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1、教 材：梁昆淼编写的数学物理方法第四版 内 容第一篇 复变函数论第二篇 数学物理方程数 学 物 理 方 法第一章第一章 复变函数复变函数1、复数的定义一、复数实部： 虚部： 模： 辐角： 主辐角： 共轭复数:三角式指数式代数式*复数三种表示式之间的转换 2、复数的运算: 加、减、乘、除、乘方、开方 (1)、加法和减法 (2)、乘法和除法 (2)、乘法和除法 两复数相除就是把模数相除, 辐角相减。两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加;(3) 复数的乘方和开方或( n为正整数的情况) 复数的乘、除、乘方和开方运算，采用三角式或指数式往往比代数式来得方便。 棣莫弗公式： 二、六种初等复变函数二、六种
2、初等复变函数： 1. 幂函数2 .指数函数 周期为2i， 3. 三角函数周期为2 4、双曲函数 5、根式函数 周期为2i6、对数函数 例1：已知 ，则 。例2：复数ez 的模为 ，辐角为 . 三、解析函数三、解析函数1、柯西-黎曼方程 直角坐标系：极坐标系：2、解析函数性质： (1)、若 是解析函数，则 。 (2)、若函数 在区域 B上解析，则 u和v必为B上的相互共轭调和函数。 3、构建解析函数：、构建解析函数： 给出一个二元调和函数作为解析函数的实部或虚部，通过CR条件求出该解析函数的虚部或实部，从而写出这个解析函数。 算偏导 u或v 的全微分 求积分 表成 例 3：解析函数 的实部 ，求
3、虚部和这个解析函数。 根据C-R条件， 解： 例4：已知解析函数 f (z)的虚部 ，求实部 和这个解析函数 f (z) 。解：提示：当给定的 u 或 v 中含有因子x2+y2，这种情况下采用极坐标处理比较方便， 即令 。 将上面第二式对 积分， 视作参数，有 其中 为 的任意函数。 将上式两边对 求导， 第二章第二章 复变函数积分复变函数积分一、复变函数积分的性质： P23 二、计算复变函数回路积分 1、单通区域柯西定理：P242、复通区域柯西定理：P253、重要公式应用、重要公式应用P28 4、柯西公式、柯西公式 高阶导数的柯西公式 当被积函数在积分区域内有奇点时的回路积分，可利用柯西公式
4、来计算, (1)把被积函数写成 的形式，f(z)在积分区域上解析, 为积分区域内一点； (2) 利用柯西公式 来计算积分.2yxo1例2以下积分不为零的是 ( )。 C第三章第三章 幂级数展开幂级数展开一、收敛半径 方法1：比值判别法方法2 ：根值判别法收敛圆： 收敛域： 例1求幂级数 的收敛圆.解收敛圆:解:例2幂级数 的收敛域。收敛域:二、把圆域或环域或某一点的邻域上解析函数展二、把圆域或环域或某一点的邻域上解析函数展成幂级数成幂级数 根据解析函数泰勒级数和洛朗级数展开的唯一性，一般可利用熟知的泰勒展开式，通过变量变换，结合级数的四那么运算、逐项求导和积分、分解成最简分式等方法去展开 。间
5、接展开法：常见函数的泰勒展开式:解： 解： 奇点名称可去奇点极点本性奇点不含负幂项含无限个负幂项含有限个负幂项的洛朗级数极限性质三、有限远孤立奇点分类及其类型判定三、有限远孤立奇点分类及其类型判定极限判定法来判定可去奇点，极点，本性奇点。几个名词的定义：孤立奇点，非孤立奇点，可去奇点， m阶极点，本性奇点 设函数 f(z)在回路 l 所围区域 B上除有限个孤立奇点b1，b2，bn外解析，在闭区域 上除b1，b2，bn外连续，则f(z)沿l正向积分 之值等于f(z)在l所围区域内各奇点的留数和的2 i倍. 左边的积分是沿l 的正向进行的； 注意:右边的奇点是指l 所围区域内的，并非是f(z)所有
6、的奇点。 第四章 留数定理 一、留数定理：P52二、计算留数 各孤立奇点留数的计算公式奇点类型可去奇点0m阶极点一阶极点普遍公式本性奇点 极点阶数判定 法一把极点阶数估计得过高n就是极点的阶数把极点阶数估计得过低(nm)(n=m)(nm)法二零点和极点的关系 若z = z0是 f(z)的m阶零点，则z = z0必是 的m阶极点。三、留数定理的应用 1、计算闭合回路积分； 例1解： ，其奇点为：z1=4, z2=2, z3=1 只有单极点z2=2, z3=1 在积分回路内。 类型一：类型二：2、计算三种类型实变函数定积分； 类型三：解： 且其留数为 只有单极点 在圆 内， 解： 所以 明显，只有
7、 在上半平面，且为 f (z) 的一阶极点，因此解： 有两个二阶极点 ， 其中 在上半平面， P61 例7第五章第五章 傅里叶变换傅里叶变换 一、傅里叶级数1、周期函数(T=2l)的傅里叶展开 一般周期函数： (5.1.3)、(5.1.5)；P88 奇函数： (5.1.8)、(5.1.9)； P90 偶函数： (5.1.10)、(5.1.11)；P90 傅里叶正弦级数傅里叶余弦级数傅里叶级数2、定义在有限区间(0,l)上的函数的傅里叶展开 对函数f(x)的边界区间的端点x=0, x=l上的行为提出限制，即满足一定的边界条件，这常常就决定了如何延拓。 (1)、边界条件为f(0)=0,f(l)=0
8、 应延拓成以2l为周期的奇函数(奇延拓) (2)、边界条件为应延拓成以2l为周期的偶函数(偶延拓) (3)、边界条件为根据边界条件f(0)=0应将函数f(x)对区间(0,l)的端点x=0作奇延拓。 又根据边界条件 ，应将函数 f(x)对区间(0,l)的端点x=l作偶延拓， 然后以4l为周期向整个实轴延拓，延拓以后的函数是以4l为周期的奇函数。 (4)、边界条件为 又根据边界条件f (l)=0 ，应将函数f(x)对区间(0,l)的端点x=l作奇延拓， 然后以4l为周期向整个实轴延拓，延拓以后的函数是以4l为周期的偶函数。 根据边界条件 应将函数f(x)对区间(0,l)的端点x=0作偶延拓。 实数
9、形式的傅里叶积分和傅里叶变换: 其中 复数形式的傅里叶积分:二、傅里叶积分 f(x)非周期函数 x(-,)可以写成对称的形式: 三、函数1、 函数定义2、 函数性质挑选性： 3、 函数的傅里叶积分满足下面两个条件: 的函数( x- x0)称为函数。 (1)(2)定解问题泛定方程定解条件初始条件:说明物理现象初始状态的条件 边界条件:说明边界上的约束情况的条件 波动方程输运方程稳定场方程第七章 数学物理定解问题 衔接条件杆或弦的振动：表示初始的位移表示初始的速度初始条件： 给出某一初始时刻整个系统的状态。 在热传导现象中，初始条件就是给出初始时刻系统中每点的温度u之值。 其中T(r)是已知函数。
10、 如： 不需要初始条件 一般地说，初始条件的个数等于数理方程所含有的对时间最高阶偏导数的阶数。 (1)、杆或弦两端固定 常见的边界条件：边界条件： 给出系统的边界在各个时刻的状态。 三类线性边界条件：P123(1)、第一类边界条件： (2)、第二类边界条件： (3)、第三类边界条件： (2)、杆两端自由 (3)、杆的两端保持恒温T (4)、两端绝热 0x(5)、两端有热流强度为f(t)的热流流出 0xl f(t) f(t)在x=0端:在x=l端:同理得，两端有热流强度为f(t)的热流流入，那么 数学物理定解问题的适定性: (1) 解的存在性 看所归结出来的定解问题是否有解； (2) 解的唯一性
11、 看是否只有一个解 (3) 解的稳定性 当定解问题的自由项或定解条件有微小变化时，解是否相应地只有微小的变化量 定解问题解的存在性、唯一性和稳定性统称为定解问题的适定性. 解：弦仅在x0处受筹划力作用，故其定解问题为： 例1：长为l的均匀弦，两端x=0和x=l固定，在点x0(0 x0l)受谐变力F0sint的作用而作微小振动，试写出其定解问题。 解定解问题三步曲： 1写出正确的定解问题； 2边界条件齐次化； 3求解傅氏级数法或别离变数法. 第八章 别离变数法 别离变数法 齐次的振动方程和输运方程 齐次的边界条件 傅里叶级数法 齐次或非齐次的振动方程和输运方程 齐次的边界条件 一、别离变数法解题
12、步骤 (1) 对齐次方程和齐次边界条件别离变量；(2) 解关于空间因子的常微分方程的本征值问题；(3)求其它常微分方程的解，与本征函数相乘，得 到本征解。(4) 迭加所有本征解，由初始条件或非齐次边界条件 确定迭加系数，而最后得到所求定解问题的解。例1：用别离变数法求定解问题先以别离变数形式的试探解 解： 代入泛定方程(1)和边界条件(2)，得 (1)(2)(3) 本征值问题 本征值：本征函数：其通解为 相应的本征解 一般解是所有本征解的线性迭加， (4)一般解是所有本征解的线性迭加， 代入初始条件，(4)例2：用别离变数法求定解问题(1)(2)(3)先以别离变数形式的试探解 解： 代入泛定方
13、程(1)和边界条件(2)，得 本征值问题 本征值：本征函数：其通解为 相应的本征解 一般解是所有本征解的线性迭加， 代入初始条件，所求的定解问题的解为： 运用傅氏级数法求定解问题，要注意在不同齐次边界条件下，所求定解问题的解展开为不同形式的傅里叶级数，二、傅里叶级数法三、熟练掌握如何把非齐次边界条件齐次化：三、熟练掌握如何把非齐次边界条件齐次化： (1)、若是第一类非齐次边界条件 可设 可将w(x,t)的边界条件齐次化。 引入辅助函数v(x,t)，令u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)，使v(x,t)满足非齐次边界条件，可将函数u(x,t)满足的非齐次边界条件的定解问题变换为函数w(x,t
14、)满足的齐次边界条件的定解问题。 可设 可将w(x,t)的边界条件是齐次的， (3)、假设是第一、二类非齐次边界条件 或可设 可将w(x,t)的边界条件齐次化。 (2)、假设是第二类非齐次边界条件 例3、求定解问题 解：设令代入上式由于边界条件是第一类齐次边界条件，所以设代入泛定方程，得代入初始条件，所求的定解问题的解为： 例4、求定解问题 解：设令代入上式由于边界条件是第一类齐次边界条件，所以设代入泛定方程，得代入初始条件，定解问题的解为 1、掌握勒让德方程本征值问题的解及其性质、掌握勒让德方程本征值问题的解及其性质 (1) l阶勒让德方程与自然边界条件构本钱征值问题 (自然边界条件)本征值
15、问题本征值是l (l+1) 本征函数那么是l阶勒让德多项式Pl(x)。 第十章 球函数 (2)勒让德多项式的性质 1)、正交性 不同阶的勒让德多项式在区间(-1, 1)上正交， 2)2)、勒让德多项式的模、勒让德多项式的模 3)3)、勒让德多项式的全体构成完备组、勒让德多项式的全体构成完备组 如何将一个定义在x的区间-1, 1上的函数f(x)展开成广义傅里叶级数： 一般公式： 展开系数 待定系数法 仅适用于f(x)是关于x的次幂的多项式 (3)勒让德多项式的母函数 母函数 以半径为R的球代替单位球，那么 3、掌握关于极轴对称拉氏方程在球坐标系下的解： 关于轴对称的拉氏方程的定解问题的通解为 对球内轴对称问题自然边界条件： 取Bl=0， 应排除 , 例1、 解： 边界条件与无关，以球坐标的极轴为对称轴。 此定解问题是轴对称情况下的球内问题，故 代入边界条件 P231例3左边是广义的傅里叶级数，所以用待定系数法将右边函数x2展开为广义的傅里叶级数， 比较左右两端，得 解得， 比较左右两边系数，得 例2、在本来是匀强的静电场中放置均匀介质球，本来的电场强度是E0，球的半径是r0，相对介电常数是，试求解介质球内外的电势. 解:如下图，建立坐标系，取球心为球坐标系的极点，通过球心而平行于E0的直线为球坐标系的极轴。定解问题为： P233例5
