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1、例说借助导数证明函数不等式例说借助导数证明函数不等式用导数证明不等式是一种重要方法，其主要思想是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式；而如何构造辅助函数是用导数方法证明不等式的关键，下面举例说明。一、直接作差构造函数一、直接作差构造函数x2x2 ln(1 x) x 例 1：求证不等式x 在x(0,)等成立。22(1 x)x2),补充定义 f(0)=0.证明：令f (x) ln(1 x) (x 21x2f (x) 1 x 01 xx 1 y f (x)在0，）上单调递增。x2当x 0，）时，f(x)0恒成立ln(1 x) x -.(1)2x2令g(x
2、) xln(1 x),补充定义 g（0）0，则2(1 x)4x2 4x -2x212x2g (x) 1- 0221 x4(1 x)4(1 x)g(x)在0,)上单调递增。x2当x 0，）时，x-ln(1 x) 0恒成立。（2）2(1 x)x2x2 ln(1 x) x -成立故由（1） 、 （2）可知，x(0,)时，不等式x22(1 x)点评：一般的，用导数证明不等式时要注意所构造的函数在区间端点处是否连续，即是否要补充函数在端点处的定义；另外要注意用到一个结论：设函数f(x)在区间a,+)上连续，在区间(a,+)内可导，且f (x) 0;又f (a) 0,则 xa 时，f(x)0。例例 2 2
3、： ，证明不等式：log2x (1 x)log2(1 x) 1；证明： （1）对函数f (x)求导数：f (x) (xlog2x)(1 x)log2(1 x) log2x log2(1 x) 于是f ( ) 0.11. log2x log2(1 x).ln2ln21211时, f (x) log2x log2(1 x) 0, f (x)在区间(0,)是减函数，2211当x 时, f (x) log2x log2(1 x) 0, f (x)在区间( ,1)是增函数.2211所以f (x)在x 时取得最小值，f ( ) 122当x 点评：.若 f(x)，g(x)差函数为非单调其差有极大值或极小值，
4、用导函数求其极大值、极小值，从而证明不等式。二、根据题目自身特点构造函数二、根据题目自身特点构造函数1、变形（代换、比商等）后再作差构造函数1x 11lnx 1xx11证明：令1 t,x 0， t 1,x .xt -111则原不等式 1 lnt t -1，令f(t)t1lnt， f(t)1tt例 3，若x(0,),求证 t (1,), f(t) 0, f (t)在t (1,)上为增函数。 f (t) f (1) 0,t 1 lnt.111t 1令g(t) lnt 1 ,g(t) 22,tttt t (1,),g(t) 0,g(t)在t (1,)上为增函数。1g(t) g(1) 0,lnt 1
5、,t1x 11 ln.x 1xx1,0 x 实际上就是把原来取不到的x=0x值代换为可取到的 t=1,把原来要研究函数在x 处的值，等价为研究函数在t=1 处的值；1111x 12 1 ）之特例，想一想 ln(2)若令t 则ln(1) 即为例（如何证？xxxx 1x点评：(1)代换作用：此题设代换t 12、用分离变量的思想构造函数 e,证明例 4若证明：原题等价于lnln,设f (x) ln x,x当x e时，f(x) e,1ln x 0,当x e时，f (x)单调递减，2xlnln,即.lnln说明：此题构造的方式不是直接作差或作商，而是根据题目的特点先用分离变量的方式将两个变量分别变形到式子的两边再构造函数。3、端点变量法构造函数例 5若 g(x)=xlnx, 0ab,则 0g(a)+g(b)-2g(a b)F(a)=0,即 00 时，G (x) 0,即当x 0时，G(x)是减函数，g(b)G(a)=0,即 g(a)+g(b)-2g(a b)(b-a)ln2.2点评：一般的利用辅助函数证明不等式时， 直接将不等式的两端移项到一侧， 求导就可以了。但本题中的不等式涉及区间的端点，因此就涉及选择自变量的问题，本题就是把其中的一个端点设为自变量。
