2022年导数练习题

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1、试卷第 1 页，总 2 页1已知函数222xfxexax.（ 1）当2a时，求函数fx的极值；（ 2）若22g xfxx，且0g x恒成立，求实数a的取值范围 .2已知函数2( )lnf xxmx，21( )2g xmxx，mR，令( )( )( )F xf xg x.（ 1）当12m时，求函数( )f x的单调递增区间；（ 2）若关于x的不等式( )1F xmx恒成立，求整数m的最小值；3已知函数)2(sin)(2eaaxxexfx，其中Ra，71828.2e为自然对数的底数 .（ 1）当0a时，讨论函数)(xf的单调性；（ 2）当121a时，求证：对任意的),0x，0)(xf.4已知函数(

2、 )ln 2xmf xex.（ 1）若1m，求函数( )f x的极小值；（ 2）设2m，证明：( )ln 20f x.5已知函数( )ln,( )xxf xxax g xe，其中aR且0a，e为自然常数 .（ 1）讨论( )f x的单调性和极值；（ 2）当1a时，求使不等式( )( )f xmg x恒成立的实数m的取值范围 .6已知函数2( )ln1f xxxax，且(1)1f.（ 1）求( )f x的解析式；（ 2）证明：函数2( )exyfxxx的图象在直线1yx的图象下方 . 7已知函数321ln1,3xfxxexmxg xx.（ 1） 函数fx在点1,1f处的切线与直线1240e xy

3、平行，求函数fx的单调区间；（ 2） 设函数fx的导函数为fx， 对任意的12,0,x x， 若12g xfx恒成立，求m的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页试卷第 2 页，总 2 页8设函数( )ln(0)f xxx x（）求函数)( xf的单调区间；（）设，)R()()(F2axfaxx)(F x是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（）当0x时，证明：1)(xfex9 （本小题满分12 分）已知函数2(1)( )ln2xf xx（）求函数fx的单调递增区间；（）证明：当1x时，

4、( )1f xx；（ ） 确 定 实 数k的 所 有 可 能 取 值 ， 使 得 存 在01x， 当0(1,)xx时 ， 恒 有( )1f xk x10 （本题满分14 分）设函数)0(ln)(xxxxf（）求函数)(xf的单调区间；（）设，)R()()(F2axfaxx)(F x是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（）当0x时证明：1)(xfex精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页答案第 1 页，总 12 页参考答案1 （1）函数fx极小值为01f，无极大值；（2）0,2e.【解析】试题分析：（

5、1）当2a时，2222,222xxfxexxfxex，通过二次求导可知函数2222xfxex在R上单调递增， 且 00f， 所以当0x时0fx， 当0x时，0fx因此函数fx在区间,0上单调递减，在区间0,上单调递增，所以fx的极小值点为0f， 无极大值点； （2） 对函数g x求导可得22xgxea， 分0a和0a讨论，显然0a时，0gx， 函数g x在R上单调递增，研究图象可知一定存在某个00x， 使得在区间0,x上函数2xye的图象在函数yax的图象的下方，即2xeax不恒成立，舍去；当0a时，函数g x在 区 间1,ln22a上 单 调 递 减 ， 在 区 间1ln,22a上 单 调

6、递 增 ，min1ln022ag xg，解得02ae.试 题 解 析 ：（1 ） 函 数222xfxexax的 定 义 域 是R,当2a时 ，2222222xxfxexxfxex, 易知函数2222xfxex的定义域是R上单调递增函数，且 00f,所以令0fx，得0x；令0fx，得0x，所以函数fx在区间,0上单调递减，在区间0,上单调递增 . 所以函数fx极小值为01f，无极大值 .（2）22222222xxg xfxxexaxxeax，则22xgxea.当0a时，0gx恒成立，所以函数g x在R上单调递增，且数形结合易知，一定存在某个00x，使得在区间0,x上，函数2 xye的图象在函数y

7、ax的图象的下方，即满足2xeax的图象即0g x.所以0g x不恒成立，故当0a时，不符合题意，舍去；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页答案第 2 页，总 12 页当0a时，令0gx，得1ln22ax；0gx，得1ln22ax；所以函数g x在区间1,ln22a上单调递减，在区间1ln,22a上单调递增 .所以函数g x定义域R上的最小值为1ln22ag.若0g x恒成立，则需满足1ln022ag，即ln21ln022aaea，即1ln0222aaa，即1ln022aa.又因为0a，所以1ln002a，解得2ae

8、，所以02ae.综上，实数a的取值范围是0,2e.考点：利用导数研究函数的单调性及极值、最值.【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及极值、最值，考查了分类讨论、数相结合的数学思想， 属于难题 .本题第一问研究函数的极值，通过二次求导得到导函数的最小值说明fx的单调性，来判断极值点的情况；第二问是本题解答的难点，把0g x恒成立转化为求函数g x的最小值，按照a的符号进行讨论， 来判断g x的单调性， 当0a时，g x单调递增， 通过找反例排除， 当0a时，求出函数gx零点，判断其单调性，求出其最小值，建立不等式求解.2 （1）(0,1)； （2）最小值为2【解析】试 题 分 析

9、： （ 1） 当12m时 , 对( )f x求 导 求 其 单 调 增 区 间 ；（ 2） 先 化 简( )1F xmx为( )10F xmx, 恒成立问题 , 转化为求( )( )(1)G xF xmx的最大值来求解 .试题解析：（1）21( )ln2f xxx，0x，211( )xfxxxx， （0x）.由( )0fx得210x又0x，所以01x，所以( )f x的单增区间为(0,1).（2）令21( )( )(1)ln(1)12G xF xmxxmxm x.所以21(1)1( )(1)mxm xGxmxmxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

10、- - -第 4 页，共 14 页答案第 3 页，总 12 页当0m时，因为0x，所以( )0G x所以( )G x在(0,)上是递增函数，又因为3(1)202Gm.所以关于x的不等于( )1G xmx不能恒成立 .当0m时，1()(1)( )m xxmG xx.令( )0Gx得1xm，所以当1(0,)xm时，( )0G x；当1(,)xm时，( )0Gx，因此函数( )G x在1(0,)xm是增函数，在1(,)xm是减函数 .故函数( )G x的最大值为11()ln2Gmmm.令1()ln2h mmm，因为1(1)02h，1(2)ln 204h.又因为()h m在(0,)m上是减函数，所以当

11、2m时，()0h m，所以整数m的最小值为2.考点： 1. 导数与单调性； 2. 分类讨论的数学思想；3. 恒成立问题【思路点晴】本题第一问是基本的求单调区间问题, 只需按求函数单调性的方法来求解就可以. 第二问是恒成 立 问 题 , 我 们 一 般 都 需 要 对 已 知 条 件 进 行 化 简 , 如 本 题 我 们 就 化 简( )1F xmx为( )10F xmx, 化简后右边为零, 我们就可以转化为求( )( )(1)G xF xmx的最大值来求解. 借助导数工具，判断函数大致图象并结合零点相关性质求解.3 （1）函数)(xf在R上为减函数；（2）证明见解析 .【解析】试题分析：（1

12、）对函数)(xf求导 , 利用函数的单调性与导数的关系, 得出函数)(xf的单调性；（2）对任意的), 0x，0)(xf等价于对任意的),0x，2sin20xaxae, 再构造函数eaaxxxg2sin)(2, 求导, 利用导数 , 求出( )g x的最大值小于零.试题解析：解： （1）当0a时，)(sin)(exexfx，Rx，)4sin(2)cos(sin)(exeexxexfxx，当Rx时，2)4sin(2x，0)(xf.)(xf在R上为减函数 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页答案第 4 页，总 12

13、页（2）设eaaxxxg2sin)(2，),0x，axxxg2cos)(，令axxxgxh2cos)()(，),0x，则axxh2sin)(，当121a时，), 0x，有0)(xh，)(xh在),0上是减函数，即)(xg在),0上是减函数，又01)0(g，022222)4(axg，)(xg存在唯一的)4,0(0x，使得02cos)(000axxxg，当),0(00xx时，0)(xg，)(xg在区间),0(0x单调递增；当),(00xx时，0)(xg，)(xg在区间),(0x单调递减，因此在区间),0上eaaxxxgxg2sin)()(2000max，02cos00axx，00cos21xax，

14、将其代入上式得eaaxxaeaxaxxg241sinsin412cos41sin)(002020max，令0sin xt，)4,0(0x， 则)22,0(t， 即有eaattatp24141)(2，)22,0(t，)(tp的对称轴02at，函数)(tp在区间)22,0(上是增函数，且121a，)121(,08152228122)22()(aeeaaptp，即任意),0x，0)(xg，0)()(xgexfx，因此任意),0x，0)(xf.考点： 1. 利用导数研究函数的单调性；2. 导数的综合应用 .【思路点晴】本题考查了利用导数研究函数的单调性, 导数的综合应用等知识点, 是压轴题 .在（2）

15、中, 注意等价转换 , 对任意的),0x，0)(xf等价于对任意的),0x，2sin20xaxae,再 构 造 函 数eaaxxxg2sin)(2, 利 用 单 调 性 , 求 出 函 数( )g x的 最 大 值 , 即eaaxxaeaxaxxg241sinsin412cos41sin)(002020max, 把0sin x看 成 一精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页答案第 5 页，总 12 页个整体 , 就转化为二次函数最大值. 本题多次等价转化, 难度大 , 综合性强 .4 （1）11 ln2f； （2）证明

16、见解析 .【解析】试题分析：（1）当1m时，1111xxfxeeexx得其零点1x，判断fx在0,上的单调性， 可知fx有极小值1f；（2） 把函数fx放缩2ln 2ln 2x mxfxexex，构造函数221( )ln 2ln 2lnxxg xexexe，利用导数研究函数g x的单调性，并求出其最小值的范围即可证得结论.试题解析：（1）11ln 2ln 2lnxxfxexexe，所以1111xxfxeeexx，观察得111101fee，而1111xxfxeeexx在(0,)上单调递增，所以当(0,1)x时0fx，当1+，时0fx；所以fx在0,1单调递减，fx在1+，单调递增，故fx有极小值

17、11ln 2f证明：（2）因为2m，所以2ln 2ln 2x mxfxexex，令221( )ln 2ln 2lnxxg xexexe，则21( )xg xex，易知( )g x在(0,)单调递增，1(1)10ge，1(2)102g， 所 以 设02001()0xgxex， 则0(1,2)x； 当0(0,)xx时，( )0gx，当0(,)xx时，( )0gx；所以( )g x在00,x上单调递减，0,x上单调递增，所以02min00( )()ln 2xg xg xex，又因为02001()0xg xex，故0201xex，所以02000001lnln2ln2lnxexxxxx，所以0022mi

18、n000( )()ln 2ln 2lnxxg xg xexex001ln 22xx0012ln 2ln 2xx当 且 仅 当001xx， 即01x时 等 号 成 立 ， 而0(1,2)x， 所 以min( )ln 2g x，即( )ln 2g x，所以( )ln 2f x，即( )ln 20f x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页答案第 6 页，总 12 页考点：利用导数研究函数的单调性、极值、最值.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，考查了转化的数学思想和函数思想的应用，属于难题. 要

19、研究函数的极值，先研究定义域内的单调性，本题（1）中导函数的零点不能直接求出，解答时应分析解析式的特点，利用指数函数的性质找出极值点；解答的难点是（2）证明不等式，可利用函数fx的单调性进行放缩，转化为研究不含参数的函数2( )ln 2xg xex的最小值，这是本题的技巧之一，导函数的零点同样不能直接解出，作为证明题，在判断单调性的前提下可以设出极值点，表示出函数值通过基本不等式证明即可，这是本题的另一个技巧.5 （ 1）当0a时，0x，( )f x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，( )f x有极小值(1)1lnfa；当0a时，0x，1( )0xfxx，所以( )f x在(,0)

20、上单调递增，无极值；（2）(, )e【解析】试题分析：（1）求导，利用讨论导数的符号确定函数的单调性，进而确定函数的极值；（2）分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用导数求其最值试题解析：（1）因为( )ln,0,f xxax aaR，所以当0a时，( )f x的定义域为(0,)；当0a，( )f x的定义域为(,0).又( )lnlnlnf xxaxxxa，11( )1xfxxx，故当0a时，0x，( )f x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，( )f x有极小值(1)1lnfa；当0a时，0x，1( )0xfxx，所以( )f x在(,0)上单调递增，无极值

21、.（2）解法一：当1a时，( )lnf xxx，由（ 1）知当且仅当1x时，min( )1f x，因为1( ),0xxg xxe，所以( )g x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减，当且仅当1x时，max1( )g xe.当0m时，由于min( )0,( )1xxg xf xe，所以( )( )fxmg x恒成立；当0m时，max( )mmg xe，要使不等式( )( )f xmg x恒成立，只需1me，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页答案第 7 页，总 12 页即me.综上得所求实数m的取值范围为(,

22、 )e.解法二：当1a时( )lnf xxx，所以0,( )0xxxg xe，故( )(ln)( )( )( )xf xexxf xmg xmg xx令(ln)( )xexxF xx，则2(1)(ln1)( )xxexxFxx.由（ 1）可知ln0xx，所以当1x时，( )0Fx，当01x时，( )0Fx，所以min( )(1)F xFe.故当me时，不等式( )( )f xmg x恒成立 .考点： 1. 导数在研究函数中的应用；2. 导数在研究不等式恒成立问题中的应用【方法点睛】本题考查导数在研究函数单调性和最值中的应用以及导数在研究不等式恒成立中的应用，综合性较强， 属于难题； 利用导数处

23、理不等式恒成立问题，往往优先考虑分离参数，利用Mxf)(恒成立Mxfmin)(转化为求函数的最值问题，再利用导数求最值， 要求学生有较高的逻辑思维能力和较强的运算化简能力.6 （1）2( )ln1f xxxx； （2）见解析 .【解析】试题分析： （1）求导，由(1)1f求出a即可；（ 2） “函数2( )exyf xxx的图象在直线1yx的下方”等价于ln10xxe，构造函数( )ln1xh xxe， ，求导，研究函数( )ln1xh xxe的单调性与最值，证max( )0h x即可 .试题解析：对( )f x求导，得( )1ln2fxxax，(1)121fa，1a，所以2( )ln1f x

24、xxx（ 2 ） 证 明 ：“ 函 数2( )exyf xxx的 图 象 在 直 线1xy的 下 方 ” 等 价 于 即 要 证01lnxex，所以只要证 . 1ln)(xexxh，1( )xh xex，x趋于 0时，0)(xh，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页答案第 8 页，总 12 页存在一个极值0x)1 ,0(使得001xex等价于0001( )ln1 (01)h xxxx所以( )0h x故函数2( )exyf xxx的图象在直线1xy的下方 . 2考点： 1. 导数的运算法则；2. 导数与函数的单调性、

25、极值、最值；3. 函数与不等式 .7 （1）fx的单调区间为2 ,0e，单调减区间为0,2e； （2）21mee.【解析】试 题 分 析 ： （ 1） 根 据fx在 点1,1f处 的 切 线 与 直 线1240e xy平 行 ， 可 得112fe，据此可求得m，研究fx的符号变化即得函数fx的单调区间；（2）若对任意的12,0,x x，若12g xfx恒成立，则有maxming xfx，分别求出minfx和g x的最大值即可求得m的取值范围 .试题解析：（1）22fxxexm，1121 2 ,0fememQ即222fxxexx xe，令0fx，解得2xe或0x，所以函数fx的单调区间为2 ,0

26、e，单调减区间为0,2e；（2）21ln0xgxxx，令21ln00xgxxex函数g x的单调为0,e，单调减区间为, e.当xe时，max1g xe，又2222fxxexmxeme，2minfxme12g xfxQ恒成立，2211memeee.考点：导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性、求函数在给定区间上的最值等.【方法点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性及给定区间山的最值问题，属于中档题 . 利用导数的几何意义求曲线上某点的切线是导数中最常见的问题之一，关键是把好审题关，判断给出的点是否是切点，利用导数研究函数的单调性常用列表或串根法判断导数的符号，有时还要讨

27、论，本题的难点是（2）中的转化问题，涉及到两个变量的恒成立，通常逐个分析，转化为求函数的最值问题.8 （）)(xf的单调增区间为),1(e，)(xf的单调减区间为)1,0(e； （）当0a时，)(F x无极值；当0a时，)(F x有极大值a21ln21，无极小值（）证明详见解析【解析】试题分析：（）利用一阶导数的符号来求单调区间（）对a进行分类讨论，)(F x的极值（）把证明不等式转化求函数的最小值大于0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页答案第 9 页，总 12 页试题解析：（）)0(1ln)(xxxf令0)(x

28、f，即01ln x，得ex1，故)(xf的增区间为),1(e；令0)(xf，即01ln x，得ex1，故)(xf的减区间为)1,0(e；)(xf的单调增区间为),1(e，)(xf的单调减区间为)1, 0(e（）)0(1ln)(F2xxaxx，)0(1212)(F2xxaxxaxx当0a时，恒有0)(Fx)(F x在),0(上为增函数，故)(F x在),0(x上无极值；当0a时，令0)(Fx，得ax21, 当)(F0)(F)21,0(xxax，单调递增，当)(F0)(F)21(xxax，单调递减aax21ln21)21(F)(F极大值，)(F x无极小值；综上所述：0a时，)(F x无极值0a时

29、，)(F x有极大值a21ln21, 无极小值（）证明：设，)0(ln)(xxexgx则即证2)(xg，只要证2)(minxg，xexgx1)(027 .12)5.0(21eg，01)1(eg又xexgx1)(在), 0(上单调递增方程0)(xg有唯一的实根tx，且) 1 ,5.0(t当),0(tx时，0(t)g)( xg当),(tx时，0(t)g)(xg当tx时，texgtln)(min0)(tg即tet1，则tettetxgln1)(min1122tttt原命题得证考点：求导公式，函数的单调区间，函数的极值，函数的最值【方法点睛】 （1） 解含参数a的不等式， 需要对a进行分类讨论， 是本

30、题的亮点， 也是本题的难点之一 （2）把证明不等式转化为求函数的最小值，也是本题的难点之一（3）在求最小值的过程中，对零点t设而不求，最后利用基本不等式进行放缩，是本题最大的亮点，也是最难的地方（4）本题题干简洁，但是内涵丰富，本题设问层层深入，是一道好题，意蕴悠长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页答案第 10 页，总 12 页9 （）fx的单调递增区间是150,2； （）详见解析；（）,1【解析】试题分析：（）求导，令导数大于0 得增区间（）令F1xfxx，求导，讨论导数的正负，得函数的单调区间，从而可得函数的

31、最值，只需其最大值小于0 即可 （）由（）知1k或1k时均不成立当1k时，令G1xfxk x，求导，讨论导数的正负，得函数的增减区间根据单调性可得其最大值，使其最大值大于0 即可试题解析：（）2111xxfxxxx，0,x由0fx得2010xxx解得1502x故fx的单调递增区间是150,2（）令F1xfxx，0,x则有21Fxxx当1,x时，F0x，所以F x在1,上单调递减，故当1x时，FF 10x，即当1x时，1fxx（）由（）知，当1k时，不存在01x满足题意当1k时，对于1x，有11fxxk x，则1fxk x，从而不存在01x满足题意当1k时，令G1xfxk x，0,x，则有211

32、1G1xk xxxkxx由G0x得，2110xk x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页答案第 11 页，总 12 页解得2111402kkx，2211412kkx当21,xx时，G0x，故G x在21,x内单调递增从而当21,xx时，GG 10x，即1fxk x，综上，k的取值范围是,1考点：用导数研究函数的性质10 （）)(xf的单调增区间为),1(e，)(xf的单调减区间为)1,0(e； （）当0a时，)(F x无极值；当0a时，)(F x有极大值a21ln21, 无极小值（）证明过程详见解析【解析】试题分析

33、：（）求出导函数，由导函数大于零求解，由导数小于零求解，然后总结出单调区间；（）函数有极值，则导函数等于零有变号零点，从而求出参数范围；（）原不等式等价于2xexln，构造函数，设，)0(ln)(xxexgx则不等式等价于2)(minxg，然后求函数)(xg的最小值且最小值大于 2 即可试题解析：（）)0(1ln)(xxxf令0)(xf，即01ln x，得ex1，故)(xf的增区间为),1(e；令0)(xf，即01ln x，得ex1，故)(xf的减区间为)1, 0(e；)(xf的单调增区间为),1(e，)(xf的单调减区间为)1,0(e（）)0(1ln)(F2xxaxx)0(1212)(F2x

34、xaxxaxx当0a时，恒有0)(Fx)(F x在),0(上为增函数，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页答案第 12 页，总 12 页故)(F x在),0(x上无极值；当0a时，令0)(F x，得ax21)(F0)(F)21, 0(xxax，单调递增，)(F0)(F)21(xxax，单调递减aax21ln21)21(F)(F极大值，)(F x无极小值；综上所述：0a时，)(F x无极值0a时，)(F x有极大值a21ln21, 无极小值（）证明：设，)0(ln)(xxexgx则即证2)(xg，只要证2)(minx

35、g，xexgx1)(027 .12)5 .0(21eg，01)1 (eg又xexgx1)(在),0(上单调递增方程0)(xg有唯一的实根tx，且)1 ,5 .0(t当),0(tx时，0(t)g)(xg当),(tx时，0(t)g)(xg当tx时，texgtln)(min0)(tg即tet1，则tettetxgln1)(min1122tttt原命题得证考点：导数法求函数的单调区间；由极值求参数范围；证明不等式【方法点睛】含参数的单调性问题，主要是对参数如何分类，常求出导函数并进行因式分解，然后求出导函数等于零时的根，按照根的大小关系及根与零点的大小关系与参数的关系进行分类，最后求出每一类的单调性即可；对于不等式证明，常常移向，将一边看成函数，从而转化为求最值问题例如：本题的不等式等价于2xexln，构造函数，设，)0(ln)(xxexgx则不等式等价于2)(minxg，然后求函数)(xg的最小值且最小值大于2 即可精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页