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1、一一 幂级数幂级数 定理定理1 如果幂级数如果幂级数的系数满足条件的系数满足条件| |则则 (1)当当0 l 0和和R20 , 则则= f(x) g(x).的收敛半径的收敛半径 R minR1, R2. 2 设幂级数设幂级数 的收敛半径的收敛半径R0, 则在收敛区则在收敛区间间( R, R)内内, 其其和函数和函数S(x)是是连续连续函数函数.若级数若级数 在端点收敛在端点收敛, 则则S(x)在端点单侧连续在端点单侧连续.3 幂级数幂级数 的和函数的和函数S(x)在收敛区间在收敛区间( R, R)内可导内可导, 并可以并可以逐项求导逐项求导任意次任意次, 且求导后级数的且求导后级数的收敛半径不
2、变收敛半径不变.即即 f (x) =x ( R, R) 4 幂级数幂级数 的和函数的和函数S(x)在收敛区间在收敛区间( R, R)内内可积可积, 并可并可逐项求积分逐项求积分, 且积分后级数的收敛半径不且积分后级数的收敛半径不变变.x ( R, R) 即即n=1 (an xn) 注注 : 常用已知和函数的幂级数常用已知和函数的幂级数(1)( 1x1)(2)(3)(4)(5)二、麦克劳林二、麦克劳林(Maclaurin)公式公式三、三、泰勒级数泰勒级数一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立7.6 泰勒泰勒(Taylor)公式与泰勒级数公式与泰勒级数5一次多项式一次多项式在微分的应用中有近似计算公
3、式在微分的应用中有近似计算公式:若若 f (x0)存在存在, 则在则在 x0点附近点附近有有f (x) = f(x0) + f (x0) (x x0)f (x) f(x0) + f (x0) (x x0)+ o(x x0)需要解决的问题需要解决的问题如何提高精度如何提高精度?如何估计误差如何估计误差?不足不足: 1. 精确度不高精确度不高;2. 误差不能定量的估计误差不能定量的估计.希望希望: 在在x0点附近点附近, 用适当的用适当的高次多项式高次多项式Pn(x)=a0+a1(x x0)+a2(x x0)2+an(x x0)n f (x) 一、泰勒公式一、泰勒公式猜想猜想2 若有相同的切线若有
4、相同的切线3 若弯曲方向相同若弯曲方向相同近近似似程程度度越越来来越越好好 n次多项式系数的确定次多项式系数的确定 1 若在若在x0点相交点相交Pn(x0)= f (x0)Pn (x0)= f (x0)Pn (x0)= f (x0)y=f(x)假设假设 Pn(k)(x0)= f (k)(x0)y=Pn (x)xoyx0即有即有Pn(x) =a0 +a1(x x0)+a2(x x0)2+an(x x0)n假设假设 Pn(k)(x0)= f (k)(x0)Pn (n) (x) =n! an Pn (x)=a1+2a2(x x0)+3a3(x x0)2+nan(x x0)n 1Pn (x)=2a2+
5、3 2a2(x x0)+n (n 1) an(x x0)n 2a0 = f(x0),2a2=f (x0),n!an=f(n)(x0), k=0, 1, 2, 3, , n令令x = x0得得a1=f (x0),a0 = f(x0),a1=f (x0),k=0, 1, 2, 3, , n代入代入Pn(x)中得中得Pn(x)=f(x0)+f (x0)(x x0)+ (x x0)2 + + (x x0)nPn(x) =a0 +a1(x x0)+a2(x x0)2+an(x x0)n称为函数称为函数 f (x)在在x0处的处的泰勒多项式泰勒多项式.k=0, 1, 2, 3, , n称为泰勒系数称为泰勒
6、系数f(x) = Pn(x) + o(x x0)n .其中其中定理定理1 (泰勒中值定理泰勒中值定理) 若函数若函数f(x)在在x0点的某邻点的某邻域域UR (x0)内具有直到内具有直到n+1阶连续导数阶连续导数, 则当则当x取取UR (x0)内任何值内任何值时时, f (x)可按可按(x x0)的方幂展开为的方幂展开为f (x)=f(x0)+f (x0)(x x0)+( 在在x0与与x之间之间)+Rn(x) 公式公式(1)称为函数称为函数 f (x)在在x0处的处的泰勒公式泰勒公式.(1) Rn(x)称为称为拉格朗日拉格朗日(Lagrange)余项余项.泰勒系数泰勒系数k=0, 1, 2,
7、, n是唯一的是唯一的.设设 f (x)= f(x0)+f (x0)(x x0)+k 证证由于由于f(x)在在UR (x0)内具有内具有n+1阶连续导数阶连续导数,作辅助函数作辅助函数 (t)=f(x) f(t)+f (t)(x t)+ (x)=0= (x0),不妨设不妨设 x0x时同理可证时同理可证,其中其中f (x)=f(0)+f (0) x+1 当当x0=0时时, ( 在在0与与x之间之间)或令或令 = x, 0 1, 则则+Rn(x) .称为函数称为函数 f (x)的的麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)公式公式.2 f (x) f(x0)+f (x0)(x x0)+其误差为其误差为
8、: Rn(x) 解解例例1* 求求f(x)=e x 在在x=0的的n阶阶泰勒公式泰勒公式.因为因为 f (n)(x)=e x, n=1, 2, 3, 所以所以 f (n)(0)=e 0=1, n=1, 2, 3, 于是于是 f(x)=e x 在在x=0的的n阶阶泰勒公式为泰勒公式为:其中其中0 1. 定义定义 如果函数如果函数f (x)在在x0的某邻域内是存在的某邻域内是存在任意阶任意阶导数导数,则幂级数则幂级数称为函数称为函数f (x)在在x0处的处的泰勒级数泰勒级数.= f(x0) + f (x0)(x x0)二、泰勒级数二、泰勒级数称为函数称为函数 f (x)的的麦克劳林级数麦克劳林级数
9、.问题问题: 泰勒级数在收敛区间是否收敛于泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不一定不一定.解解例例2* 求求 f(x)=sinx 在在x=0的的泰勒级数泰勒级数.当当n=2k时时, f (2k)(0)=sin(k )=0, k=0,1,2, ,当当n=2k+1时时, f (2k+1)(0)=sin (k + ) = ( 1)k , 得得因因=0, 于是于是 R=+ ,定理定理2 f(x)在在x0点的点的泰勒级数泰勒级数在在UR (x0)内收敛于内收敛于f (x) 在在UR (x0) 内内, Rn(x)0.=0,所以所以 sin x = 0 其中其中收敛区间为收敛区间为: (, + ). x
10、 (, + ).即即麦克劳林多项式麦克劳林多项式逼近逼近sin xy=sinxy=x7.7 初等函数的幂初等函数的幂级数展开式级数展开式一、直接法一、直接法(泰勒级数法泰勒级数法)二、间接法二、间接法三、常见函数的幂级数展开式三、常见函数的幂级数展开式步骤步骤: (1) 求求 f (n)(x), n=0,1,2, (4) 讨论讨论?并求出其收敛区间并求出其收敛区间.(3) 写出幂级数写出幂级数利用利用泰勒公式泰勒公式或或麦克劳林公式麦克劳林公式将将f(x)展开为幂级数展开为幂级数若若为为0, 则幂级数在此则幂级数在此收敛收敛区间内等区间内等于于函数函数 f(x); 若若不为不为0, 则幂级数虽
11、然则幂级数虽然收敛收敛, 但它的但它的和不是和不是 f(x).一、直接法一、直接法(泰勒级数法泰勒级数法)(2) 计算计算 an= f (n)(x0), n=0,1,2, 解解例例1 将将 f(x)=e x 在展开成在展开成 x的幂级数的幂级数.因因 f (n)(x)=e x, n=1, 2, 3, , f (n)(0)=e 0=1, 于是于是 f(x)=e x 在在x=0的的麦克劳林级数麦克劳林级数为为:其中其中0 1=0, 所以所以 e x =1+x+x+ .收敛收敛区间为区间为: (, + )二项展开式二项展开式+ +nxn 1+x n(1+x)n=1+nx+(1+x) = 1+ x+?
12、解解例例2 将将 f(x)=(1+x ) 展开成展开成 x的幂级数的幂级数.n=0,1,2, , f (n)(0)= ( 1)(2) ( n+1)=1,得得(1+x) (n) = ( 1)(2) ( n+1)(1+x)( n) ,注意注意: 当当x= 1时时, 级数的收敛性与级数的收敛性与 的取值有关的取值有关. 1, 收敛区间为收敛区间为: ( 1, 1). 1 0, 收敛区间为收敛区间为: 1, 1.所以所以(1+x) 的泰勒级数的收敛区间是的泰勒级数的收敛区间是( 1, 1),x ( 1, 1)(1+x) =1+ x+牛顿二项式展开式牛顿二项式展开式当当 = 1时时,x ( 1, 1).=1 x + x2 x3+( 1)nxn +三、小结三、小结1.如何求函数的泰勒级数如何求函数的泰勒级数;2.泰勒级数收敛于函数的条件泰勒级数收敛于函数的条件;3.函数展开成泰勒级数的方法函数展开成泰勒级数的方法.
