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1、复变函数及积分变换第七章Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望7.1 傅里叶变换一个以L为周期的函数fL(t)，如果在区间-L/2,L/2上连续，那么在-L/2,L/2上可以展开成傅里叶级数 其中一个周期函数表示成正弦函数类的和，称为函数fL(t)傅里叶级数. 傅里叶级数的复指数形式 记 设非周期函数F(t)在区间 内连续、可积，且绝对可积，考虑区间(-L/2,L/2)，F(t)在此区间上有三角级数表示 其中系数为定义一个周期为L的函数FL(t)，在区间(-L/2,L/2)
2、内等于F(t)，而在区间端点-L/2, L/2处的值可能等于F(t)在这两点的平均值； 当L越大时，FL(t)与F(t)相等的范围也越大，可以猜测当L时，周期函数FL(t)的极限为F(t)，即是对任意的 ，有当L时， ，令 ，则有以及记 ，有其中对实数，函数 定义为当L趋向无穷时， 自然趋向于一个函数 ，称为函数F的傅里叶变换傅里叶变换，随着L趋向无穷时， 趋向于零，而 所对应的点均匀地分布在整个数轴上，且取值从-到， 称为 的傅里叶逆变换傅里叶逆变换. 定理7.1 若F(t)在(-, )上满足下列条件：1) F(t)在任何有限区间上连续或只有有限个第一类间断点；2) F(t)在任何有限区间上
3、只有有限个极值点；3) F(t)在区间(-, )上绝对可积，即是积分 收敛.则F的傅里叶变换 存在，且有例7.1 求函数 的傅里叶变换，并验证傅里叶逆变换.解: 除了两个单极点 外是一个解析函数 如果 ，考虑在下半平面取一个半圆周和实轴组成的闭曲线上的积分，由留数定理，有当 ，考虑在上半平面取一个半圆周和实轴组成的闭曲线上的积分，由留数定理得验证傅里叶逆变换 计算由奇偶性知道，虚部为一奇函数，积分为零，因此有所以例7.2 求函数的傅里叶变换，并求傅里叶逆变换的积分表达式，其中0.这个函数叫做指数衰减函数，是工程中常遇到的一个函数.解: 上式最后一行的表达式就是衰减函数的傅里叶变换 傅里叶逆变换
4、 例7.3 求函数 的傅里叶变换和逆变换的积分表达式，其中 .这个函数叫做钟形函数，又称为高斯(Gauss)函数，是工程技术中常见的函数之一.解: 令 ，则上式变为一复变函数的积分， 为复平面s上的解析函数，取如图闭曲线：正方形ABCD，由哥西积分定理得 当正方形边长R时，同理可得，当R时，有. 故有即是高斯函数的傅里叶变换为的傅里叶逆变换 此即为7.2 单位脉冲函数及其傅里叶变换定义狄拉克(Dirac)函数： 函数表达式为它表示一个矩形脉冲电流. 即是矩形面积为1，称为脉冲强度. 在脉冲强度不变的条件下，随着s减小，矩形脉冲电流就变得越来越陡，因此有 即是 表示的物理意义是 是一个宽为0、振
5、幅为、强度为1的理想单位脉冲. 电流为零的电路中，某一个瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲，求电路上的电流I(t).记Q(t)为进入上述电路的电荷函数，那么当t0时，I(t)=0；当t=0时，因为Q(t)不是一个连续函数，不存在通常的导数. 电流强度I(t)= (t) . 考虑函数集合：D= ; 是定义在(-,)上无穷可导、性质很好的函数.不仅可以在(-,)上展开成幂级数，而且当 时，函数快速地趋向于零.设,D，k为一个实数或复数，则有，k均属于D，即是D成为一个向量空间. 固定s0，对任意的D，积分 定义一个从向量空间D到实数或复数的一个线性映射. 因为D当然是一个连续函数，所以有最后一个等式定义了从D到实数或复数上的一个线性映射：对任意的D，有函数的傅里叶变换 例7.4 证明单位阶跃函数的傅里叶变换为 . 证明 由函数的奇偶性，有 当t=0时，显然有当t0时，有当t0时，此时有 ，所以f=0，因此f(s)g(t-s)=0； 若t0，此时只有当 时，有f(s)g(t-s)0，所以有2.卷积定理 定理7.5 设函数f, g满足傅里叶变换定理7.1中的条件，则 考虑傅里叶逆变换，则有证明 由傅里叶变换的定义，有
