同学们，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏同学们，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形、长方形地数出线段

27、、角、三角形、长方形那就必须要有次序、有那就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。 要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。首先要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，然后再数出要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。【例题【例题1】 数出下图中有多少条线段？数出下图中有多少条线段？ _ D_ A_ B_ C【思路导航】【思路导航】 方法一：我们可以采用以线段左端点分类数的

28、方法。以方法一：我们可以采用以线段左端点分类数的方法。以A A点为左端点的线段有：点为左端点的线段有：ABAB、ACAC、AD 3AD 3条；以条；以B B点为左端点的线点为左端点的线段有：段有：BCBC、BD 2BD 2条；以条；以C C点为左端点的线段有：点为左端点的线段有：CD 1CD 1条。所以，条。所以，图中共有线段图中共有线段3+2+1=63+2+1=6（条）。（条）。 方法二：把图中线段方法二：把图中线段 AB AB、BCBC、CDCD看做基本线段来数，那看做基本线段来数，那么，由么，由1 1条基本线段构成的线段有：条基本线段构成的线段有：ABAB、BCBC、CD 3CD 3条；

29、由条；由2 2条基条基本线段构成的线段有本线段构成的线段有:AC:AC、BD 2BD 2条；由条；由3 3条基本线段构成的线段条基本线段构成的线段有：有：AD 1AD 1条。所以，图中一共有条。所以，图中一共有3+2+1=63+2+1=6（条）线段。（条）线段。 【练习【练习1】 （1 1）数出下图中有多少条线段？数出下图中有多少条线段？ （2 2）数出下图中有几个长方形？数出下图中有几个长方形？_ E_ A_ B_ C_ D【例题【例题2】 数出图中有几个角？数出图中有几个角？ _ O_ D_ C_ B_ A【思路导航】【思路导航】 数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。数角的个数可以采

30、用与数线段相同的方法来数。 方法一：以方法一：以OAOA为一边的角有：为一边的角有：AOBAOB、AOCAOC、AOD 3AOD 3个；个；以以OBOB为一边的角还有：为一边的角还有：BOCBOC、BOD 2BOD 2个；以个；以OCOC为一边的角还为一边的角还有：有：COD 1COD 1个。所以，图中共有角个。所以，图中共有角3+2+1=63+2+1=6（个）。（个）。 方法二：把图中方法二：把图中AOBAOB、BOCBOC、CODCOD看做基本角来数，看做基本角来数，那么，由那么，由1 1个基本角构成的角有：个基本角构成的角有：AOBAOB、BOCBOC、COD 3COD 3个；个；由由2

31、 2个基本角构成的角有个基本角构成的角有: AOC: AOC、BOD 2BOD 2个；由个；由3 3个基本角构个基本角构成的角有：成的角有：AOD 1AOD 1个。所以，图中一共有个。所以，图中一共有3+2+1=63+2+1=6（个）角。（个）角。 【练习【练习2】 数出图中有几个角？数出图中有几个角？ （1 1） （2 2） _ O_ C_ B_ A_ E_ D_ O_ C_ B_ A【例题【例题3】 数出下图中有几个三角形？数出下图中有几个三角形？ _ P_ D_ C_ B_ A【思路导航】【思路导航】 方法一：我们可以采用按边分类数的方法。以方法一：我们可以采用按边分类数的方法。以PAP

32、A为边的三为边的三角形有：角形有：PABPAB、PACPAC、PADPAD、3 3个；以个；以PBPB为边的三角形还有：为边的三角形还有：PBCPBC、PBD 2PBD 2个；以个；以PCPC为边的三角形还有：为边的三角形还有：PCD 1PCD 1个。所个。所以，图中共有三角形以，图中共有三角形3+2+1=63+2+1=6（个）。（个）。 方法二：我们发现，要数出图中三角形的个数，只需数出方法二：我们发现，要数出图中三角形的个数，只需数出线段线段 AD AD中包含几条线段就可以了，即中包含几条线段就可以了，即3+2+1=63+2+1=6（个）。所以图（个）。所以图中共有中共有6 6个三角形。个

33、三角形。 【练习【练习3】 数出图中共有多少个三角形？数出图中共有多少个三角形？ （1 1） （2 2） _ F_ E_ D_ C_ B_ A_ K_ G_ I_ H_ G_ F_ E_ D_ C_ B_ A【例题【例题4】 数出下图中有多少个长方形？数出下图中有多少个长方形？ _ D_ C_ B_ A【思路导航】【思路导航】 数图中有多少个长方形和数三角形的方法一样，长方形是数图中有多少个长方形和数三角形的方法一样，长方形是由长、宽两对线段围成，线段由长、宽两对线段围成，线段 CD CD上有上有3+2+1=63+2+1=6（条）线段，其（条）线段，其中每一条与中每一条与ACAC中一条线段对应

34、，分别作为长方形的长和宽，这中一条线段对应，分别作为长方形的长和宽，这里共有里共有61=661=6（个）长方形，而（个）长方形，而ACAC上共有上共有2+1=32+1=3（条）线段也（条）线段也就有就有63=1863=18（个）长方形。（个）长方形。 它的计算公式为：它的计算公式为： 长方形的总数长方形的总数= =长边线段的总数长边线段的总数宽边线段的总数宽边线段的总数 （3+2+13+2+1）（2+12+1）=18=18（个）（个） 答：图中共有答：图中共有1818个长方形。个长方形。 【练习【练习4】 （1 1）数出下图中有多少个长方形？）数出下图中有多少个长方形？ （2 2）数出右图中有

35、多少个正方形？）数出右图中有多少个正方形？ _ D_ C_ B_ A【例题【例题5】 有有5 5个同学，每两个人握手一次，一共要握手多少次？个同学，每两个人握手一次，一共要握手多少次？ 【思路导航】【思路导航】 这道题可以用数线段的方法来解答。根据题意，画出线段这道题可以用数线段的方法来解答。根据题意，画出线段图，每一个端点代表一个同学。图，每一个端点代表一个同学。 从上图可以看出，第从上图可以看出，第1 1个同学要与其余个同学要与其余4 4个同学握手共握手个同学握手共握手4 4次；第次；第2 2个同学还要与其余个同学还要与其余3 3个同学握手共握手个同学握手共握手3 3次，第次，第3 3个同

36、个同学要与其余学要与其余2 2个同学握手共握手个同学握手共握手2 2次；第次；第4 4个同学还要与最后个同学还要与最后1 1个个同学握手共握手同学握手共握手1 1次。次。 所以，一共要握手所以，一共要握手4+3+2+1=104+3+2+1=10（次）（次） _ 5_ 4_ 3_ 2_ 1【练习【练习5】 （1 1）银海学校三年级有）银海学校三年级有9 9个班，每两个班要比赛拔河一次，个班，每两个班要比赛拔河一次，这样一共要拔河几次？这样一共要拔河几次？ （2 2）有）有1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，7 7，8 8等等8 8个数字，能组成多少个个数字，能组成多少个不同的两位数？

37、不同的两位数？ 爸爸给晶晶出了一道题：爸爸给晶晶出了一道题：“小朋友们植树，先植一棵树，小朋友们植树，先植一棵树，以后每隔以后每隔3 3米植一棵，已经植了米植一棵，已经植了9 9棵，问第一棵和第九棵树相距棵，问第一棵和第九棵树相距多少米？多少米？”晶晶随口答道：晶晶随口答道：“27“27米。米。”同学们，晶晶答对了吗同学们，晶晶答对了吗？ 这一类应用题我们通常称为这一类应用题我们通常称为“植树问题植树问题”。解答这类问题。解答这类问题的关键是要弄清总距离、间隔长和棵数三者之间的关系。解答的关键是要弄清总距离、间隔长和棵数三者之间的关系。解答植树问题先要考虑植树的方式，一般在不封闭的线路上植树，

38、植树问题先要考虑植树的方式，一般在不封闭的线路上植树，棵数总距离棵数总距离间隔长间隔长1 1；在封闭的线路上植树，棵数总；在封闭的线路上植树，棵数总距离距离间隔长。间隔长。 另外，生活中还有一些问题，可以用植树问题的方法来解另外，生活中还有一些问题，可以用植树问题的方法来解答。比如锯木头、爬楼梯问题等等，这时解题的关键是要将题答。比如锯木头、爬楼梯问题等等，这时解题的关键是要将题目中的条件和问题与植树问题中的目中的条件和问题与植树问题中的“总距离总距离”、“间隔长间隔长”、“棵数棵数”对应起来。对应起来。 【例题【例题1】 小朋友们在路的一边植树，先植一棵树，以后每隔小朋友们在路的一边植树，先

39、植一棵树，以后每隔3 3米植米植一棵，已经植了一棵，已经植了9 9棵，问第一棵和第九棵树相距多少米？棵，问第一棵和第九棵树相距多少米？ 【思路导航】【思路导航】 要得出正确的结果，我们可以画出如下的示意图：要得出正确的结果，我们可以画出如下的示意图： 根据根据“已经植了已经植了9 9棵棵”，从图中可以看出，第一棵树和第，从图中可以看出，第一棵树和第九棵树之间的间隔是九棵树之间的间隔是9-1=89-1=8（个），每个间隔是（个），每个间隔是3 3米，所以第一米，所以第一棵和第九棵相距棵和第九棵相距38=2438=24（米），具体列式如下：（米），具体列式如下： 3 3（9-19-1） =38=2

40、4 =38=24（米）（米） 答：第一棵和第九棵树相距答：第一棵和第九棵树相距2424米。米。_ 0_ 3 ?_ 6 ?_ 9 ?_ 12?_ 15?_ 18?_ 21?_ 24?_ 9 ?_ 8 ?_ 7 ?_ 6 ?_ 5 ?_ 4 ?_ 3 ?_ 2 ?_ 1 ?【练习【练习1】 （1 1）在路的一侧插彩旗，每隔）在路的一侧插彩旗，每隔5 5米插一面，从起点到终点米插一面，从起点到终点共插了共插了2020面，这条道路有多长？面，这条道路有多长？ （2 2）在学校的走廊两边，每隔）在学校的走廊两边，每隔4 4米放一盆菊花，从起点到米放一盆菊花，从起点到终点一共放了终点一共放了2020盆，这

41、条走廊长多少米？盆，这条走廊长多少米？ 【例题【例题2】 在一条长在一条长42米的大路两侧栽树，从起点到终点一共栽了米的大路两侧栽树，从起点到终点一共栽了14棵，已知相邻两棵树之间的距离都相等，问相邻两棵树之间棵，已知相邻两棵树之间的距离都相等，问相邻两棵树之间的距离是多少米？的距离是多少米？ 【思路导航】【思路导航】 根据根据“在路的两侧共栽了在路的两侧共栽了1414棵树棵树”这个条件，我们可以先这个条件，我们可以先求出每一侧栽了求出每一侧栽了142=7142=7（棵）树，那么从第（棵）树，那么从第1 1棵树到第棵树到第7 7棵树棵树之间的间隔是之间的间隔是7-1=67-1=6（个）。（个）

42、。4242米长的大路平均分成米长的大路平均分成6 6段，每段段，每段是是426=7426=7（米）。（米）。 列式如下：列式如下： 42 42（142-1142-1）=42=42（7-17-1）=426 =7=426 =7（米）（米） 答：相邻两棵树之间的距离是答：相邻两棵树之间的距离是7 7米。米。【练习【练习2】 在公园一条长在公园一条长3030米的路的两侧放椅子，从起点到终点共放米的路的两侧放椅子，从起点到终点共放了了1212把椅子，相邻两把椅子的距离相等，相邻两把椅子之间把椅子，相邻两把椅子的距离相等，相邻两把椅子之间相距多少米？相距多少米？ 【例题【例题3】 在一条长在一条长4242

43、米的大路两侧栽树，从起点到终点一共栽了米的大路两侧栽树，从起点到终点一共栽了1414棵，已知相邻两棵树之间的距离都相等，问相邻两棵树之间的棵，已知相邻两棵树之间的距离都相等，问相邻两棵树之间的距离是多少米？距离是多少米？ 【思路导航】【思路导航】 我们先求出钢管被锯开了我们先求出钢管被锯开了284=7284=7（处），因而被锯开的（处），因而被锯开的段数有段数有7+1=87+1=8（段）。（段）。 列式如下：列式如下： 284+1 =7+1 =8 284+1 =7+1 =8（段）（段） 答：这根钢管被锯成了答：这根钢管被锯成了8 8段。段。 【练习【练习3】 一根圆木锯成一根圆木锯成2 2米长

44、的小段，一共花了米长的小段，一共花了1212分钟。已知每锯分钟。已知每锯下一段要下一段要3 3分钟，这根圆木长多少米？分钟，这根圆木长多少米？ 【例题【例题4】 甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到4 4楼时，乙恰好跑到楼时，乙恰好跑到3 3楼，楼，照这样计算，甲跑到照这样计算，甲跑到1616楼时，乙跑到了多少楼？楼时，乙跑到了多少楼？ 【思路导航】【思路导航】 解答爬楼梯问题时，不能以楼层进行计算，而要用楼梯段解答爬楼梯问题时，不能以楼层进行计算，而要用楼梯段数进行计算，因为第一层楼是不用爬的，数进行计算，因为第一层楼是不用爬的，“楼层数楼层数-1”-1”才是要才是要走的

45、走的“楼梯段数楼梯段数”，根据题意，根据题意“甲跑到甲跑到4 4楼时，乙恰好跑到楼时，乙恰好跑到3 3楼楼”，实际上是说，实际上是说“甲跑甲跑3 3段楼梯与乙跑段楼梯与乙跑2 2段楼梯所用的时间相同。段楼梯所用的时间相同。”照这样计算，甲跑到照这样计算，甲跑到1616楼，也就是跑了楼，也就是跑了1515段楼梯，应是甲跑段楼梯，应是甲跑3 3段楼梯所用的时间的段楼梯所用的时间的5 5倍，在同一时间里，乙跑的楼梯段数也倍，在同一时间里，乙跑的楼梯段数也是他跑是他跑2 2段楼梯的段楼梯的5 5倍，也就是这时乙跑了倍，也就是这时乙跑了1010段楼梯，即他跑到段楼梯，即他跑到了第了第10+1=1110+

46、1=11（楼）。列式如下：（楼）。列式如下： （3-13-1）（16-116-1）（4-14-1）+1 =25+1 =11+1 =25+1 =11（楼）（楼） 答：甲跑到答：甲跑到1616楼时，乙跑到了楼时，乙跑到了1111楼。楼。 【练习【练习4】 小明和小红两人爬楼梯比赛，小明跑到第小明和小红两人爬楼梯比赛，小明跑到第4 4层时，小红跑层时，小红跑到第到第5 5层，照这样计算，当小明跑到第层，照这样计算，当小明跑到第1616层时，小红跑到了层时，小红跑到了第几层？第几层？ 【例题【例题5】 一个圆形跑道长一个圆形跑道长300300米，沿跑道周围每隔米，沿跑道周围每隔6 6米插一面红旗，米插

47、一面红旗，每两面红旗中间插一面黄旗，跑道周围各插了多少面红旗和黄每两面红旗中间插一面黄旗，跑道周围各插了多少面红旗和黄旗？旗？ 【思路导航】【思路导航】 在圆周上插旗，插的面数正好等于分成的段数，所以插了在圆周上插旗，插的面数正好等于分成的段数，所以插了红旗红旗3006=503006=50（面），由于每两面红旗中间插一面黄旗，所（面），由于每两面红旗中间插一面黄旗，所以黄旗的面数就等于红旗的面数，也是以黄旗的面数就等于红旗的面数，也是5050面。面。 3006=50 3006=50（面）（面） 答：跑道周围插了答：跑道周围插了5050面红旗和面红旗和5050面黄旗。面黄旗。【练习【练习5】 （

48、1 1）有一个正方形水池，周长是）有一个正方形水池，周长是200200米。如果沿着水池周米。如果沿着水池周围每隔围每隔1010米装一盏红灯，再在相邻的两盏红灯中间等距离地米装一盏红灯，再在相邻的两盏红灯中间等距离地装装4 4盏黄灯。问水池周围一共装了几盏红灯？几盏黄灯？盏黄灯。问水池周围一共装了几盏红灯？几盏黄灯？ （2 2）一条公路长）一条公路长480480米，在两旁植树，两端都植。每隔米，在两旁植树，两端都植。每隔1212米植一棵樟树，两棵樟树中间又等距离地栽了米植一棵樟树，两棵樟树中间又等距离地栽了3 3棵柳树。问棵柳树。问樟树和柳树各栽了多少棵？樟树和柳树各栽了多少棵？ 数学课上，老师

49、布置了一道题：数学课上，老师布置了一道题： =28 =28 = = =（ ） = =（ ） 要得出正确的结论，就要进行分析、推理。学会了推理，要得出正确的结论，就要进行分析、推理。学会了推理，能使你变得更聪明，头脑更灵活。数学上有许多重大的发现和能使你变得更聪明，头脑更灵活。数学上有许多重大的发现和疑难问题的解决都离不开推理。疑难问题的解决都离不开推理。 解答这类推理题时，要求小朋友仔细观察，认真分析等式解答这类推理题时，要求小朋友仔细观察，认真分析等式中几个图形之间的关系，寻找解题的突破口，然后再利用等量中几个图形之间的关系，寻找解题的突破口，然后再利用等量代换、消去等方法来进行解答。代换、

50、消去等方法来进行解答。 【例题【例题1】 下式中，下式中，和和各代表几？各代表几？ =28 =28 = = =（ ） = =（ ） 【思路导航】【思路导航】 根据根据=28=28，我们可以得出，我们可以得出=28=28；由；由=得到得到 = 28 - = 28 -，即，即 =28 =28。 则则等于等于284=7284=7；由；由=可求出可求出=7=77 77=217=21。 【练习【练习1】 （1 1）=18 =18 = = =（ ） = =（ ） （2 2）=25 =25 = = =（ ） = =（ ） （3 3）=36 =36 = = =（ ） = =（ ）【例题【例题2】 下式中，下式

51、中，和和各代表几？各代表几？ =36 =4 =36 =4 = =（ ） = =（ ） 【思路导航】【思路导航】 根据根据=4=4可知：如可知：如为为1 1份，则份，则是是4 4份，即份，即=4=4；又根据又根据=36=36，可以得到，可以得到4=364=36，即，即=9=9，进一，进一步得到步得到=3=3，=4=43=12=4=43=12。 【练习【练习2】 （1 1）和和各表示几？各表示几？ =16 =4 =16 =4 = =（ ） = =（ ） （2 2）想想，填填。）想想，填填。 =20 = =20 = = =（ ） = =（ ） （3 3）和和各代表几？各代表几？ = = =16 =1

52、6 = =（ ） = =（ ）【例题【例题3】 下式中，下式中，和和各代表几？各代表几？ =16 =16 =14=14 = =（ ） = =（ ） 【思路导航】【思路导航】 方法一：方法一： 我们知道等式两边加上相同的数等式仍然成立。我们知道等式两边加上相同的数等式仍然成立。 故故=16=16可变为：可变为： =16 =16 把把=14=14代入上式可得到：代入上式可得到： 14 1414=16 14=16 则则=28-16=12=28-16=12， =123=4 =123=4 =14=14， =14-4-4=6 =14-4-4=6【思路导航】【思路导航】 方法二：方法二： =16=16、=1

53、4=14两式左右分别相减，两式左右分别相减， 即即=2=2。 那么如果把那么如果把换成了换成了，则，则1616需要加上需要加上2 2，即，即=16=162 2，那么，那么=（16162 2）3=63=6，=16=1662=462=4。【练习【练习3】 （1 1）=38 =38 =22 =22 = =（ ） = =（ ） （2 2）=52 =52 =48=48 = =（ ） = =（ ） （3 3）=10 =10 =12 =12 =12=12 = =（ ） = =（ ） = =（ ） 【例题【例题4】 下式中，下式中，和和各代表几？各代表几？ =34=34 =48=48 = =（ ） = =（

54、） 【思路导航】【思路导航】 按前题思路，下式和上式左右分别相减可得：按前题思路，下式和上式左右分别相减可得： =14=14。 =34 =34 ， 即（即（）（）（）=34 =34 ，14+14+=3414+14+=34 =34-14-14=6 =34-14-14=6；=14=14，则，则=14-6=8=14-6=8 答：答： =8 =8， =6 =6【练习【练习4】 （1 1）=24 =24 =36=36 = =（ ） = =（ ） （2 2）=54 =54 =76=76 = =（ ） = =（ ） （3 3）=96 =96 =123=123 = =（ ） = =（ ） 【例题【例题5】 下

55、式中，下式中，、和和各代表几？各代表几？ = = =80=80 = =（ ） = =（ ） = =（ ） 【思路导航】【思路导航】 因为因为2 2个个等于等于3 3个个，3 3个个又等于又等于4 4个个，所以，所以2 2个个等等于于4 4个个，那么，那么1 1个个等于等于2 2个个。 在在=80=80中，中，2 2个个可以用可以用1 1个个替代，就变替代，就变为为=80=80，而，而2 2个个又可以用又可以用3 3个个替代，也就是替代，也就是=80=80，所以：，所以： =20 =20，=2032=30=2032=30，=2034=15=2034=15。 【练习【练习5】 （1 1）= = =

56、100=100 = =（ ） = =（ ） = =（ ） （2 2）= = =40=40 = =（ ） = =（ ） = =（ ） （3 3）= = =320=320 = =（ ） = =（ ） = =（ ） 一个完整的算式，缺少几个数字，那就成了一道算式谜。一个完整的算式，缺少几个数字，那就成了一道算式谜。 解算式谜，就是要将算式中缺少的数字补齐，使它成为一解算式谜，就是要将算式中缺少的数字补齐，使它成为一道完整的算式。道完整的算式。 解算式谜的思考方法是推理加上尝试，首先要仔细观察算解算式谜的思考方法是推理加上尝试，首先要仔细观察算式特征，由推理能确定的数先填上；不能确定的，要分几种情式特

57、征，由推理能确定的数先填上；不能确定的，要分几种情况，逐一尝试。分析时要认真分析已知数字与所缺数字的关系，况，逐一尝试。分析时要认真分析已知数字与所缺数字的关系，抓准解题的突破口。抓准解题的突破口。【例题【例题1】 在下面算式的在下面算式的内，填上适当的数字，使算式成立。内，填上适当的数字，使算式成立。 8792【思路导航】【思路导航】 已知被乘数个位是已知被乘数个位是8 8，积的个位是，积的个位是2 2，可推出乘数可能是，可推出乘数可能是4 4或或9 9，但积的百位上是，但积的百位上是7 7，因而乘数只能是，因而乘数只能是4 4，被乘数百位是，被乘数百位是1 1，那么十位上只能是那么十位上只

58、能是9 9。19 48792【练习【练习1】 在在里填上适当的数，使算式成立。里填上适当的数，使算式成立。 【例题【例题2】 里填哪些数字，可使这道除法算式成为一道完整的算里填哪些数字，可使这道除法算式成为一道完整的算式？式？ 【思路导航】【思路导航】 已知除数和商的某些位上的数，求被除数，可以从商的末已知除数和商的某些位上的数，求被除数，可以从商的末位上的数与除数相乘的积，可知被除数个位为位上的数与除数相乘的积，可知被除数个位为0 0，再想商十位，再想商十位上的数与上的数与6 6的乘积为一位数，这个数只能是的乘积为一位数，这个数只能是1 1，这样确定商的十，这样确定商的十位为位为1 1，最后

59、被除数十位上的数为，最后被除数十位上的数为9 9。 【练习【练习2】 在在里填上适当的数，使算式成立。里填上适当的数，使算式成立。 【例题【例题3】 在下面在下面中填入适当的数，使算式成立。中填入适当的数，使算式成立。 【思路导航】【思路导航】 通过观察，我们发现，商的个位通过观察，我们发现，商的个位8 8与除与除数的乘积是数的乘积是4848，由此可求出除数为，由此可求出除数为6 6。再根。再根据商的千位与据商的千位与6 6的乘积是二十几，于是可求的乘积是二十几，于是可求出商的千位是出商的千位是4 4，因而被除数的万位是，因而被除数的万位是2 2，千位是千位是4 4，然后可求出商的百位是，然后

60、可求出商的百位是0 0，十位，十位是是2 2，被除数的百位是，被除数的百位是1 1，十位是，十位是6 6，个位是，个位是8 8。（填法见右）。（填法见右） 【练习【练习3】 在下面在下面中填入适当的数，使算式成立。中填入适当的数，使算式成立。 根据题目给定的条件和要求，添运算符号和括号，使等式根据题目给定的条件和要求，添运算符号和括号，使等式成立，这是一种很有趣的游戏。这种游戏需要动脑筋找规律，成立，这是一种很有趣的游戏。这种游戏需要动脑筋找规律，讲究方法，一旦掌握方法，就有取得成功的把握。讲究方法，一旦掌握方法，就有取得成功的把握。 添运算符号问题，通常采用尝试探索法。主要尝试方法有添运算符

61、号问题，通常采用尝试探索法。主要尝试方法有两种：两种： 1 1如果题目中的数字比较简单，可以从等式的结果入手，如果题目中的数字比较简单，可以从等式的结果入手，推想哪些算式能得到这个结果，然后拼凑出所求的式子；推想哪些算式能得到这个结果，然后拼凑出所求的式子； 2 2如果题目中的数字多，结果也较大，可以考虑先用几如果题目中的数字多，结果也较大，可以考虑先用几个数字凑出比较接近于等式结果的数，然后再进行调整，使等个数字凑出比较接近于等式结果的数，然后再进行调整，使等式成立。通常情况下，要根据题目的特点，选择方法，有时将式成立。通常情况下，要根据题目的特点，选择方法，有时将以上两种方法组合起来使用，

62、更有助于问题的解决。以上两种方法组合起来使用，更有助于问题的解决。 【例题【例题1】 在下面各题中添上、在下面各题中添上、（、（ ），使等式成立。），使等式成立。 1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10【思路导航】【思路导航】 对于这种问题，我们也可以用倒推法来分析。从结果对于这种问题，我们也可以用倒推法来分析。从结果1010想想起，最后一个数是起，最后一个数是5 5，可以从下面几种情况中想：，可

63、以从下面几种情况中想：5=105=10，5=105=10，5=105=10，5=105=10。（1 1）从）从5=105=10考虑，考虑，=5=5，前，前4 4个数必须组成得数是个数必须组成得数是5 5的算的算式有：（式有：（1 12 2）334 45=10 5=10 （1 12 2）334 45=105=10（2 2）从）从5=105=10考虑，考虑，=15=15，前，前4 4个数必须组成得数是个数必须组成得数是1515的的算式有：算式有：1 12 234345=105=10（3 3）从）从5=105=10考虑，考虑，=2=2，前，前4 4个数必须组成得数是个数必须组成得数是2 2的算的算式

64、有：（式有：（1231234 4）5=10 5=10 （1 12 23 34 4）5=105=10（4 4）从）从5=105=10考虑，考虑，=50=50，前面，前面4 4个数必须组成得数是个数必须组成得数是5050的算式，而前面的算式，而前面4 4个数无法组成得数是个数无法组成得数是5050的算式。的算式。 【练习【练习1】 1 1你能在下面的各数中添上运算符号，使算式成立吗？你能在下面的各数中添上运算符号，使算式成立吗？ （1 1）4 1 2 5 = 10 4 1 2 5 = 10 （2 2）4 1 2 5 = 104 1 2 5 = 10 2 2在下面各数中添上适当的运算符号，使等式成立

65、。在下面各数中添上适当的运算符号，使等式成立。 （1 1）3 4 5 6 8 = 8 3 4 5 6 8 = 8 （2 2）3 4 5 6 8 = 83 4 5 6 8 = 8 3 3巧添运算符号，使等式成立。巧添运算符号，使等式成立。 （1 1）3 3 3 3 =1 3 3 3 3 =1 （2 2）3 3 3 3 =2 3 3 3 3 =2 （3 3）3 3 3 3 =33 3 3 3 =3【例题【例题2】 拿出都是拿出都是8 8的四张牌，添上、的四张牌，添上、或（或（ ），使等），使等式成立。你能试一试吗？式成立。你能试一试吗？ 8 8 8 8 = 0 8 8 8 8 = 1 8 8 8

66、8 = 0 8 8 8 8 = 1 8 8 8 8 = 2 8 8 8 8 = 3 8 8 8 8 = 2 8 8 8 8 = 3 【思路导航】【思路导航】 这道题除了可以用倒推法来分析，还可以这样想：这道题除了可以用倒推法来分析，还可以这样想： （1 1）等于）等于0 0的思考方法：假设最后一步运算是减法，那么这四个数可以的思考方法：假设最后一步运算是减法，那么这四个数可以分成两组，这两组的和、差、积、商应该相等，有：分成两组，这两组的和、差、积、商应该相等，有： 8 88 8（8 88 8）=0 88=0 8888=0 88=0 8 88 8（8 88 8）=0 88=0 8888=088

67、=0 （2 2）等于）等于1 1的思考方法：假设最后一步是除法，那么四个数分成两组，的思考方法：假设最后一步是除法，那么四个数分成两组，这两组的和、积、商分别相等，相同的数相除也可得到这两组的和、积、商分别相等，相同的数相除也可得到1 1，有：，有： （8 88 8）（8 88 8）=1 88=1 88（8888）=1 88=1 88（8888）=1=1 8888=1 8888=1 8 8888=1 8888=1 8（888888）=1=1 （3 3）等于）等于2 2的思考方法：假设最后一步是加法，那么两组数各为的思考方法：假设最后一步是加法，那么两组数各为1 1，有：，有： 88 8888=

68、288=2 （4 4）等于）等于3 3的思考方法：假设最后一步是除法，那么前三个数凑为的思考方法：假设最后一步是除法，那么前三个数凑为3 3个个8 8，有：，有： （8 88 88 8）8=38=3【练习【练习2】 1.1.在各数中添上、在各数中添上、或（或（ ），使算式相等。），使算式相等。 4 4 4 4 = 0 4 4 4 4 = 1 4 4 4 4 = 0 4 4 4 4 = 1 4 4 4 4 = 2 4 4 4 4 = 3 4 4 4 4 = 2 4 4 4 4 = 3 4 4 4 4 = 4 4 4 4 4 = 5 4 4 4 4 = 4 4 4 4 4 = 5 2. 2.巧添各

69、种运算符号和括号，使等式成立。巧添各种运算符号和括号，使等式成立。 5 5 5 5 5 = 0 5 5 5 5 5 = 1 5 5 5 5 5 = 0 5 5 5 5 5 = 1 5 5 5 5 5 = 2 5 5 5 5 5 = 3 5 5 5 5 5 = 2 5 5 5 5 5 = 3 一般说来，算式都是由一些数字和运算符号组成的，可有一般说来，算式都是由一些数字和运算符号组成的，可有些算式却由汉字或英文字母组成，我们称它为文字算式。些算式却由汉字或英文字母组成，我们称它为文字算式。 文字算式是一种数字谜，解答时要注意在同一道题中，相文字算式是一种数字谜，解答时要注意在同一道题中，相同的文

70、字或英文字母应表示相同的数字，不同的文字或英文字同的文字或英文字母应表示相同的数字，不同的文字或英文字母应表示不同的数字。母应表示不同的数字。 通过本周的学习，我们可以发现解文字算式谜与添运算符通过本周的学习，我们可以发现解文字算式谜与添运算符号、填竖式的步骤与方法基本是一样的，都要仔细观察算式的号、填竖式的步骤与方法基本是一样的，都要仔细观察算式的特征，认真分析，正确选择解题的突破口，最后通过尝试找寻特征，认真分析，正确选择解题的突破口，最后通过尝试找寻正确答案。正确答案。 【例题【例题1】 下式中，每个字各代表一个不同的数字，其中下式中，每个字各代表一个不同的数字，其中“心心”代表代表9

71、9，请问其他汉字分别代表哪个数字？，请问其他汉字分别代表哪个数字？少年足球俱乐中心少年足球俱乐中心心心少少少少少少少少少少少少少少少少少少【思路导航】【思路导航】 乘数个位与被乘数个位相乘，乘数个位与被乘数个位相乘，“心心”“”“心心”=99=81”=99=81，所以所以“少少”=1”=1，乘积就是，乘积就是111111111111111111。根据积，用乘数。根据积，用乘数“心心”去逐一乘被乘数，去逐一乘被乘数，9“9“中中”的积个位数应该是的积个位数应该是3 3，所以，所以“中中”=7”=7，往前一位进，往前一位进7 7；9“9“乐乐”的积的个位数应是的积的个位数应是4 4，“乐乐”=6”

72、=6，往前一位进，往前一位进6 6；9“9“俱俱”的积个位数应是的积个位数应是5 5，“俱俱”=5”=5，往前一位进，往前一位进5 5；9“9“球球”积个位数字应是积个位数字应是6 6，“球球”=4”=4，往，往前一位进前一位进4 4；9“9“足足”的积个位数是的积个位数是7 7，所以，所以“足足”=3”=3，往前，往前一位进一位进3 3；9“9“年年”的积的个位数是的积的个位数是8 8，“年年”=2”=2，往前一位，往前一位进进2 2；91912=112=11，即：，即： 123456799=111111111 123456799=111111111 【练习【练习1】 1. 1.下面（左下）

73、每个字代表不同的数字，这些汉字分别代下面（左下）每个字代表不同的数字，这些汉字分别代表几？表几？ 2 2如果如果A A、B B满足下面算式，它们各代表几？（下中）满足下面算式，它们各代表几？（下中） 3 3下右图各个汉字分别代表几？下右图各个汉字分别代表几？【例题【例题2】 下面不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的下面不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。它们各表示几？数字。它们各表示几？ 【思路导航】【思路导航】 由积的个位是由积的个位是2 2，乘数是，乘数是3 3，可推出被乘数个位上，可推出被乘数个位上“学学”是是4 4，43=1243=12，在积的个位上写，在积的

74、个位上写2 2，向十位进，向十位进1 1；因为积的十位上；因为积的十位上“学学”为为4 4，所以，所以“数数”3”3应为应为3 3，推出，推出“数数”为为1 1；因为；因为“数数”为为1 1，百位上，百位上“庚庚”3”3末位应为末位应为1 1，因而，因而“庚庚”为为7 7，千位上，千位上53532=172=17，在千位上写，在千位上写7 7，向万位进，向万位进1 1，因而，因而“罗罗”为为5 5，万，万位上位上83831=251=25，在千位上写，在千位上写5 5，向前一位进，向前一位进2 2，因而，因而“华华”为为8 8。 【练习【练习2】 下面各个竖式中的汉字分别代表几？下面各个竖式中的汉

75、字分别代表几？ 【例题【例题3】 在下面的竖式中，在下面的竖式中，a a、b b、c c、d d各代表什么数字各代表什么数字? ? 【思路导航】【思路导航】 仔细审题发现千位仔细审题发现千位a9a9的结果是一位数，于是就可以确定的结果是一位数，于是就可以确定a a只能是只能是1 1。接着思考个位。接着思考个位d9=1d9=1是不可能的，所以应该是是不可能的，所以应该是d9d9等于几十一，于是确定等于几十一，于是确定d=9d=9。或者想千位上。或者想千位上19=919=9，所以，所以d d一定一定是是9 9。最后确定剩下的。最后确定剩下的c c为为8 8。只有。只有89=7289=72，7272

76、8=808=80，积中才，积中才会有会有0 0。 【练习【练习3】 （1 1）下面（左下）竖式中的字母各代表几？）下面（左下）竖式中的字母各代表几？ （2 2）上面（右上）竖式中的字母各代表几？）上面（右上）竖式中的字母各代表几？ A AB BC=C=（ ） 【例题【例题4】 下面算式里，相同的汉字代表同一个数字，不同的汉字代下面算式里，相同的汉字代表同一个数字，不同的汉字代表不同的数字。如果以下表不同的数字。如果以下3 3个等式成立：个等式成立：那么，小那么，小= =（ ） 朋朋= =（ ） 友友= =（ ） 爱爱= =（ ） 科科= =（ ） 学学= =（ ） 小小小小朋朋朋朋= =友小小

77、友友小小友 爱爱爱爱科科科科= =爱学学爱爱学学爱 朋朋朋朋朋朋朋朋= =小小学学小小学学【思路导航】【思路导航】 通过观察，我们发现第三个等式最特殊，它是相同的两位通过观察，我们发现第三个等式最特殊，它是相同的两位数相乘得到千位和百位、十位和个位分别相同的积，逐步试验，数相乘得到千位和百位、十位和个位分别相同的积，逐步试验，1111，2222得不到四位数，然后从得不到四位数，然后从3333试，我们发现试，我们发现8888=7744，这样可以得出：朋，这样可以得出：朋=8，小，小=7，学，学=4。将朋。将朋=8、小小=7代入第一个算式中得出代入第一个算式中得出7788=6776，确定友，确定友

78、=6。这样，。这样，09中，只剩下中，只剩下9，5，3，2，1，0这几个数字，其中这几个数字，其中0、1不考虑，试后发现不考虑，试后发现5599=5445，所以爱，所以爱=5，科，科=9。 【练习【练习4】 下面竖式中的汉字各代表数字几？下面竖式中的汉字各代表数字几？ 【例题【例题5】 下面算式中四个字分别代表四个数，你能求出来吗？下面算式中四个字分别代表四个数，你能求出来吗？ 新=（ ） 年=（ ） 快=（ ） 乐=（ ）【思路导航】【思路导航】 从千位上看，千位上得数是从千位上看，千位上得数是2 2，假设新，假设新=2=2，那么百位上，那么百位上，“新年新年”不可能等于不可能等于0 0，因

79、而，因而“新新”不可能是不可能是2 2，只能是，只能是“新新=1”=1”。从百位上看，新年进来的数。从百位上看，新年进来的数=10=10，我们可判断，我们可判断“年年”=7”=7或或8 8。而。而“新年新年=8”=8”，即使个位进来，即使个位进来2 2，十位上也不可能，十位上也不可能向百位进向百位进2 2，因而，因而“年年”=8”=8，十位上，十位上“新年新年”=1”=18=98=9，而个，而个位上已向十位进了位上已向十位进了1 1，因而，因而“快快”=0”=0，最后从，最后从“新年快新年快乐乐”=11”=11中可推出中可推出“乐乐”=1”=1。即：。即： 新新= =（ 1 1 ） 年年= =

80、（ 8 8 ） 快快= =（ 0 0 ） 乐乐= =（ 1 1 ） 【练习【练习5】 1下面（左下）算式中相同的汉字代表相同的数字，下面（左下）算式中相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，请问这些汉字各代表几？不同的汉字代表不同的数字，请问这些汉字各代表几？ 2上面（上中）各字母分别代表几？上面（上中）各字母分别代表几？ 3上面（上右）竖式中每个字母代表不同的数字，想想上面（上右）竖式中每个字母代表不同的数字，想想下面的算式怎样写？下面的算式怎样写？ 填数时，要仔细观察图形，确定图形中关键的位置应填几，填数时，要仔细观察图形，确定图形中关键的位置应填几，一般是图形的顶点及中间位置

81、。另外，要将所填的空与所提供一般是图形的顶点及中间位置。另外，要将所填的空与所提供的数字联系起来，一般要先计算所填数的总和与所提供数字的的数字联系起来，一般要先计算所填数的总和与所提供数字的和之差，从而确定关键位置应填几。关键位置的数确定好了，和之差，从而确定关键位置应填几。关键位置的数确定好了，其他问题就迎刃而解了。其他问题就迎刃而解了。 【例题【例题1】 在下图中分别填入在下图中分别填入1919，使，使两条直线上五个数的和相等，和是两条直线上五个数的和相等，和是多少呢？多少呢？ 【思路导航】【思路导航】 我们可以这样想，把我们可以这样想，把1919中间的中间的5 5填到中心的填到中心的内，

82、剩下内，剩下八个数，一大一小，搭配成和都是八个数，一大一小，搭配成和都是1010的四组，这样两条直线上的四组，这样两条直线上五个数的和都是五个数的和都是5 5102=25102=25。 如果把如果把1 1填在中心的填在中心的内，这样剩下的八个数可以一大一内，这样剩下的八个数可以一大一小搭配成和都是小搭配成和都是1111的四组，这时两条直线上五个数的和是的四组，这时两条直线上五个数的和是1 1112=23112=23。 想想：两条直线上五个数的和还可以是多少？想想：两条直线上五个数的和还可以是多少？ 【练习【练习1】 1. 1.在下图（左下）中填入在下图（左下）中填入210210，使横行、竖行中

83、的五个，使横行、竖行中的五个数的和相同。和是多少呢？数的和相同。和是多少呢？ 2. 2.把把1 1、4 4、7 7、1010、1313、1616、1919七个数填入图（中上图）七个数填入图（中上图）中中7 7朵花里，使每条直线上三个数的和相等。朵花里，使每条直线上三个数的和相等。 3. 3.把把6 6、8 8、1010、1212、1414、1616、1818七个数填在右上图的七个数填在右上图的中，中，使每排三个数及外圆上三个数的和都是使每排三个数及外圆上三个数的和都是3232。【例题【例题2】 把数字把数字1818分别填入下图的小圆圈内，使每个五边形上分别填入下图的小圆圈内，使每个五边形上5

84、5个数的和都等于个数的和都等于2020。 【思路导航】【思路导航】 题目中所给题目中所给8 8个数字的和是个数字的和是3636，题中要使每个五边形上五，题中要使每个五边形上五个数的和等于个数的和等于2020，那么两个五边形上数字的总和是，那么两个五边形上数字的总和是202=40202=40。两个五边形上的数字总和比两个五边形上的数字总和比8 8个数的和多个数的和多404036=436=4，多，多4 4的原因的原因是图中中间两个圆圈的数字算了两次，多算了一次。是图中中间两个圆圈的数字算了两次，多算了一次。1818中只中只有有1 1和和3 3的和为的和为4 4，所以先确定关键的中间两个圆圈中，一个

85、填，所以先确定关键的中间两个圆圈中，一个填1 1、一个填一个填3 3。2020（1 13 3）=16=16，1616可以分成可以分成2 26 68 8和和4 45 57 7，所以本题应该这样填：所以本题应该这样填： 【练习【练习2】 1. 1.将数字将数字1616填入下图（左下）中的小圆圈内，使每个填入下图（左下）中的小圆圈内，使每个大圆上大圆上4 4个数的和都是个数的和都是1515。 2. 2. 把把1818这八个数，分别填入上右图的各个这八个数，分别填入上右图的各个内，使得内，使得每一横行、每一竖行的三个数的和是每一横行、每一竖行的三个数的和是1313。 【例题【例题3】 在图中填入在图中

86、填入2929，使每边，使每边3 3个数的和等于个数的和等于1515。 【思路导航】【思路导航】 解这题的关键是填出图中的解这题的关键是填出图中的4 4个顶点，个顶点，因为求和时这因为求和时这4 4个顶点各算了两次，多算个顶点各算了两次，多算了一次，所以了一次，所以4 4边数的和是边数的和是154=60154=60，所，所给的数的和是给的数的和是2 23 34 45 56 67 78 89=449=44，所以，所以4 4个顶点数的和是个顶点数的和是606044=1644=16。我们可选出我们可选出3 37 74 42=162=16填入填入4 4个顶点。个顶点。 想一想，有没有其他填法？想一想，有

87、没有其他填法？ 【练习【练习3】 1. 1.把把1818填入下图（下左）中，使每边填入下图（下左）中，使每边3 3个数的和等于个数的和等于1313。 2. 2.将将1919这九个数填入中上图中，使三角形每条边上四这九个数填入中上图中，使三角形每条边上四个数的和等于个数的和等于1919，且有一个顶点的数字为，且有一个顶点的数字为1 1。 3. 3.把把110110这十个数填入右上图中，使每个正方形顶点这十个数填入右上图中，使每个正方形顶点圆圈内四个数之和都相等，而且最大。这个和是多少？圆圈内四个数之和都相等，而且最大。这个和是多少？ 【例题【例题4】 把把1818填入下图填入下图内，使每边上三个

88、数的和最大。求最内，使每边上三个数的和最大。求最大的和是多少？大的和是多少？ 【思路导航】【思路导航】 要使每边上三个数之和最大，容易想到把要使每边上三个数之和最大，容易想到把8 8、7 7、6 6、5 5填在填在四角，因为四个角上的数在求和时各用了两次，其他数各用了四角，因为四个角上的数在求和时各用了两次，其他数各用了一次。由此我们可以列出求和的算式为：一次。由此我们可以列出求和的算式为： （8 87 76 65 5）224 43 32 214=62414=624 和不是整数，说明四条边上的总和要减少和不是整数，说明四条边上的总和要减少2 2才行，这只要才行，这只要将填在角上的将填在角上的5

89、 5换成换成3 3即可。即可。 所以，最大的和为：（所以，最大的和为：（62622 2）4=154=15 【练习【练习4】 1. 1.把把310310填入下图（左下）填入下图（左下）中，使每边上三个数的和最中，使每边上三个数的和最大，求最大的和是多少？大，求最大的和是多少？ 2. 2.把把1818填入中上图填入中上图中，使每边上三个数的和最小。最中，使每边上三个数的和最小。最小的和是多少？小的和是多少？ 3. 3.将数字将数字1818填入右上图中，使横行填入右上图中，使横行中的数之和等于竖中的数之和等于竖行行中的数之和，这个和可以是多少？中的数之和，这个和可以是多少？ 【例题【例题5】 在下图

90、（左下）各圆空余部分填上在下图（左下）各圆空余部分填上3 3、5 5、7 7、8 8，使每个，使每个圆的圆的4 4个数的和都是个数的和都是2121。 【思路导航】【思路导航】 这题的关键是找出中间部分填什么，因这题的关键是找出中间部分填什么，因为所给的为所给的3 3个数都是双数，恰好每个圆内有个数都是双数，恰好每个圆内有两个双数，它们的和也是双数，再填入两个两个双数，它们的和也是双数，再填入两个数后，使每个圆的数后，使每个圆的4 4个数的和是个数的和是21.2121.21是单数，是单数，也就是每个圆内填入的两个数的和为单数，也就是每个圆内填入的两个数的和为单数，而而3 3、5 5、7 7、8

91、8中中3 3、5 5、7 7都是单数，要使和都是单数，要使和为单数，为单数，8 8要填入中间部分，如右图。要填入中间部分，如右图。 【练习【练习5】 1. 1.在图（左下图）中各圆的空余部分分别填上在图（左下图）中各圆的空余部分分别填上1 1、2 2、4 4、6 6，使每个圆中，使每个圆中4 4个数的和是个数的和是1515。 2. 2.在图（中上图）中各圆空余部分分别填上在图（中上图）中各圆空余部分分别填上4 4、5 5、7 7、9 9，使每个圆中使每个圆中4 4个数的和是个数的和是2727。 3. 3.在图（右上图）中各圆空余部分分别填上在图（右上图）中各圆空余部分分别填上6 6、8 8、1

92、010、11.11.使每个圆中使每个圆中4 4个数的和是个数的和是3333。 在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复的现象，在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复的现象，如：人的十二生肖，一年有春夏秋冬四个季节，一个星期七天如：人的十二生肖，一年有春夏秋冬四个季节，一个星期七天等等。像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题，我们称等等。像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题，我们称为简单周期问题。这类问题一般要利用余数的知识来解答。为简单周期问题。这类问题一般要利用余数的知识来解答。 在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断

93、其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，然后利用其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果。除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果。 【例题【例题1】 小丁把同样大小的红、白、黑珠子按先小丁把同样大小的红、白、黑珠子按先2 2个红的、后个红的、后1 1个个白的、再白的、再3 3个黑的的规律排列（如下图），请你算一算，第个黑的的规律排列（如下图），请你算一算，第3232个珠子是什么颜色？个珠子是什么颜色？ 【思路导航】【思路导航】 从上图可以看出，珠子是按从上图可以看出，珠子是按“两红一白三黑两红一白三黑”的规律重复的规律重复排

94、列，即排列，即6 6个珠子为一周期。个珠子为一周期。326=5326=5（组）（组）22（个），（个），3232个珠子中含有个珠子中含有5 5个周期多个周期多2 2个，所以第个，所以第3232个珠子就是重复个珠子就是重复5 5个周个周期后的第期后的第2 2个珠子，应为红色。个珠子，应为红色。 【练习【练习1】 1. 1.如图，算出第如图，算出第2020个图形是什么？个图形是什么？ 2.“ 2.“数学趣味题数学趣味题数学趣味题数学趣味题”依次重复排列，第依次重复排列，第20012001个字是什么？个字是什么？ 3. 3.把把3838面小三角旗按下图排列，其中有多少面白旗？面小三角旗按下图排列，其

95、中有多少面白旗？【例题【例题2】 2001 2001年年1010月月1 1日是星期一，问：日是星期一，问：1010月月2525日是星期几？日是星期几？ 【思路导航】【思路导航】 我们知道，每星期有我们知道，每星期有7 7天，也就是说以天，也就是说以7 7天为一个周期不断天为一个周期不断地重复。从地重复。从1010月月1 1日到日到1010月月2525日经过日经过25251=241=24天，天，247=3247=3（星（星期）期）33（天），说明（天），说明2424天中包括天中包括3 3个星期还多个星期还多3 3天。所以从天。所以从1010月月1 1日开始过日开始过3 3个星期，最后一天还是星期

96、一，从这最后一天个星期，最后一天还是星期一，从这最后一天起再过起再过3 3天就应是星期四。天就应是星期四。 【练习【练习2】 （1 1）20012001年年5 5月月3 3日是星期四，日是星期四，5 5月月2020日是星期几？日是星期几？ （2 2）20012001年年8 8月月1 1日是星期三，日是星期三，8 8月月2828日是星期几？日是星期几？ （3 3）20012001年年6 6月月1 1日是星期五，日是星期五，9 9月月1 1日是星期几？日是星期几？【例题【例题3】 100 100个个3 3相乘，积的个位数字是几？相乘，积的个位数字是几？ 【思路导航】【思路导航】 这道题我们只考虑积

97、的个位数字的排列规律。这道题我们只考虑积的个位数字的排列规律。1 1个个3.3.积的积的个位是个位是3 3；2 2个个3 3相乘积的个位数字是相乘积的个位数字是9 9；3 3个个3 3相乘积的个位数字相乘积的个位数字是是7 7；4 4个个3 3相乘积的个位数字是相乘积的个位数字是1 1；5 5个个3 3相乘积的个位数字是相乘积的个位数字是33可以发现，积的个位数字分别以可以发现，积的个位数字分别以3 3、9 9、7 7、1 1不断重复出不断重复出现，即每现，即每4 4个个3 3积的个位数字为一周期。积的个位数字为一周期。1004=251004=25（个），因（个），因此此100100个个3 3

98、相乘积的个位数字是第相乘积的个位数字是第2525个周期中的最后一个，即是个周期中的最后一个，即是1 1。 【练习【练习3】 （1 1）2323个个3 3相乘，积的个位数字是几？相乘，积的个位数字是几？ （2 2）100100个个2 2相乘，积的个位数字是几？相乘，积的个位数字是几？ （3 3）5050个个7 7相乘，积的个位数字是几？相乘，积的个位数字是几？【例题【例题4】 有一列数按有一列数按“432791864327918643279186”“432791864327918643279186”排列，排列，那么前那么前5454个数字之和是多少？个数字之和是多少？ 【思路导航】【思路导航】 上

99、面一列数中，从第上面一列数中，从第1 1个数字开始重复出现的部分是个数字开始重复出现的部分是“43279186”“43279186”，周期数是，周期数是8 8。要求出这列数字的和，就要先。要求出这列数字的和，就要先求出这列数里共有多少组求出这列数里共有多少组“43279186”“43279186”。 548=6 548=6（组）（组）66（个）（个） 因此，前因此，前6 6组数字和是（组数字和是（4 43 32 27 79 91 18 86 6）6=2406=240，余下，余下6 6个数字之和是个数字之和是4 43 32 27 79 91=261=26。所。所以，这列数中前以，这列数中前545

100、4个数字之和是个数字之和是24024026=26626=266。 【练习【练习4】 （1 1）一列数按）一列数按“294736294736294”“294736294736294”排列，那么前排列，那么前4040个数字之和是多少？个数字之和是多少？ （2 2）有一列数按）有一列数按“9453672945367294”“9453672945367294”排列，那么前排列，那么前5050个数字之和是多少？个数字之和是多少？ （3 3）有一列数）有一列数“7231652316523165”“7231652316523165”，请问从左起第，请问从左起第2 2个数字到第个数字到第2525个数字之间（含

101、第个数字之间（含第2 2个与第个与第2525个数字）所有数个数字）所有数字的和是多少？字的和是多少？【例题【例题5】 小红买了一本童话书，每两页文字之间有小红买了一本童话书，每两页文字之间有3 3页插图，也就页插图，也就是说是说3 3页插图前后各有页插图前后各有1 1页文字。如果这本书有页文字。如果这本书有128128页，而第页，而第1 1页是文字，这本童话书共有插图多少页？页是文字，这本童话书共有插图多少页？ 【思路导航】【思路导航】 已知这本童话书已知这本童话书3 3页插图前后各有页插图前后各有1 1页文字，也就是说这本页文字，也就是说这本书是按书是按“1“1页文字页文字3 3页插图页插图

102、“的规律重复排列的，把的规律重复排列的，把“1“1页文字页文字3 3页插图页插图”看作一周期，看作一周期，128128页中含有页中含有128128（1 13 3）=32=32个周期，个周期，所以这本童话书共有插图所以这本童话书共有插图332=96332=96页。页。 【练习【练习5】 （1 1）校门口摆了一排花，每两盆菊花之间摆）校门口摆了一排花，每两盆菊花之间摆3 3盆月季，共盆月季，共摆了摆了112112盆花。如果第一盆花是菊花，那么共摆了多少盆盆花。如果第一盆花是菊花，那么共摆了多少盆月季花？月季花？ （2 2）同学们做早操，）同学们做早操，3636个同学排成一列，每两个女生中个同学排成

103、一列，每两个女生中间是两个男生，第一个是女生，这列队伍中男生有多少人间是两个男生，第一个是女生，这列队伍中男生有多少人？ （3 3）一个圆形花辅周围长）一个圆形花辅周围长3030米，沿周围每隔米，沿周围每隔3 3米插一面红米插一面红旗，每两面红旗中间插两面黄旗。花辅周围共插了多少面旗，每两面红旗中间插两面黄旗。花辅周围共插了多少面黄旗？黄旗？ 应用题是小学数学中非常重要的一部分内容，它需要我们应用题是小学数学中非常重要的一部分内容，它需要我们小朋友用学到的数学知识来解决生产、生活中的一些实际问题。小朋友用学到的数学知识来解决生产、生活中的一些实际问题。学好应用题的关键在于认真分析题意，掌握数量

104、关系，找到问学好应用题的关键在于认真分析题意，掌握数量关系，找到问题的突破口。题的突破口。 在分析应用题的数量关系时，我们可以从条件出发，逐步在分析应用题的数量关系时，我们可以从条件出发，逐步推出所求的问题；也可以从问题出发，找到必须的两个条件。推出所求的问题；也可以从问题出发，找到必须的两个条件。在实际解答时，我们可以根据题目中的数量关系，灵活运用这在实际解答时，我们可以根据题目中的数量关系，灵活运用这两种方法。有时，借助线段图来分析应用题的数量关系，解答两种方法。有时，借助线段图来分析应用题的数量关系，解答就更容易了。就更容易了。【例题【例题1】 小林家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多小林家养了一

105、些鸡，黄鸡比黑鸡多1313只，白鸡比黄鸡多只，白鸡比黄鸡多1212只，白鸡的只数正好是黑鸡的只，白鸡的只数正好是黑鸡的2 2倍。白鸡、黄鸡、黑鸡各多倍。白鸡、黄鸡、黑鸡各多少只？少只？ 【思路导航】【思路导航】 根据根据“黄鸡比黑鸡多黄鸡比黑鸡多1313只，白鸡比黄鸡多只，白鸡比黄鸡多1212只只”，从线段，从线段图上我们可以看出白鸡比黑鸡多图上我们可以看出白鸡比黑鸡多131312=2512=25只，这相当于黑鸡只，这相当于黑鸡的的2 21=11=1倍，这样也就求出黑鸡的只数为倍，这样也就求出黑鸡的只数为251=25251=25只，黄鸡的只，黄鸡的只数是只数是252513=3813=38只，白

106、鸡的只数是只，白鸡的只数是252=50252=50只。只。 【练习【练习1】 1. 1.商店里有红、白、蓝三种围巾，其中红围巾比白围巾多商店里有红、白、蓝三种围巾，其中红围巾比白围巾多1212条，蓝围巾比红围巾多条，蓝围巾比红围巾多2020条，蓝围巾的条数正好是白围巾条，蓝围巾的条数正好是白围巾的的5 5倍。红围巾、白围巾、蓝围巾各多少条？倍。红围巾、白围巾、蓝围巾各多少条？ 2. 2.有甲、乙、丙三筐苹果，甲筐比乙筐多有甲、乙、丙三筐苹果，甲筐比乙筐多1212只苹果，丙筐只苹果，丙筐比甲筐多比甲筐多1515只苹果，丙筐苹果个数是乙筐的只苹果，丙筐苹果个数是乙筐的4 4倍。甲、乙、倍。甲、乙、

107、丙筐各有多少只苹果？丙筐各有多少只苹果？ 3. 3.男女学生参加小组交流会，如果少去男女学生参加小组交流会，如果少去1 1名女生，男女生名女生，男女生人数相等；如果少去一名男生，女生人数是男生的人数相等；如果少去一名男生，女生人数是男生的2 2倍。参倍。参加交流会的男女生各多少人？加交流会的男女生各多少人？【例题【例题2】 用一批纸装订同样大小的练习本，如果每本用一批纸装订同样大小的练习本，如果每本1616页，可装页，可装订订400400本。如果每本本。如果每本2020页，可以少装订多少本？页，可以少装订多少本？ 【思路导航】【思路导航】 根据根据“如果每本如果每本1616页，可装订页，可装订

108、400400本本”，可得这批纸的总，可得这批纸的总页数页数16400=640016400=6400页；再用总页数页；再用总页数640020=320640020=320本求出如果每本求出如果每本本2020页可装订的本数，页可装订的本数，400400320=80320=80本则表示少装订的本数。本则表示少装订的本数。 【练习【练习2】 1. 1.水果市场要将一些水果装箱，如果每箱水果市场要将一些水果装箱，如果每箱1010千克，可装千克，可装3030箱。如果每箱箱。如果每箱1515千克，可少装多少箱？千克，可少装多少箱？ 2. 2.服装厂有一些布料加工窗帘，如果把窗帘做成服装厂有一些布料加工窗帘，如

109、果把窗帘做成3 3米长，米长，可做可做140140幅。如果每幅窗帘做成幅。如果每幅窗帘做成2 2米长，则可多做多少幅？米长，则可多做多少幅？ 3. 3.同一批纸装订同样大小的练习本，如果每本同一批纸装订同样大小的练习本，如果每本1616页，可装页，可装订订400400本。如果每本多装订本。如果每本多装订9 9页，则少装订多少本？页，则少装订多少本？ 【例题【例题3】 李师傅原计划李师傅原计划6 6小时加工零件小时加工零件480480个，实际个，实际2 2小时加工小时加工192192个。照这样的效率，可以提前几小时完成？个。照这样的效率，可以提前几小时完成？ 【思路导航】【思路导航】 根据根据“

110、实际实际2 2小时加工小时加工192192个个”，可以求出李师傅的实际工，可以求出李师傅的实际工作效率为作效率为1922=961922=96（个（个/ /小时），再用要加工的零件总数除以小时），再用要加工的零件总数除以实际工作效率，即实际工作效率，即48096=548096=5小时，求出实际完成的时间。小时，求出实际完成的时间。6 65=15=1小时，则表示提前完成的时间。小时，则表示提前完成的时间。 【练习【练习3】 1. 1.王奶奶计划王奶奶计划1010小时做纸盒小时做纸盒400400个，实际个，实际3 3小时已加工小时已加工150150个。照这样的效率，可以提前几小时完成？个。照这样的效

111、率，可以提前几小时完成？ 2. 2.暑假中，小宁暑假中，小宁3030天共要写大字天共要写大字600600个，实际个，实际1212天已写天已写大字大字360360个。照这样的速度，小宁可以提前几天写完同样个。照这样的速度，小宁可以提前几天写完同样多的字？多的字？ 3. 3.自行车制造厂四月份（自行车制造厂四月份（3030天）共生产自行车天）共生产自行车36003600辆，辆，五月份改进技术后五月份改进技术后9 9天已生产自行车天已生产自行车13501350辆。照这样的效辆。照这样的效率，可以提前几天完成四月份的任务？率，可以提前几天完成四月份的任务？ 一般应用题的条件和问题变换的形式多，数量关系

112、也比较一般应用题的条件和问题变换的形式多，数量关系也比较复杂，但只要善于分析，善于思考，善于抓住关键，不管什么复杂，但只要善于分析，善于思考，善于抓住关键，不管什么问题都能迎刃而解。问题都能迎刃而解。 解答一般应用题的关键是要掌握数量关系，了解应用题中解答一般应用题的关键是要掌握数量关系，了解应用题中条件和条件、条件和问题之间的联系，找出解题方法，灵活解条件和条件、条件和问题之间的联系，找出解题方法，灵活解题。题。【例题【例题1】 一列火车早上一列火车早上5 5时从甲地开往乙地，按原计划每小时行驶时从甲地开往乙地，按原计划每小时行驶120120千米，下午千米，下午3 3时到达乙地，但实际到达时

113、间是下午时到达乙地，但实际到达时间是下午5 5时整，时整，晚点晚点2 2小时。问火车实际每小时行驶多少千米？小时。问火车实际每小时行驶多少千米？ 【思路导航】【思路导航】 由由“这列火车早上这列火车早上5 5时出发，计划下午时出发，计划下午3 3时到达时到达”可知，这可知，这列火车原计划行驶列火车原计划行驶12123 35=105=10小时，用原计划每小时行驶小时，用原计划每小时行驶120120千米千米计划行驶的计划行驶的1010小时，便可得到甲地到乙地的距离为小时，便可得到甲地到乙地的距离为12010=120012010=1200千米；火车晚点千米；火车晚点2 2小时，说明火车实际行驶了小时

114、，说明火车实际行驶了10102=122=12小时，用小时，用120012=100120012=100千米就可得到火车实际每小时行千米就可得到火车实际每小时行的千米数。的千米数。 【练习【练习1】 1.一辆汽车早上一辆汽车早上8点从甲地开往乙地，按原计划每小时行点从甲地开往乙地，按原计划每小时行驶驶60千米，下午千米，下午4时到达乙地。但实际晚点时到达乙地。但实际晚点2小时到达，这小时到达，这辆汽车实际每小时行驶多少千米？辆汽车实际每小时行驶多少千米？ 2.一列火车早上一列火车早上6时从甲城开往乙城，计划每小时行驶时从甲城开往乙城，计划每小时行驶100千米，下午千米，下午6时到达乙城。但实际到达

115、时间是下午时到达乙城。但实际到达时间是下午4时，提前时，提前2小时。问火车实际每小时行驶多少千米？小时。问火车实际每小时行驶多少千米？ 3.王叔叔驾驶一辆摩托车，上午王叔叔驾驶一辆摩托车，上午11时从城东开到城西，计时从城东开到城西，计划每小时行驶划每小时行驶60千米，下午千米，下午2时到达城西，实际到达时间是时到达城西，实际到达时间是下午下午3时，晚到时，晚到1小时。问实际每小时比计划少行多少千米？小时。问实际每小时比计划少行多少千米？ 【例题【例题2】 小宁、小红、小佳去买铅笔，小宁买了小宁、小红、小佳去买铅笔，小宁买了7 7枝，小红买了枝，小红买了5 5枝，小佳没有买。回家后，三个人平均

116、分铅笔，小佳拿出枝，小佳没有买。回家后，三个人平均分铅笔，小佳拿出8 8角角钱，小佳应给宁多少钱？给小红多少钱？钱，小佳应给宁多少钱？给小红多少钱？ 【思路导航】【思路导航】 小宁和小红一共买了小宁和小红一共买了7 75=125=12枝铅笔，三个人平均分，每枝铅笔，三个人平均分，每人应得人应得123=4123=4枝，所以小佳拿出的枝，所以小佳拿出的8 8角钱就相当于角钱就相当于4 4枝铅笔的枝铅笔的价钱，那么每枝铅笔的价钱应是价钱，那么每枝铅笔的价钱应是84=284=2角。小佳应给小宁角。小佳应给小宁22（7 74 4）=6=6角钱，应给小红角钱，应给小红22（5 54 4）=2=2角钱。角钱

117、。 【练习【练习2】 1.1.三个好朋友去买饮料，小亮买了三个好朋友去买饮料，小亮买了5 5瓶，小华买了瓶，小华买了4 4瓶，阳瓶，阳阳没有买。到家后，三个人平均喝完饮料，阳阳拿出阳没有买。到家后，三个人平均喝完饮料，阳阳拿出6 6元钱，元钱，他应给小亮多少钱？给小华多少钱？他应给小亮多少钱？给小华多少钱？ 2. 2.甲、乙、丙甲、乙、丙3 3人一起买了人一起买了6 6个面包分着吃，甲、乙各拿出个面包分着吃，甲、乙各拿出3 3个面包的钱，丙没有带钱。那么吃完后，丙应拿出个面包的钱，丙没有带钱。那么吃完后，丙应拿出4 4元元8 8角角钱，他应分别给甲、乙多少钱？钱，他应分别给甲、乙多少钱？ 3.

118、 3.张、王、李三家合用一个炉灶，他们烧的柴同样多，张张、王、李三家合用一个炉灶，他们烧的柴同样多，张家出了家出了4 4担柴，李家出了担柴，李家出了5 5担柴，王家因无柴付担柴，王家因无柴付1818元。张、李元。张、李家各得多少钱？家各得多少钱？ 【例题【例题3】 用一个杯子向空瓶里倒牛奶，如果倒进去用一个杯子向空瓶里倒牛奶，如果倒进去2 2杯牛奶，连瓶杯牛奶，连瓶共重共重450450克；如果倒进去克；如果倒进去5 5杯牛奶，连瓶共重杯牛奶，连瓶共重750750克。一杯牛奶克。一杯牛奶和一个空瓶各重多少克？和一个空瓶各重多少克？ 【思路导航】【思路导航】 根据题目的条件，我们可以写出两个关系式

119、：根据题目的条件，我们可以写出两个关系式： （1 1）2 2杯牛奶重量杯牛奶重量1 1个空瓶重量个空瓶重量=450=450克克 （2 2）5 5杯牛奶重量杯牛奶重量1 1个空瓶重量个空瓶重量=750=750克克 比较（比较（1 1）、（）、（2 2）两个式子，可发现用（）两个式子，可发现用（2 2）（）（1 1）可消）可消去空瓶重量，并可得到去空瓶重量，并可得到5 52=32=3瓶牛奶重量是瓶牛奶重量是750750450=300450=300克，克，那么那么1 1瓶牛奶重量是瓶牛奶重量是3003=1003003=100克，然后可求出空瓶重量是克，然后可求出空瓶重量是4504501002=250

120、1002=250克。克。 【练习【练习3】 1. 1.有有1212筐苹果，它们重量相等，我们把它们装入一个大箱筐苹果，它们重量相等，我们把它们装入一个大箱子里，如果装进子里，如果装进2 2筐苹果，连箱共重量筐苹果，连箱共重量220220千克；如果装进千克；如果装进5 5筐苹果，连箱共重筐苹果，连箱共重520520千克。千克。1 1筐苹果和大箱子各重多少千克筐苹果和大箱子各重多少千克？ 2. 2.有一个木桶向一个水缸中倒水，如果倒进有一个木桶向一个水缸中倒水，如果倒进4 4桶水，连缸桶水，连缸共重共重240240千克；如果倒进千克；如果倒进7 7桶水，连缸共重桶水，连缸共重390390千克。一桶

121、水千克。一桶水和一个水缸各重多少千克？和一个水缸各重多少千克？ 3. 3.有一瓶水，向几个相同的杯子里注水，如果注满有一瓶水，向几个相同的杯子里注水，如果注满3 3杯水，杯水，连瓶重连瓶重550550克；如果注满克；如果注满6 6杯水，连瓶共重杯水，连瓶共重250250克。一杯水多克。一杯水多重？重？ 【例题【例题4】 一共有红、黄、绿三种颜色的珠子一共有红、黄、绿三种颜色的珠子120120粒。如果把红色珠粒。如果把红色珠子分放在子分放在9 9个盒子里，把黄色珠子分放在个盒子里，把黄色珠子分放在6 6个盒子里，把绿色个盒子里，把绿色珠子分放在珠子分放在5 5个盒子里，那么每个盒子里的珠子粒数相

122、等。三个盒子里，那么每个盒子里的珠子粒数相等。三种颜色的珠子各多少粒？种颜色的珠子各多少粒？ 【思路导航】【思路导航】 把把120120粒珠子分放到盒子里以后，每个盒子里的珠子粒数粒珠子分放到盒子里以后，每个盒子里的珠子粒数相等，那么就可以相等，那么就可以120120（6 69 95 5）=6=6粒，求出每个盒子里珠粒，求出每个盒子里珠子的粒数，然后再求三种颜色的珠子各几粒。子的粒数，然后再求三种颜色的珠子各几粒。 红色珠子：红色珠子：69=5469=54粒；粒； 黄色珠子：黄色珠子：66=3666=36粒；粒； 绿色珠子：绿色珠子：65=3065=30粒。粒。 【练习【练习4】 1. 1.一

123、共有苹果、梨、橘子共一共有苹果、梨、橘子共105105个，如果把苹果分放到个，如果把苹果分放到4 4个个盘中，把梨分放到盘中，把梨分放到5 5个盘中，把橘子分放到个盘中，把橘子分放到6 6个盘中，那么每个盘中，那么每个盘子的水果个数相等。三种水果各多少个？个盘子的水果个数相等。三种水果各多少个？ 2. 2.一共有白兔、灰兔、黑兔共一共有白兔、灰兔、黑兔共250250只，如果把白兔分放到只，如果把白兔分放到5 5个笼中，把灰兔分放到个笼中，把灰兔分放到1111个笼中，把黑兔分放到个笼中，把黑兔分放到9 9个笼中，个笼中，这样每个笼中的兔子的只数相等。三种兔子各多少只？这样每个笼中的兔子的只数相等

124、。三种兔子各多少只？ 3. 3.共有科技书、文艺书和故事书共共有科技书、文艺书和故事书共360360本，若把科技书分本，若把科技书分放到放到2 2个书架上，把文艺书分放到个书架上，把文艺书分放到3 3个书架上，把故事书分放个书架上，把故事书分放到到4 4个书架上，则每个书架上的本数相等。三种书各有多少个书架上，则每个书架上的本数相等。三种书各有多少本？本？ 【例题【例题4】 在在6 6个筐里放着同样多的鸡蛋，如果从每个筐里拿出个筐里放着同样多的鸡蛋，如果从每个筐里拿出5050个个鸡蛋，则鸡蛋，则6 6个筐里剩下的鸡蛋个数的总和等于原来两个筐里鸡个筐里剩下的鸡蛋个数的总和等于原来两个筐里鸡蛋个数

125、的总和。原来每个筐里有鸡蛋多少个？蛋个数的总和。原来每个筐里有鸡蛋多少个？ 【思路导航】【思路导航】 根据根据“6“6个筐里剩下的鸡蛋个数的总和等于原来个筐里剩下的鸡蛋个数的总和等于原来5 5个筐里鸡个筐里鸡蛋个数的总和蛋个数的总和”，说明，说明6 6个筐里取出的鸡蛋个数的总和等于原个筐里取出的鸡蛋个数的总和等于原来（来（6 62 2）=4=4个筐里鸡蛋的总和，用取出的个筐里鸡蛋的总和，用取出的506=300506=300个鸡蛋个鸡蛋除以除以4 4就可求出原来每个筐里的鸡蛋个数：就可求出原来每个筐里的鸡蛋个数：3004=753004=75个。个。 【练习【练习5】 1. 1.在在6 6个纸箱中

126、放着同样多的苹果。如果从每个纸箱里拿个纸箱中放着同样多的苹果。如果从每个纸箱里拿出出5050个苹果，则个苹果，则6 6个箱里剩下的苹果个数的总和等于原来个箱里剩下的苹果个数的总和等于原来2 2个个箱子的苹果个数的总和。原来每个箱里有多少个苹果？箱子的苹果个数的总和。原来每个箱里有多少个苹果？ 2. 2.某商店有某商店有5 5箱皮球，如果从每箱里取出箱皮球，如果从每箱里取出1515个，那么个，那么5 5个箱个箱里剩下皮球的个数正好等于原来里剩下皮球的个数正好等于原来2 2箱皮球的个数。原来每箱箱皮球的个数。原来每箱装了多少个皮球？装了多少个皮球？ 3. 3.有有3 3个水桶，如果从每桶中倒出个水

127、桶，如果从每桶中倒出4 4千克水，那么千克水，那么3 3桶里剩桶里剩下的水的重量正好等于原来下的水的重量正好等于原来1 1桶的重量。原来每桶装多少千桶的重量。原来每桶装多少千克水？克水？ 三（三（1 1）班准备给参加班级绘画比赛的）班准备给参加班级绘画比赛的1616位同学和参加朗位同学和参加朗读比赛的读比赛的1212位同学每人发一份纪念品，当中队长玲玲将位同学每人发一份纪念品，当中队长玲玲将2828份纪份纪念品发下去时，却多出念品发下去时，却多出5 5份，这是怎么回事？对了，因为有份，这是怎么回事？对了，因为有5 5位位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出同学既参加了绘画比赛

128、，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了了5 5份。数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。份。数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。 解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理包含与排包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。应从它们的和中排除重复部分。 解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，

129、重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。 【例题【例题1】 六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。小张从前数起，六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。小张从前数起，红旗是第红旗是第8 8面；从后数起，红旗是第面；从后数起，红旗是第1010面。这行彩旗共多少面面。这行彩旗共多少面？ 【思路导航】【思路导航】 根据题意，画出下图：根据题意，画出下图： 从图上可以看出，从前数起红旗是第从图上可以看出，从前数起红旗是第8 8面，从后数起是第面，从后数起是第1010面，这样红旗就数了两次，重复了一次，所以这行彩旗共有面，这样红旗就数了两次，重复了一次，

130、所以这行彩旗共有8 810101=171=17面。面。【练习【练习1】 1.1.小朋友排队做操，小明从前数起排在第小朋友排队做操，小明从前数起排在第4 4个，从后数起个，从后数起排在第排在第7 7个。这队小朋友共有多少人？个。这队小朋友共有多少人？ 2. 2.学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第1212个，个，从右数起是第从右数起是第2121个。这一行座位有多少个？个。这一行座位有多少个？ 3. 3.同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起起，李同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起起，李华都排在第华都排在第8 8个。这一排共有多少个同学？

131、个。这一排共有多少个同学？ 【例题【例题2】 同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位置从左数同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位置从左数起是第起是第4 4个，从右数起是第个，从右数起是第3 3个，从前数起是第个，从前数起是第5 5个，从后数起个，从后数起是第是第6 6个。做操的同学共有多少个？个。做操的同学共有多少个？ 【思路导航】【思路导航】 根据题意，画出右图：根据题意，画出右图： 由图可看出：小明的位置从左数由图可看出：小明的位置从左数第第4 4个，右数第个，右数第3 3个，说明横行有个，说明横行有4 43 31=61=6个人；从前数第个人；从前数第5 5个，从后数第个，从后数第6

132、 6个，说明竖行有个，说明竖行有5 56 61=101=10人，所以人，所以做操的同学共有：做操的同学共有：610=60610=60人。人。【练习【练习2】 1.1.同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。小红的位置同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。小红的位置无论从前数从后数，从左数还是从右数起都是第无论从前数从后数，从左数还是从右数起都是第4 4个。跳舞个。跳舞的共有多少人？的共有多少人？ 2. 2.为庆祝为庆祝“六一六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第小华的位置从左数第2 2个，从右数第个，从右数第4 4个；从前数第个；从前数第3 3

133、个，从个，从后数第后数第5 5个。鲜花队共多少人？个。鲜花队共多少人？ 3. 3.三（三（4 4）班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，）班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，梅梅的位置从前数是第梅梅的位置从前数是第6 6个，从后数是第个，从后数是第5 5个；从左数、从右个；从左数、从右数都是第数都是第3 3个。三（个。三（4 4）班共有学生多少人？）班共有学生多少人？【例题【例题3】 把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。如果这块钉在一起的木板长如果这块钉在一起的木板长120120厘米，中间重叠部分是厘米，中间重叠部分是1

134、616厘米，厘米，这两块木板各长多少厘米？这两块木板各长多少厘米？ 【思路导航】【思路导航】 把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是重叠部分，重叠的部分是重叠部分，重叠的部分是1616厘米，所以这两块木板的总长度厘米，所以这两块木板的总长度是是12012016=13616=136厘米，每块木板的长度是厘米，每块木板的长度是1362=681362=68厘米。厘米。 【练习【练习3】 1.1.把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。这段更长的纸条长这段更长的纸条长3030厘米，中间

135、重叠部分是厘米，中间重叠部分是6 6厘米，原来两厘米，原来两段纸条各长多少厘米？段纸条各长多少厘米？ 2. 2.把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长3535厘米的木厘米的木板。中间重合部分长板。中间重合部分长1111厘米，这两块木板各长多少厘米？厘米，这两块木板各长多少厘米？ 3. 3.两根木棍放在一起（如图），从头到尾共长两根木棍放在一起（如图），从头到尾共长6666厘米，其厘米，其中一根木棍长中一根木棍长4848厘米，中间重叠部分长厘米，中间重叠部分长1212厘米。另一根木棍厘米。另一根木棍长多少厘米？长多少厘米？ 【例题【例题4】 一次数学测试，全

136、班一次数学测试，全班3636人中，做对第一道聪明题的有人中，做对第一道聪明题的有2121人，做对第二道聪明题的有人，做对第二道聪明题的有1818人，每人至少做对一道。问两人，每人至少做对一道。问两道聪明题都做对的有几人？道聪明题都做对的有几人？ 【思路导航】【思路导航】 根据题意，画出下图：根据题意，画出下图： 图中间重叠部分表示两道题都做对的人数，把做第一道题图中间重叠部分表示两道题都做对的人数，把做第一道题和做对第二道题的人数加起来得和做对第二道题的人数加起来得212118=3918=39人，这人，这3939人比全班人比全班总人数总人数3636多出了多出了393936=336=3人，这多出

137、的人，这多出的3 3人既在做对第一题的人既在做对第一题的人数中算过，也在做对第二道题的人数中算过，即表示两道题人数中算过，也在做对第二道题的人数中算过，即表示两道题都做对的人数。都做对的人数。【练习【练习4】 1. 1.三（三（1 1）班有学生）班有学生5555人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种。已知参加赛跑的有中的一种。已知参加赛跑的有3636人，参加跳绳的有人，参加跳绳的有3838人。两人。两项比赛都参加的有几人？项比赛都参加的有几人？ 2. 2.两块木板各长两块木板各长7575厘米，像下图这样钉成一块长厘米，像下图这样钉成一块长130130厘米厘米的木板

138、，中间重合部分是多少厘米？的木板，中间重合部分是多少厘米？ 3. 3.三（三（5 5）班有）班有4242名同学，会下象棋的有名同学，会下象棋的有2121名同学，会下名同学，会下围棋的有围棋的有1717名，两种棋都不会的有名，两种棋都不会的有1010名。两种棋都会下的有名。两种棋都会下的有多少名？多少名？ 【例题【例题5】 三（三（1 1）班订数学报的有）班订数学报的有3232人，订阅读报的有人，订阅读报的有3030人，两份报纸都订的有人，两份报纸都订的有1010人，全班每人至少订一种报纸。三人，全班每人至少订一种报纸。三（1 1）班有学生多少人？）班有学生多少人？ 【思路导航】【思路导航】 根

139、据题意，画出右图：根据题意，画出右图： 从上图可以看出，中间重叠部分表示两从上图可以看出，中间重叠部分表示两份报纸都订的份报纸都订的1010人，这人，这1010人既被包括在订人既被包括在订数学报的数学报的3232人内，又被包括在订阅读人内，又被包括在订阅读报的报的3030人内，重复算了一次，所以要算出人内，重复算了一次，所以要算出全班人数，必须从全班人数，必须从323230=6230=62人中去掉被重人中去掉被重复算过的复算过的1010人。所以全班人数应是人。所以全班人数应是626210=5210=52人。人。 【练习【练习5】 1. 1.三（三（4 4）班做完语文作业的有）班做完语文作业的有

140、3737人，做完数学作业的有人，做完数学作业的有4242人，两种作业都完成的有人，两种作业都完成的有3131人，每人至少完成一种作业。人，每人至少完成一种作业。三（三（4 4）班共有学生多少人？）班共有学生多少人？ 2. 2.两块木板各长两块木板各长9090厘米，像下图这样钉成一块木板，中间厘米，像下图这样钉成一块木板，中间重合部分是重合部分是1515厘米，这块钉在一起的木板总长多少厘米？厘米，这块钉在一起的木板总长多少厘米？ 3. 3.三年级有三年级有107107个小朋友去春游，带矿泉水的有个小朋友去春游，带矿泉水的有7878人，带人，带水果的有水果的有7777人，每人至少带一种。三年级既带矿泉水又带水人，每人至少带一种。三年级既带矿泉水又带水果的小朋友有多少人？果的小朋友有多少人？