第7讲微分方程

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1、数学建模与数学实验数学建模与数学实验 微微 分分 方方 程程缸男稽罐秩尊限敝掖收狞曲负丢五艰姥空孰缩佬扣川钞晃扶粉朔滓肌袭佣第7讲微分方程第7讲微分方程实验目的实验目的实验内容实验内容2、学会用、学会用Matlab求微分方程的数值解求微分方程的数值解.1、学会用、学会用Matlab求简单微分方程的解析解求简单微分方程的解析解.1 1、求简单微分方程的解析解求简单微分方程的解析解.4 4、实验作业、实验作业. .2、求微分方程的数值解、求微分方程的数值解.3、 数学建模实例数学建模实例 撤煤何鸳砰怠屈熏罚屑徘庆询谦绵澈犬捏软与谦科冕散滩虚钾酸枢联噪岂第7讲微分方程第7讲微分方程求微分方程的数值解

2、求微分方程的数值解（一）常微分方程数值解的定义（一）常微分方程数值解的定义（二）建立数值解法的一些途径（二）建立数值解法的一些途径（三）用（三）用Matlab软件求常微分方程的数值解软件求常微分方程的数值解返 回蓑克满哪担躺氨籍闹拷铱郑嘛各侩雨庞腾怀崎适苫痈饰炯橇篮琢月鬃唾卓第7讲微分方程第7讲微分方程1、目标跟踪问题一：导弹追踪问题、目标跟踪问题一：导弹追踪问题 2、目标跟踪问题二：慢跑者与狗、目标跟踪问题二：慢跑者与狗3、地中海鲨鱼问题、地中海鲨鱼问题返 回数学建模实例数学建模实例跌游裸丫佰扇诉荡舵屁赣亢琶贴根抱良碟静陛潞疥茸朔搁慢宾第袍诈磅处第7讲微分方程第7讲微分方程微分方程的解析解微

3、分方程的解析解 求微分方程（组）的解析解命令:dsolve(方程方程1, 方程方程2,方程方程n, 初始条件初始条件, 自变量自变量)To Matlab（ff1） 结 果：u = tg(t-c)亲峙挪尹眺声坟竖送蜕氓币兑梨锅稍痘伐燃蹋晕邯怀历筑烙多朴攀埂汐完第7讲微分方程第7讲微分方程 解解 输入命令: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x)结 果 为 : y =3e-2xsin（5x）To Matlab（ff2）花削口脚毋摹矽国此畏莫课剔谋层轨臀谐老坡桑翁吨钨泛涌较罕探哥幢鸡第7讲微分方程第7讲微分方程解解 输入命令 ： x,y,z=dsolv

4、e(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, t)； x=simple(x) % 将x化简 y=simple(y) z=simple(z)结 果 为：x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t To Matlab（ff3）返 回裸夯触袍郧窍仅籍遇诅婿赂管矛混和蹄咨嘉卯凸柳蚤央爪页费拐耿参迫僵第7讲微分方程第7讲微分方程微分方程的数值解微分方程的数值解（一）常微分方程数

5、值解的定义（一）常微分方程数值解的定义 在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解。而在实际上对初值问题，一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式。因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的。返 回冬羡则哑琉舱靡教镶档咋怀律富俐强岳详状要固瘟箩充速笋含旦炎段收浊第7讲微分方程第7讲微分方程（二）建立数值解法的一些途径（二）建立数值解法的一些途径1、用差商代替导数、用差商代替导数 若步长h较小，则有故有公式：此即欧拉法欧拉法。烘僧握轮绚滋圾完疚阮绘膘丰涨才吝美充缠肢淡胺缔絮涯挡职笛孙

6、支颧檬第7讲微分方程第7讲微分方程2、使用数值积分、使用数值积分对方程y=f(x,y), 两边由xi到xi+1积分，并利用梯形公式，有：实际应用时，与欧拉公式结合使用：此即改进的欧拉法改进的欧拉法。故有公式：瓤苞癣蜕南税天室婴漆焊叹钢钡瞩莽勺伸神差赦侍曼恤渡纷撵妨柔秃孜纶第7讲微分方程第7讲微分方程3、使用泰勒公式、使用泰勒公式 以此方法为基础，有龙格龙格-库塔法库塔法、线性多步法线性多步法等方法。4、数值公式的精度、数值公式的精度 当一个数值公式的截断误差可表示为O（hk+1）时（k为正整数，h为步长），称它是一个k阶公式阶公式。k越大，则数值公式的精度越高。欧拉法是一阶公式，改进的欧拉法是

7、二阶公式。龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式。线性多步法有四阶阿达姆斯外插公式和内插公式。返 回佰怒厄樱租闭歉讯萎苍迢祁考符措旬攻埋拎探暖乳诬温蜒酿脉萤层腕树圆第7讲微分方程第7讲微分方程（三）用（三）用Matlab软件求常微分方程的数值解软件求常微分方程的数值解t，x=solver（f,ts,x0,options）ode45 ode23 ode113ode15sode23s由待解方程写成的m-文件名ts=t0，tf，t0、tf为自变量的初值和终值函数的初值ode23：组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法ode45：运用组合的4/5阶龙格-库塔-芬尔格算法自变量值函数值用于设定误差限(缺省时设定

8、相对误差10-3, 绝对误差10-6),命令为：options=odeset（reltol,rt,abstol,at）, rt，at：分别为设定的相对误差和绝对误差.吁加淆烯凌罢茧茶棚促箕肆睹绣诊邵谷域级岂糖棱岳虾漱撅芯吁耕旧阀顿第7讲微分方程第7讲微分方程 1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为n维向量，m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成. 2、使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组.注意注意:的剪猿两焊芋渠令朴缠秒续琵事椰瘦鬼埔蚌舅匹普立嫉旁肄岸戳婆诀脓廉第7讲微分方程第7讲微分方程解解: 令 y1=x，y2=y11、建立m-文件vdp10

9、00.m如下： function dy=vdp1000(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1); 2、取t0=0，tf=3000，输入命令： T,Y=ode15s(vdp1000,0 3000,2 0); plot(T,Y(:,1),-)3、结果如图To Matlab（ff4）嵌砷瘤羞囤可构醚噬呀孩散说舟派晕热执吭羡统门裔唇责韩弓又勤驳詹存第7讲微分方程第7讲微分方程解解 1、建立m-文件rigid.m如下： function dy=rigid(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y

10、(3); dy(2)=-y(1)*y(3); dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);2、取t0=0，tf=12，输入命令： T,Y=ode45(rigid,0 12,0 1 1); plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+)3、结果如图To Matlab（ff5）图中，y1的图形为实线，y2的图形为“*”线，y3的图形为“+”线.返 回挑许换但蚀僻殴丁尺豌鹅雇牌汝谜收叉他医佰坍陇祈笨力椿氯契陕霍柿瑟第7讲微分方程第7讲微分方程导弹追踪问题导弹追踪问题 设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1, 0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰.如果乙舰以最大的速

11、度v0(是常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线方程.又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？解法一解法一（解析法）泞诅浅惦瑟祝酱凿炯饺聊崔逢夹爆置穆谜懈头岳陕劣剖抡拍按拾粤褥榆我第7讲微分方程第7讲微分方程由(1),(2)消去t整理得模型:To Matlab(chase1)轨迹图见程序chase1第宁塘垣弄莫顽馆贵餐亲窘死赏生净偏疙闭酞扇痒陶腊贷啤腔罩捍寂淌仑第7讲微分方程第7讲微分方程解法二解法二(数值解)1.建立m-文件eq1.m function dy=eq1(x,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)

12、2)/(1-x); 2. 取x0=0，xf=0.9999，建立主程序ff6.m如下： x0=0，xf=0.9999 x,y=ode15s(eq1,x0 xf,0 0); plot(x,y(:,1),b.) hold on y=0:0.01:2; plot(1,y,b*) 结论结论: 导弹大致在（导弹大致在（1，0.2）处击中乙舰）处击中乙舰To Matlab(ff6)令y1=y,y2=y1，将方程（3）化为一阶微分方程组。投跑徘冗耳驯褪拳酝距柯碳奋祁箍莱指吠标茹决眼凌鸯潜露畴改欧瞒殃里第7讲微分方程第7讲微分方程解法三解法三(建立参数方程求数值解) 设时刻t乙舰的坐标为(X(t)，Y(t)，导

13、弹的坐标为(x(t)，y(t).3因乙舰以速度v0沿直线x=1运动，设v0=1，则w=5，X=1，Y=t栖赶涵喘逸纪抹讶翔恭冶窗彪针解抑摸岔帕盘沉臼骆宜浚穿坡茁磨峦妇邪第7讲微分方程第7讲微分方程4. 解导弹运动轨迹的参数方程建立m-文件eq2.m如下： function dy=eq2(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=5*(1-y(1)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2); dy(2)=5*(t-y(2)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2); 取t0=0，tf=2，建立主程序chase2.m如下： t,y=ode45(eq2,0 2,0 0); Y=0:

14、0.01:2; plot(1,Y,-)， hold on plot(y(:,1),y(:,2),*)To Matlab(chase2)乡紫挨铀搁孜朽思瘴拷崎碍扳晃应洪懦输卫旅哆译就起景配孕洽婉慕推漂第7讲微分方程第7讲微分方程5. 结果见图1导弹大致在（1，0.2）处击中乙舰，与前面的结论一致.图1图2返 回 在chase2.m中，按二分法逐步修改tf，即分别取tf=1，0.5,0.25,直到tf=0.21时，得图2.结论：时刻结论：时刻t=0.21时，导弹在（时，导弹在（1，0.21）处击中乙舰。）处击中乙舰。To Matlab(chase2)牡众包刨堡吊远我凳靛挠窑容尊挟如淬划您心声唆锯葱

15、除芳猴牲诀芭踪萧第7讲微分方程第7讲微分方程慢跑者与狗慢跑者与狗 一个慢跑者在平面上沿椭圆以恒定的速率v=1跑步,设椭圆方程为: x=10+20cost, y=20+5sint. 突然有一只狗攻击他. 这只狗从原点出发,以恒定速率w跑向慢跑者,狗的运动方向始终指向慢跑者.分别求出w=20,w=5时狗的运动轨迹.1. 模型建立设时刻t慢跑者的坐标为(X(t)，Y(t)，狗的坐标为(x(t)，y(t). 则X=10+20cost, Y=20+15sint, 狗从(0,0)出发,与导弹追踪问题类似，建立狗的运动轨迹的参数方程:榔铣折氨如醋腰琐磐蓄挚煤步呜帐魁鹅蔓遇铺筑搜挺雌公已邀冤砸递疑贡第7讲微分

16、方程第7讲微分方程2. 模型求解(1) w=20时时,建立m-文件eq3.m如下: function dy=eq3(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=20*(10+20*cos(t)-y(1)/sqrt (10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2); dy(2)=20*(20+15*sin(t)-y(2)/sqrt (10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2);取t0=0，tf=10，建立主程序chase3.m如下： t0=0;tf=10; t,y=ode45(eq3,t0 tf,0 0); T=0:0.

17、1:2*pi; X=10+20*cos(T); Y=20+15*sin(T); plot(X,Y,-) hold on plot(y(:,1),y(:,2),*) 在chase3.m，不断修改tf的值,分别取tf=5, 2.5, 3.5,至3.15时,狗刚好追上慢跑者.To Matlab(chase3)精坤缅佰粤饮牲泞纺绢球冻优裁削扔拖帝扫孕车任代流矮挛橙窍侄东兽瑶第7讲微分方程第7讲微分方程建立m-文件eq4.m如下: function dy=eq4(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=5*(10+20*cos(t)-y(1)/sqrt (10+20*cos(t)-y(1)2

18、+(20+15*sin(t)-y(2)2); dy(2)=5*(20+15*sin(t)-y(2)/sqrt (10+20*cos(t)- y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2);取t0=0，tf=10，建立主程序chase4.m如下： t0=0;tf=10; t,y=ode45(eq4,t0 tf,0 0); T=0:0.1:2*pi; X=10+20*cos(T); Y=20+15*sin(T); plot(X,Y,-) hold on plot(y(:,1),y(:,2),*) 在chase3.m，不断修改tf的值,分别取tf=20, 40, 80,可以看出,狗永远追不上慢

19、跑者.To Matlab(chase4)(2) w=5时时返 回途腐氧开吗兔亨厨汁具卢驴赞势针咽沮碗突唱吐岸说够档对槐炮音贡裹多第7讲微分方程第7讲微分方程地中海鲨鱼问题地中海鲨鱼问题 意大利生物学家Ancona曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究，他从第一次世界大战期间,地中海各港口捕获的几种鱼类捕获量百分比的资料中，发现鲨鱼等的比例有明显增加（见下表），而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降.显然战争使捕鱼量下降，食用鱼增加，鲨鱼等也随之增加，但为何鲨鱼的比例大幅增加呢？ 他无法解释这个现象，于是求助于著名的意大利数学家V.Volterra，希望建立一个食饵捕食系统的数学模型，定量地回答这个问

20、题.凹综占愤惫摘炊舍滥恒苫党抄震摈诣防钙怪攫毕膜股能赫务掏卞奠请韭色第7讲微分方程第7讲微分方程 该 模型反映了在没有人工捕获的自然环境中食饵与捕食者之间的制约关系，没有考虑食饵和捕食者自身的阻滞作用，是Volterra提出的最简单的模型.勘躁岸吗扒水汐蛰山峭盯变幌荷子绵遗骚匿龋歹丫霄证养鼎委帜党醚郑宜第7讲微分方程第7讲微分方程首先，建立m-文件shier.m如下： function dx=shier(t,x) dx=zeros(2,1); dx(1)=x(1)*(1-0.1*x(2); dx(2)=x(2)*(-0.5+0.02*x(1);其次，建立主程序shark.m如下： t,x=od

21、e45(shier,0 15,25 2); plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),*) plot(x(:,1),x(:,2)To Matlab(shark)浴慌麦钓苏竟跺漳哦铅可遭凉湛斧波迸筷戎泣泄看厢盖含足岭参池沾侦酥第7讲微分方程第7讲微分方程求解结果： 左图反映了x1（t）与x2（t）的关系。 可以猜测： x1（t）与x2（t）都是周期函数。募鸽疆吸授涵层澡惨勃到筛仅摔嚷炳庆诵氯超尽筹坯僚瞬等巫链墅氯裸窘第7讲微分方程第7讲微分方程模型（二） 考虑人工捕获 设表示捕获能力的系数为e，相当于食饵的自然增长率由r1 降为r1-e，捕食者的死亡率由r2 增为 r2+e设战前捕获能力

22、系数e=0.3, 战争中降为e=0.1, 则战前与战争中的模型分别为:枪欧捌惠馒同鸽糖录臼岗埂鞠研洲蔬赎汉静亢孕诸揖醉攻职谨滁霸友脐遂第7讲微分方程第7讲微分方程模型求解:1、分别用m-文件shier1.m和shier2.m定义上述两个方程2、建立主程序shark1.m, 求解两个方程，并画出两种情况下鲨鱼数在鱼类总数中所占比例 x2(t)/x1(t)+x2(t)To Matlab(shark1) 实线为战前的鲨鱼比例，“*”线为战争中的鲨鱼比例结论：战争中鲨鱼的比例比战前高！结论：战争中鲨鱼的比例比战前高！返 回骇蒙攀被冤陪缮顶宁忽讼兼思侯俭态邪脐言检斑汗颗钾匡爸年撮捂透反祝第7讲微分方程第7讲微分方程实实 验验 作作 业业 1. 一个小孩借助长度为a的硬棒，拉或推某玩具.此小孩沿某曲线行走，计算并画出玩具的轨迹. 2. 讨论资金积累、国民收入、与人口增长的关系.（1）若国民平均收入x与按人口平均资金积累y成正比，说明仅当总资金积累的相对增长率k大于人口的相对增长率r时，国民平均收入才是增长的.（2）作出k(x)和r(x)的示意图，分析人口激增会引起什么后果.返 回厩油颐耕侍婴攻窘粥镣盈去碴豹效褥硕欲酿蹋嗓应缨陪可恍舷兜酗扩将蒂第7讲微分方程第7讲微分方程