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1、5.1平面向量的概念及线性运算第五章平面向量数学数学 苏苏（理）（理）基础知识基础知识自主学习自主学习题型分类题型分类深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提高感悟提高练出高分练出高分1.向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量；向量的大小叫做向量的(或称为)平面向量是自由向量零向量 长度为的向量；其方向是任意的记作_单位向量长度等于长度的向量大小方向长度模01个单位0平行向量方向 或 的非零向量0与任一向量 或共线共线向量 的非零向量又称为共线向量相等向量长度 且方向 的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量 长度 且方向 的向量0的相反向量为0相同相反方向相同或相反相等相同相等相反
2、平行2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：ab. (2)结合律：(ab)c .三角形平行四边形baa(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差法则aba(b)三角形数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a| ；(2)当0时，a的方向与a的方向；当0时，a的方向与a的方向；当a0时，a0；当0时，a(a) ；() a ；(ab)|a|相同相反0()aaaab3.向量共线定理如果有一个实数，使ba(a0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a0)是共线向量，那么有且只有一个实数，使ba.u思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中
3、打“”或“”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量.()(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关.()(3)已知两向量a，b，若|a|1，|b|1，则|ab|2.()(4)ABC中，D是BC中点，则 ( ).()(5)向量 与向量 是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.()(6)当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，反之成立.()题号答案解析1234312 解析题型一平面向量的概念题型一平面向量的概念例1给出下列命题：若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则“ ”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条
4、件是|a|b|且ab.其中正确命题的序号是_.解析答案思维升华不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.题型一平面向量的概念题型一平面向量的概念例1给出下列命题：若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则“ ”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab.其中正确命题的序号是_.又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；解析答案思维升华反之，若四边形ABCD为平行四边形，题型一平面向量的概念题型一平面向量的概念例1给出下列命题：若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则“ ”是“四边形
5、ABCD为平行四边形”的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab.其中正确命题的序号是_.解析答案思维升华题型一平面向量的概念题型一平面向量的概念例1给出下列命题：若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则“ ”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab.其中正确命题的序号是_.正确.ab，a，b的长度相等且方向相同；又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac.不正确.当ab且方向相反时，解析答案思维升华题型一平面向量的概念题型一平面向量的概念例1给出下列命题：若|a|b|
6、，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则“ ”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab.其中正确命题的序号是_.即使|a|b|，也不能得到ab，故“|a|b|且ab”不是“ab”的充要条件，而是必要不充分条件.综上所述，正确命题的序号是.解析答案思维升华题型一平面向量的概念题型一平面向量的概念例1给出下列命题：若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则“ ”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab.其中正确命题的序号是_.即使|a|b|，也不能得到ab，故“|a
7、|b|且ab”不是“ab”的充要条件，而是必要不充分条件.综上所述，正确命题的序号是.解析答案思维升华(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.题型一平面向量的概念题型一平面向量的概念例1给出下列命题：若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则“ ”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab.其中正确命题的序号是_.解析答案思维升华题型一平面向量的概念题型一平面向量的概念例1
8、给出下列命题：若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则“ ”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab.其中正确命题的序号是_.解析答案思维升华跟踪训练1下列命题中，正确的是_.(填序号)有向线段就是向量，向量就是有向线段；向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；向量 与向量 共线，则A、B、C、D四点共线；如果ab，bc，那么ac；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.解析不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量
9、方向不一定相同或相反；不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；不正确，如果b0，则a与c不一定平行；正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小.答案题型二平面向量的线性运算题型二平面向量的线性运算解析答案思维升华例2(1)在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若 a， b，则 _.(用a，b表示)由题意知，DEBE13DFAB，题型二平面向量的线性运算题型二平面向量的线性运算例2(1)在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若 a， b，则 _.
10、(用a，b表示)解析答案思维升华题型二平面向量的线性运算题型二平面向量的线性运算例2(1)在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若 a， b，则 _.(用a，b表示)解析答案思维升华题型二平面向量的线性运算题型二平面向量的线性运算例2(1)在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若 a， b，则 _.(用a，b表示)解析答案思维升华(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.题型二平面向量的线性运算题型二平面向量的线性运算例2(1)在平行四边形
11、ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若 a， b，则 _.(用a，b表示)解析答案思维升华(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果.题型二平面向量的线性运算题型二平面向量的线性运算例2(1)在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若 a， b，则 _.(用a，b表示)解析答案思维升华解析答案思维升华解析答案思维升华解析答案思维升华(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.解析答
12、案思维升华(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果.解析答案思维升华题型三共线定理的应用题型三共线定理的应用解析思维升华题型三共线定理的应用题型三共线定理的应用解析思维升华题型三共线定理的应用题型三共线定理的应用又它们有公共点B，A、B、D三点共线.解析思维升华(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系.当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.题型三共线定理的应用题型三共线定理的应用解析思维升华(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立，若1a2b0，当
13、且仅当120时成立，则向量a、b不共线.题型三共线定理的应用题型三共线定理的应用解析思维升华例3(2)试确定实数k，使kab和akb共线.解析思维升华例3(2)试确定实数k，使kab和akb共线.解kab和akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb.(k)a(k1)b.a、b是两个不共线的非零向量，kk10，k210.k1.解析思维升华例3(2)试确定实数k，使kab和akb共线.(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系.当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.解析思维升华例3(2)试确定实数k，使kab和akb共线.解析思维升华(2)
14、向量a、b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立，若1a2b0，当且仅当120时成立，则向量a、b不共线.又因为点D是BC边上靠近B的三等分点，答案3思想与方法系列思想与方法系列7 7 方程思想在平面向量的线性运算中的应用方程思想在平面向量的线性运算中的应用思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去.(2)既然 能用a、b表示，那我们不妨设出 manb.(3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解.思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒4分分 思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提
15、醒6分分 即m2n1.9分分 思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒12分分 又C、M、B三点共线，思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒消去t1得，4mn1.14分分 思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒(1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度.(2)易错点是，找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解.(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.如本题易忽视A、M、D三点共线和B、M、C三点共线这个几何特
16、征.(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会.思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒方 法 与 技 巧1.向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素.向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”.方 法 与 技 巧2.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.失 误 与 防 范1.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是
17、考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.2.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.234567891011.下列说法正确的个数是_.温度、速度、位移、功这些物理量都是向量；零向量没有方向；向量的模一定是正数；非零向量的单位向量是唯一的.解析错误，只有速度和位移是向量；23456789101错误，零向量是有方向的，它的方向是任意的；错误，|0|0；显然错误.答案0345678910122.已知向量a(2,4)，b(1,1)，则2ab_.解析2ab(4,8)(1,1)(5,7).(5,7)24567891013245678910132apb(2ab
18、)，22，p，1，p1.答案1235678910144.已知点O为ABC外接圆的圆心，且 0，则ABC的内角A_.又O为ABC外接圆的圆心，ABC为等边三角形，A60.6023467891015234578910166.下列命题：如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么ab的方向必与a，b之一方向相同；若a，b均为非零向量，则|ab|与|a|b|一定相等.其中假命题的序号为_.23457891016解析若a与b长度相等，方向相反，则ab0；A，B，C三点可能在一条直线上；|a|b|ab|.答案23456891017解析设D为AC的中点，连结OD，23456891017从而容易得AOB与AOC的
19、面积之比为12.答案122345691017823456910178234567810199.已知向量a2e13e2，b2e13e2，其中e1、e2不共线，向量c2e19e2.问是否存在这样的实数、，使向量dab与c共线？解d(2e13e2)(2e13e2)(22)e1(33)e2，要使d与c共线，则应有实数k，使dkc，即(22)e1(33)e22ke19ke2，23456781019故存在这样的实数、，只要2，就能使d与c共线.23456789110连结BG，CG，得到ABGC，2345678911023456789110(2)求证：B，E，F三点共线.所以B，E，F三点共线.1.已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2 2 ，则下列结论正确的是_.点P在线段AB上；点P在线段AB的反向延长线上；点P在线段AB的延长线上；点P不在直线AB上.12345所以点P在线段AB的反向延长线上.答案1234512345由P、G、Q三点共线得，存在实数，12345答案31234512345解析作BAC的平分线AD.12345P的轨迹一定通过ABC的内心.答案内1234512345则mn2.答案212345证明 若mn1，1234512345(2)若A，P，B三点共线，求证：mn1.1234512345
