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1、二次函数二次函数图象象对称性在解称性在解题中的中的应用用二次函数对称性与增减性基基础知知识点回点回顾二次函数二次函数y=ax+bx+c(a,b,c为常数且常数且a0)此函数的此函数的对称称轴为直直线_（用（用a、b表示）表示）若函数若函数图象与象与x轴相交于点相交于点A（1，0）、）、B( 5，0)，则对称称轴可表示可表示为直直线 ；x=3若函数若函数图象与象与x轴相交于点相交于点A（x1，0），）， B（ x2，0），），则对称称轴可表示可表示为直直线 ；若点若点(x1, n),( x2 ,n)在抛物在抛物线上，上，则抛物抛物线 的的对称称轴可表示可表示为_二次函数对称性与增减性温故知新温故
2、知新 探究探究总结 1、抛物、抛物线的的顶点坐点坐标为（0，4），与），与x轴的一个的一个交点坐交点坐标为M（2，0），），请写出抛物写出抛物线与与x轴的的另一个交点坐另一个交点坐标N( )2,0 若抛物若抛物线上有一点上有一点A的坐的坐标为( -1 ，3)，在抛物，在抛物线上与上与A关于关于对称称轴对称的点称的点B的坐的坐标是是( ).1,3 如果有一点如果有一点C的横坐的横坐标为x，则C点坐点坐标怎么表示？怎么表示？C（ ）.y=-x2+4x,-x2+4 在抛物在抛物线上与上与C点关于点关于对称称轴对称的点称的点D的坐的坐标是是D（ ）-x,-x2+x总结：在抛物在抛物线上，关于上，关于对
3、称称轴对称的两个点的特征称的两个点的特征纵坐坐标相等相等二次函数对称性与增减性 2.如如图，抛物，抛物线顶点坐点坐标为（3，4），它的），它的图象象与与x轴的一个交点坐的一个交点坐标为M（1，0），），请写出抛物写出抛物线与与x轴的另一个交点坐的另一个交点坐标N( )5, 0若抛物若抛物线上有一点上有一点A的横坐的横坐标为2，则A点坐点坐标为( ).y=-(x-3)2+42, 3在抛物在抛物线上与点上与点A关于关于对称称轴对称的点称的点B的坐的坐标是是 ( )4, 3如果有一点如果有一点C在抛物在抛物线上上,横横坐坐标为x(x3)，则C点坐点坐标为C（ ）x, -(x-3)2+4在抛物在抛物线
4、上，点上，点D与点与点C关于关于对称称轴对称，点称，点D的坐的坐标是是( ）6-x, -(x-3)2+4二次函数对称性与增减性明察秋毫明察秋毫 快速反快速反应 如如图图是二次函数是二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的的 函数函数值值y与自与自变变量量x的的对应值对应值. x-5-3-20356. y2770-8-5716找出抛物找出抛物线上关于上关于对称称轴对称的两点称的两点 。 写出抛物写出抛物线的的对称称轴 。 抛物抛物线与与x轴的交点坐的交点坐标是是 。(-3,7)、(5,7)x=1(-2,0)、(4,0)抛物抛物线上一点上一点 (m,n) 关于关于对称称轴对称的点称的点为： 。(2
5、-m, n)二次函数对称性与增减性几个重要几个重要结论：1、抛物、抛物线y=ax2+bx+c的的对称称轴是直是直线： 3、抛物、抛物线上两个不同点上两个不同点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，若有若有y1=y2，则P1，P2两点是关于抛物两点是关于抛物线对称称轴对称的点，且称的点，且这时抛物抛物线的的对称称轴是直是直线： 2、若抛物、若抛物线与与轴的两个交点是的两个交点是A(x1,0)，B(x2,0)，则抛物抛物线的的对称称轴是：是： 二次函数对称性与增减性 4、若已知抛物、若已知抛物线与与轴相交的其中一个交点是相交的其中一个交点是A(x1,0)，且其，且其对称称轴是是x=m，则另一个交
6、点另一个交点B的坐的坐标可以用可以用x1、m表示出来（注：表示出来（注：应由由A、B两点两点处在在对称称轴的左右情况而定，在的左右情况而定，在应用用时要画出要画出图象）象） x2=2m-x1x2=2m-x1二次函数对称性与增减性 5、抛物、抛物线上两个不同点上两个不同点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，若有若有y1=y2，则P1，P2两点是关于抛物两点是关于抛物线对称称轴对称的点，称的点，0与与x1+x2关于关于 对称称对称称轴如如图：二次函数对称性与增减性巧用巧用“对称性称性” 化繁化繁为简抛物抛物线y=a(x+1)2+2的一部分如的一部分如图所示所示,该抛物抛物线在在y轴右右侧部分与
7、部分与x轴交点的坐交点的坐标是是 _(1,0)二次函数对称性与增减性(一一)求点的坐求点的坐标(函数函数值)1、如、如图,抛物抛物线的的对称称轴是是x=1,与与x轴交于交于A、B两点，两点，B的坐的坐标为（ ，0），），则点点A的坐的坐标是是_二次函数对称性与增减性 2、已知关于、已知关于x的方程的方程ax2+bx+c=3的一个根的一个根为x1=2，且二次函数，且二次函数y=ax2+bx+c的的对称称轴直直线是是x=2，则抛物抛物线的的顶点坐点坐标是（是（ ）A(2，-3 ) B(2，1) C(2，3) D(3，2)C二次函数对称性与增减性 3、抛物、抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分
8、如的一部分如图所示，所示，那么那么该抛物抛物线在在y轴右右侧与与x轴交点的坐交点的坐标是是( )A(0.5，0) B(1，0) C(2，0) D(3，0)B二次函数对称性与增减性 4、已知、已知A(x1,2013),B(x2,2013)是二次函数是二次函数y=ax2+bx+5(a0)的的图象上两点象上两点,则当当x=x1+x2时,二次函数的二次函数的值是是( )A. 5 B、5+ C. 2013 D. 5ABB(x1+x2,0)点点O与点与点B关于点关于点A对称称即：即：0与与x1+x2关于关于 对称。称。D二次函数对称性与增减性 5、若二次函数、若二次函数y=ax2+c ，当，当 x 取取x
9、1 ，x2 （x1 x2 ）时，函数，函数值相等，相等，则当当x取取 x1 +x2 时，函数，函数值为（ ） A、a+c B、ac C、c D、cD0与与x1+x2关于关于 对称。称。 6、抛物、抛物线y=ax+bx+c经过点点A(-2,7),B(6,7),C(3,-8),则该抛物抛物线上上纵坐坐标为-8的另一点坐的另一点坐标是是_(1，-8)二次函数对称性与增减性 1、已知二次函数、已知二次函数y=ax+bx+c(a0)的的顶点点坐坐标为（-1，-3.2）及部分）及部分图象如象如图，由，由图象象可知关于可知关于x的一元二次方程的一元二次方程ax+bx+c=0的两根的两根分分别为x1=1.3，
10、x2=_(二二)求方程的根求方程的根-3.3二次函数对称性与增减性 2、已知抛物、已知抛物线 y= a(x-1)2+h(a0)与与x 轴交于交于A(x1,0)、B(3,0) 两点，两点，则线段段AB的的长度度为（ ）A 1B 2C 3D 4D二次函数对称性与增减性(三三)求代数式的求代数式的值(函数函数值) 1、抛物、抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的的对称称轴是是直直线 x=1 ，且，且经过点点 P（3，0），），则ab+c 的的值为 ( ) A. 0 B. 1 C. 1 D. 2 A若将若将对称称轴改改为直直线x=2，其余条件不，其余条件不变， 则 a+b+c= .02、若、若y=ax
11、2+5 与与x轴两交点分两交点分别为（x1 ,0),(x2 ,0) ，则当当x=x1 +x2时，y值为_5二次函数对称性与增减性(四四)求函数解析式求函数解析式 1、已知抛物、已知抛物线y=ax+bx+c的的对称称轴为直直线x=2，且，且经过点（点（1，4）和点（）和点（5，0），），则该抛物抛物线与与x轴相交的另一个交点坐相交的另一个交点坐标为_;函数解析式函数解析式为 。(-1,0) 2、已知二次函数的、已知二次函数的图像像经过A（-1,0）、）、 B（3,0），且函数有最小），且函数有最小值-8，试求求 二次函数解析式二次函数解析式.对称称轴x=1设解析式解析式为y=a(x+1)(x-3
12、)或或y=a(x-1)2-8y=2x2-4x-6二次函数对称性与增减性(五五)比比较函数函数值的大小的大小 1、小、小颖颖在二次函数在二次函数y=2x2+4x+5的的图图象上，象上，依横坐依横坐标标找到三点找到三点(-1，y1),(0.5，y2 ),(-3.5，y3)则则你你认为认为y1，y2，y3的大小关系的大小关系应为应为（）（） A、y1y2y3 B、y2y3y1 C、y3y1y2 D、y3y2y1离离对称称轴越近越近函数函数值越小越小D二次函数对称性与增减性 2、设A(2, y1)、B(1, y2)、C(2, y3)是抛物是抛物线 y= (x+1)2+m上的三点，上的三点，则 y1、y
13、2、y3的大小的大小关系关系为( ) A.y1y2y3 B. y1y3 y2 C. y3y2y1 D. y3y1y2离离对称称轴越近越近函数函数值越大越大A离离对称称轴越近越近函数函数值越小越小二次函数对称性与增减性 1、如、如图函数函数 y=x2x+m(m为常数常数)的的图象象如如图，如果，如果x= a 时，y0；那么；那么x= a1时，函数函数值（ ）Ay0 B0ym Cym Dy=m1a-1mCa(六六)判断命判断命题的真的真伪二次函数对称性与增减性2、老、老师出示了小黑板上的出示了小黑板上的题后后(如如图)，小，小华说：过点点(3，0)；小彬；小彬 说：过点点(4，3)；小明；小明说：
14、a=1；小小颖说：抛物：抛物线被被x轴截截 得的得的线段段长为2你你认为四人的四人的说法中，正确的有法中，正确的有( )A1个个B2个个 C3个个 D4个个已知抛物已知抛物线 y=ax2+bx+3与与x轴交于交于(1,0).试添加添加一个条件，使它的一个条件，使它的对称称轴为直直线x=2.C抛物抛物线过(1,0),(3,0)(1+3) 2=2.小小华正确正确抛物抛物线过(0,3),(4,3)(0+4) 2=2.小彬正确小彬正确a=1时，0=1+b+3,b=-4小明正确小明正确被被x轴截截 得的得的线段段长为2抛物抛物线过(1,0)、(-1,0)或或过(1,0)、(3,0)小小颖错误二次函数对称
15、性与增减性巧用巧用“对称性称性” 化化线为点点1、 求抛物求抛物线y=2x2-4x-5关于关于x轴对称的抛物称的抛物线。 方法一：方法一： 将一般形式化将一般形式化为顶点式点式y=a(x-h)2+ky=2(x-1)2-7抛物抛物线y=2x2-4x-5关于关于x轴对称的抛物称的抛物线 的解析式的解析式为：y=-2(x-1)2+7开口向上开口向上变为开口向下开口向下顶点（点（1，-7）变为（1,7）二次函数对称性与增减性点（点（x,y)关于关于x轴的的对称点称点为(x,-y)抛物抛物线y=2x2-4x-5关于关于x轴对称的称的 抛物抛物线解析式解析式为：y=-2x2+4x+5 y=-ax2-bx-
16、c1、 求抛物求抛物线y=2x2-4x-5关于关于x轴对称的抛物称的抛物线。 方法二：方法二：在抛物在抛物线 y=ax2+bx+c上任取一点上任取一点(x,y)抛物抛物线 y=ax2+bx+c关于关于x轴对称的抛物称的抛物线 的解析式的解析式为：-y=ax2+bx+c若原抛物若原抛物线是是顶点形式：点形式：选用方法一用方法一简便便若原抛物若原抛物线是一般形式：是一般形式：选用方法二用方法二简便便二次函数对称性与增减性2、求抛物、求抛物线y=2x2-4x-5关于关于y轴对称的抛物称的抛物线。在抛物在抛物线上任取一点上任取一点(x,y)，(x,y)关于关于y轴对称的点称的点为(-x,y)y=2x2
17、-4x-5关于关于y轴对称的抛物称的抛物线位位y=2 (-x)2-4(-x)-5即：即：y=2 x2+4x-5二次函数对称性与增减性在抛物在抛物线上任取一点上任取一点(x,y)，(x,y)关于原点关于原点对称的点称的点为(-x,-y)3、求抛物、求抛物线y=2x2-4x-5关于原点成关于原点成 中心中心对称的抛物称的抛物线。y=2x2-4x-5关于原点关于原点对称的抛物称的抛物线为-y=2 (-x)2-4(-x)-5即：即：y=-2 x2-4x+5二次函数对称性与增减性4、求抛物、求抛物线 y=2x2-4x-5绕着着 顶点旋点旋转180 得到的抛物得到的抛物线y=2(x-1)2-7化化为顶点式
18、：点式：顶点坐点坐标（1，-7）开口相反，开口相反，顶点不点不变y=2x2-4x-5绕着着 顶点旋点旋转180得到的抛物得到的抛物线为y=-2(x-1)2-7二次函数对称性与增减性“将将军饮马” 问题唐朝唐朝诗人李欣的人李欣的诗古从古从军行开行开头两句两句说： “ 白日登山望峰火，黄昏白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河傍交河”作点作点A关于河流的关于河流的对称点称点AAB交河流于点交河流于点P则AP+BP=AB最短最短二次函数对称性与增减性巧用巧用“对称性称性” 求距离和差最求距离和差最值如如图,抛物抛物线y0.5x2bx2与与x轴交于交于A，B两两点，与点，与y轴交于交于C点，点，顶点点为D,且
19、且A(1，0).若点若点 M（m,0)是是x轴上的一个上的一个动点，当点，当MCMD的的值最小最小时，求，求m的的值二次函数对称性与增减性若点若点若点若点N(N(n n,0),0)是是是是对对称称称称轴轴上的一个上的一个上的一个上的一个动动点，当点，当点，当点，当NANANCNC的的的的值值最小最小最小最小时时，求，求，求，求n n的的的的值值. .二次函数对称性与增减性在抛物在抛物线的的对称称轴上是否存在点上是否存在点Q， 使得使得ACQ周周长最小？最小？二次函数对称性与增减性在抛物在抛物在抛物在抛物线对线对称称称称轴轴上是否存在一点上是否存在一点上是否存在一点上是否存在一点P P，使点，使
20、点，使点，使点P P到到到到B B、C C两点距离之差最大？两点距离之差最大？两点距离之差最大？两点距离之差最大？二次函数对称性与增减性二次函数专题训练之增减性二次函数对称性与增减性yOx-1-212-33-112-21、若二次函数y=ax2+c，当x取x1,x2（x1x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值是（ ）（A）a+c （B）a-c （C）-c （D）c练：一元一次方程y=ax2+bx+c的根为x1,x2且x1+x2=4，点A（3，-8）在二次函数y=ax2+bx+c上，则点A关于抛物线的对称轴对称的点的坐标为 。 2、抛物线y=a(x+1)2+2的部分图像如图所示，该抛物
21、线在y轴右半部分与x轴的交点坐标是（ ）（A）（0.5，0） （B）（1，0） （C）（2，0） （D)（3，0）练：抛物线y=-x2+bx+c的部分图像如图所示，若y0,则x的取值范围是 .113O二次函数对称性与增减性3、抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点横坐标是-3和1，则抛物线的对称轴是 。练、已知一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根是2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线顶点坐标是（ ）A(2，3 ) B(2，1) C(2，3) D(3，2)2 3 4 5024、小明从右边的函数y=ax2+bx+c图像中观察得出了下面五条信息，a0，c=0，函数的最小值是-3，当x0，当0x1x2y2，你认为正确的个数是（ ）二次函数对称性与增减性5、6、5、6、二次函数对称性与增减性7、8、二次函数对称性与增减性
