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1、数 学 精 品 课 件北 师 大 版24 数学归纳法数学归纳法3一、教学目标：一、教学目标：1、使学生了解归纳法、使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质。理解数学归纳的原理与实质。2、掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用、掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归数学归纳法纳法”证明简单的与自然数有关的命题。证明简单的与自然数有关的命题。3、培养学生观察、培养学生观察, 分析分析, 论证的能力论证的能力, 进一步发展学进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程构建过程, 体会类比的数学思想。体会类比的数学思想。4、努力创设课
2、堂愉悦情境，使学生处于积极思考、努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率。大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率。5、通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方、通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法法(先猜想后证明先猜想后证明), 激发学生的学习热情，使学生初激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神。步形成做数学的意识和科学精神。4二、教学重点二、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。教学难点：教学难点：明确数学归纳法的两个步骤的必要性并正确使用。明确数学归纳法的两个步骤的必
3、要性并正确使用。三、教学方法：三、教学方法：探析归纳，讲练结合探析归纳，讲练结合四、教学过程四、教学过程5问题问题 1:1:大球中有大球中有5 5个小球，如何证明它们都是个小球，如何证明它们都是 绿色的？绿色的？ 问题问题 2:2:完全归纳完全归纳法法 不不完全归完全归纳法纳法 问题问题3：某人看到树上乌鸦是黑的，深某人看到树上乌鸦是黑的，深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。问题情境一问题情境一6费马费马(Fermat)曾经提出一个猜想：曾经提出一个猜想：形如形如Fn22n+1(n=0,1,2)的数都是质数的数都是质数100100年后年后问题情境二问题情境二7 ：
4、由一系列有限的特殊事例得出一般结论：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法的推理方法 结论一定可靠结论一定可靠结论结论不不一定可靠一定可靠考察考察全体全体对象对象, ,得到一般结论得到一般结论的推理方法的推理方法考察考察部分部分对象对象, ,得得到一般结论的推到一般结论的推理方法理方法归纳法分为归纳法分为完全归纳法完全归纳法 和和 不不完全归纳法完全归纳法归纳法归纳法8多米诺骨牌课件演示多米诺骨牌课件演示 （2）验证前一问题与后一问题有递推关系；）验证前一问题与后一问题有递推关系； （相当于前牌推倒后牌）（相当于前牌推倒后牌） 如何解决不完全归纳法存在的问题呢如何解决不完全归纳法存在的问
5、题呢？ 如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？能做到？（1 1）处理第一个问题；（相当于推倒第一块）处理第一个问题；（相当于推倒第一块骨牌）骨牌）问题情境三问题情境三9思考思考:问题问题2中证明数列的通项公式中证明数列的通项公式 这个猜想这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗?你能类比多米诺骨你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗牌游戏解决这个问题吗?由条件知由条件知,n=1时猜想成立时猜想成立.如果如果n=k时猜想成立时猜想成立,即即 ,那么当那么当n=k+1时猜时猜想也成立想也成立,即即事实上事实上,即即n=k+1时猜想
6、也成立时猜想也成立.10 对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关自对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关自然数的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们然数的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：的正确性：（1 1）证明当）证明当n n取第一个值取第一个值n n0 0( (例如例如n n0 0=1) =1) 时命题时命题成立成立; ;（2 2）假设当）假设当n=k(kNn=k(kN* * ,k n,k n0 0) )时命题成立时命题成立 证明当证明当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立. . 这种证明方法这种证明方法叫做叫做 数学归纳法数学归纳法数学归纳法数学归纳法【归纳递
7、推归纳递推】【归纳奠基归纳奠基】11框图表示框图表示12例例1.用数学归纳法证明用数学归纳法证明131.用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，时，当当n1时，左边所得项是时，左边所得项是；当当n2时，左边所得项是时，左边所得项是；1+2+31+2+3+4+5A、1B、1+aC、1+a+a2D、1+a+a2+a3C课堂练习：课堂练习：14例例2.用数学归纳法证明：如果用数学归纳法证明：如果aan n 是一个等差数列，是一个等差数列，则则a an n= =a a1 1+(n-1)d+(n-1)d对于一切对于一切nN*nN*都成立。都成立。 证明
8、证明: (1): (1)当当n=1n=1时时, ,左边左边=a=a1 1, ,右边右边=a=a1 1 + +（1-11-1）d=ad=a1 1, , 当当n=1n=1时，结论成立时，结论成立(2)(2)假设当假设当n=kn=k时结论成立，时结论成立， 即即 a ak k=a=a1 1+(k-1)d+(k-1)d 则当则当n=k+1n=k+1时时 a ak k+1 +1 = a= ak k+d +d = a = a1 1+(k-1)d+d +(k-1)d+d = a = a1 1+(k+1)-1d+(k+1)-1d当当n=k+1n=k+1时，结论也成立。时，结论也成立。由由(1)(1)和和(2)
9、(2)知知, ,等式对于任何等式对于任何nNnN* *都成立。都成立。凑假设凑假设结论结论从从n=kn=k到到n=k+1n=k+1有什么有什么变化变化15注意注意 1 1. .用数学归纳法进行证明时用数学归纳法进行证明时, ,要分两个步要分两个步骤骤, ,两个步骤缺一不可两个步骤缺一不可. .2 (1)(1)(归纳奠基归纳奠基) )是递推的基础是递推的基础. . 找准找准n n0 0(2)(2)(归纳递推归纳递推) )是递推的依据是递推的依据n nk k时时命题成立作为必用的条件运用，而命题成立作为必用的条件运用，而n nk+1k+1时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、时情况则有待利用假设
10、及已知的定义、公式、定理等加以证明定理等加以证明16 例例3用数学归纳法证明用数学归纳法证明【分析分析】(1)第一步应做什么第一步应做什么?本题的本题的n0应取多少应取多少?n0=1,（2）在证传递性时，假设什么？求证什么）在证传递性时，假设什么？求证什么?假设假设1+3+5+.+（2k-1）=k2求证求证1+3+5十十.十十(2k-1)十十(2k+1)=(k+1)2（3）怎样将假设）怎样将假设1+3+5+.+（2k-1）=k2推理变形为推理变形为1+3+5十十.十十(2k-1)十十(2k+1)=(k+1)217证明：证明：当当n=1n=1时，左边时，左边=1=1，右边，右边=1=1，等式成立
11、。，等式成立。 假设假设n=k(kN ,k1)n=k(kN ,k1)时等式成立时等式成立, ,即：即： 1+3+5+1+3+5+(2k-1)=k+(2k-1)=k2 2， 当当n=k+1n=k+1时：时： 1+3+5+1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1=k+(2k-1)+2(k+1)-1=k2 2+2k+1=(k+1)+2k+1=(k+1)2 2， 所以当所以当n=k+1n=k+1时等式也成立。时等式也成立。 由由和和可知，对可知，对nN nN ，原等式都成立。，原等式都成立。例例3 3、用数学归纳法证明、用数学归纳法证明1+3+5+1+3+5+(2n-1)=n+(2n-1)=n2 2
12、 （nN nN ）. . 请问：请问：第第步中步中“当当n=k+1n=k+1时时”的证明可否改换为：的证明可否改换为：1+3+5+1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1= 1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1= 1+3+5+(2k-1)+(2k+1)+(2k-1)+(2k+1)= = (k+1)= = (k+1)2 2 ? ?为什么？为什么？181 1、用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：1+2+3+n=n(n+1)/2(nN)；证明证明:(1)当当n=1时时,左边左边=1,右边右边=1,等式是成立的。等式是成立的。(2)假设当假设当n=k时等式成立，就是时等式成立，就是1+2+3+
13、k=k(k+1)/2那么，那么，1+2+3+k+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)=(k+1)(k+1)+1/2这就是说，当这就是说，当n=k+1时，等式也成立。时，等式也成立。因此因此,根据根据(1)和和(2)可断定可断定,等式对于任何等式对于任何nN都成立。都成立。练习：练习：192、用数学归纳法证明：、用数学归纳法证明：1+2+22+2n-1=2n-1(nN*)证明证明:(1)当当n=1时时,左边左边=1,右边右边=1,等式是成立的。等式是成立的。(2)假设当假设当n=k时等式成立，就是时等式成立，就是1+2+22+2k-1=2k-1那么，那么，1+2+22+2k-1+2k=2k-
14、1+2k=22k-1=2k+1-1这就是说，当这就是说，当n=k+1时，等式也成立。时，等式也成立。因此因此,根据根据(1)和和(2)可断定可断定,等式对于任何等式对于任何nN*都成立。都成立。练习：练习：20分析分析: :找到找到“递推关系递推关系”就等于把握住解决问题的就等于把握住解决问题的“灵魂灵魂”。有几项？有几项？ 是什么是什么, ,它比它比多出了多少，是首要问题。多出了多少，是首要问题。例例4对于对于n N*用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：事实上f(k+1)不但比f（k）多一项，而且前k项中每一项分别比f（k）中多了1,2,3,4k f(k+1)=f(k)+1+2+3+k21证
15、明：设证明：设f(n)=(1)当当n1时，左边时，左边1，右边，右边1，等式成立，等式成立 (2)设当设当nk,时等式成立，即时等式成立，即则则n=k+1时，时，f(k+1)=1(k+1)+2(k+1)-1+3(k+1)-2+(k+1)-23+(k+1)-12+(k+1)=f(k)+1+2+3+k+(k+1) 由（由（1）（）（2）可知当）可知当n N*时等式都成立。时等式都成立。221.1.数学归纳法是一种证明与数学归纳法是一种证明与正整数正整数有关的数有关的数学命题的重要方法学命题的重要方法. .主要有两个步骤一个结论主要有两个步骤一个结论: : 【归纳奠基归纳奠基】（1）证明当）证明当n
16、取第一个值取第一个值n0（如（如n0=1或或2等）时等）时结论正确结论正确（2）假设）假设n=k时结论正确，证明时结论正确，证明n=k+1时结论时结论也正确也正确（3）由（）由（1）、（）、（2）得出结论）得出结论【归纳递推归纳递推】找准起点奠基要稳用上假设递推才真写明结论才算完整归纳小结归纳小结23作业作业: :课本习题课本习题1-41-4：3 3 补充题：补充题：求证求证: :( (n+1)(n+2)n+1)(n+2)(n+n)=2(n+n)=2n n 1 1 3 3 (2n-1)(2n-1)证明：证明： n=1n=1时：左边时：左边=1+1=2=1+1=2，右边，右边=2=21 11=2
17、1=2，左边，左边= =右边，等右边，等 式成立。式成立。 假设当假设当n=k(kN n=k(kN ）时有：）时有： (k+1)(k+2)(k+1)(k+2)(k+k)=2(k+k)=2k k 1 1 3 3 (2n-1), (2n-1), 当当n=k+1n=k+1时：时： 左边左边=(k+2)(k+3)=(k+2)(k+3)(k+k)(k+k+1)(k+k+2)(k+k)(k+k+1)(k+k+2) =(k+1)(k+2)(k+3) =(k+1)(k+2)(k+3)(k+k)(k+k) = 2 = 2k k 1 1 3 3(2k-1)(2k+1)(2k-1)(2k+1)2 2 = 2 = 2k+1k+11 1 3 3 (2k-1) (2k-1) 2(k+1)-1=2(k+1)-1=右边，右边， 当当n=k+1n=k+1时等式也成立。时等式也成立。 由由 、可知，对一切可知，对一切nN ,nN ,原等式均成立。原等式均成立。 五、教学反思：五、教学反思：
