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1、18.2 勾股定理的逆定理（三）教学时间第 7 课时三维目标一、知识与目标能运用勾股定理的逆定理解决简单的实际问题二、过程与方法1经历将实际问题转化为数学模型的过程，?体会用勾股定理的逆定理解决实际问题的方法，发展学生的应用意识2在解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，?发展学生的实践能力和创新精神3在解决实际问题的过程中，学会与人合作，?并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识三、情感态度与价值观1在用勾股定理的逆定理探索解决实际问题的过程中获得成功的体验，?锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心2在解决实际问题的过程中，?形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考问题的习惯教学重点
2、运用勾股定理的逆定理解决实际问题教学难点将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题教具准备多媒体课件教学过程一、创设问题情境，引入新课活动 1 问题 1：小红和小军周日去郊外放风筝，风筝飞得又高又远，?他俩很想知道风筝离地面到底有多高，你能帮助他们吗？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页问题 2：如下图所示是一尊雕塑的底座的正面，李叔叔想要检测正面的AD?边和 BC边是否垂直于底边AB ，但他随身只带了卷尺（1）你能替他想想办法完成任务吗？（2）李叔叔量得AD 的的长是30 厘米， AB 的长是 40 厘米，
3、BD 的长是 50 厘米，AD 边垂直于 AB 边吗？（3）小明随身只有一个长度为20 厘米的刻度尺，他能有办法检验AD 边是否垂直于AB 边吗？ BC 边与 AB 边呢？设计意图：通过对两个实际问题的探究，让学生进一步体会到勾股定理和勾股定理的逆定理在实际生活中的广泛应用，提高学生的应用意识，发展学生的创新精神和应用能力在将实际问题转化为数学问题时，肯定要有一定的困难，教师要给学生充分的时间和空间去思考，从而发现解决问题的途径师生行为：先由学生自主独立思考，然后分组讨论，交流各自的想法教师应深入到学生的讨论中去，对于学生出现的问题，教师急时给予引导在此活动中，教师应重点关注学生：能否独立思考
4、，寻找解决问题的途径能否积极主动地参加小组活动，与小组成员充分交流，且能静心听取别人的想法能否由此活动，揭发学生学习数学的兴趣生：对于问题1，我们组是这样考虑的：小红拉着风筝站在原地，?小军到风筝的正下方也就是说小军的头顶就是风筝小红放线，使线端到达他所站的位置，然后在线端做一记号，最后收回风筝，量出放出的风筝线的总长度AB ，再量出小明和小军所站位置的两点间的距离BC，利用勾股定理便可以求出AB 的长度（如下图所示）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页生：对于问题2，我们组是这样考虑的：李叔叔随身只带卷尺检验AD
5、，BC 是否与底边垂直，也就是要检测DAB=90 ， CBA=90 ，连接BD 或 AC， ?也就是要检测DAB 和 CBA 是否为直角三角形很显然， ?这是一个需要用勾股定理的逆定理来解决的实际问题根据我们的分析，用勾股定理的逆定理来解决，要检测 DAB 是否为直角三角形，即DAB=90 ，李叔叔只需用卷尺分别量出AB 、BD 、DA 的长度，然后计算AB2+DA2和BD2，看他们是否相等，若相等，则说明AD AB ，同理可检测BC 是否垂直于AB师：很好，对于问题2 中的第（ 2）个小问题，李叔叔已量AD ，AB ，BD 的长度，根据他量出的长度能说明DA 和 AB 垂直吗？生：可以，因为
6、AD2+AB2=302+402=2 500，而 BD2=2 500，所以 AD2+AB2=BD2可得AD 与 AB 垂直师：小明带的刻度尺长度只有20 厘米，他有办法检验AD 与 AB 边的垂直吗？生：可以利用分段相加的方法量出AD ，AB ，BD 的长度生：这样做误差太大，可以AB，AD 上各量一段较小的长度例如在AB 边上量一小段 AE=8cm 在 AD 边上量一小段AF=6cm ，而 AE2+AF2=82+62=64+36=100=102，这时只要量一下 EF 是否等于10cm 即可如果EF=10cm， EF2=100，则有AE2+AF2=EF2，根据勾股定理的逆定理可知AEF?是直角三
7、角形， EAF=90 即 DAB=90 所以 AD AB；如果 EF10cm，则 EF2100，?所以 AE2+AF2EF2， AEF 不是直角三角形，即AD 不垂直于 AB 师：看来，同学们方法还真多，没有被困难吓倒，祝贺你们接下来，我们继续用勾股定理的逆定理解决几个问题二、讲授新课精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页活动 2 问题： 【例 1】判断由线段a、b、 c 组成的三角形是不是直角三角形（1）a=15，b=8，c=17；（2）a=13，b=14，c=15；（3）求证： m2-n2，m2+n2，2mn（mn
8、，m，n 是正整数）是直角三角形的三条边长设计意图：进一步让学生体会用勾股定理的逆定理，实现数和形的统一，第（3）?题又让学生从一次从一般形式上去认识勾股数，如果能让学生熟记几组勾股数，我们在判断三角形的形状时，就可以避开很麻烦的运算师生行为：先由学生独立完成，然后小组交流教师应巡视学生解决问题的过程，对成绩较差的同学给予指导在此活动中，教师应重点关注学生：能否用勾股定理的逆定理判断三角形的形状能否发现问题，反思后及时纠正能否积极主动地与同学交流意见生：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方解： （1）因为 152+82=225+
9、64=289 ，172=289，所以 152+82=172，这个三角形是直角三角形（2）因为 132+142=169+196=365，152=365 所以 132+142152，这个三角形不是直角三角形生：要证明它们是直角三角形的三边，首先应判断这三条线段是否组成三角形，然后再根据勾股定理的逆定理来判断它们是否是直角三角形的三边长（3）证明： mn， m， n是正整数（m2-n2）+（ m2+n2）=2m22mn，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页即（ m2-n2）+（m2+n2）2mn又因为（ m2-n2）+2m
10、n=m2+n（2m-n） ，而 2m-n=m+ （m-n）0，所以（ m2-n2）+2mnm2+n2这三条线段能组成三角形又因为（ m2-n2）2=m4+n4-2m2n2（m2+n2）2=m4+n4+2m2n2（2mn）2=4m2n2，所以（ m2-n2）2+（2mn）2=m4+n4-2m2n2+4m2n2=m4+n4+2m2n2=（m2+n2）2所以，此三角形是直角三角形，m2-n2，2mn，m2+n2（mn，m，n 是正整数）这三边是直角三角形的三边师：我们把像15、8、7 这样， 能够成为三角形三条边长的三个正整数，?称为勾股数而且我们不难发现m2-n2，m2+n2，2mn 也是一组勾股
11、数，而且这组勾股数由于m，n?取值的不同会得到不同的勾股数例如m=2，n=1 时， m2-n2=22-12=3， m2+n2=22+12=5，2mn=221=4，而 3，4，5?就是一组勾股数你还能找到不同的勾股数吗？生：当 m=3，n=2 时， m2-n2=32-22=5，m2+n2=13，2mn=232=12，所以 5，12，13也是一组勾股数当 m=4，n=2 时， m2-n2=42-22=12，m2+n2=20， 2mn=242=16，所以12，16，20?也是一组勾股数师：由此我们发现， 勾股数组有无数个，而上面介绍的就是寻找勾股数组的一种方法17 世纪， 法国数学家费尔马也研究了勾
12、股数组的问题，并且在这个问题的启发下，想到了一个更一般的问题，1637 年，他提出了数学史上的一个著名猜想费马大定理，即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页当 n2 时，找不到任何的正整数组，使等式xn+yn=zn成立，费马大定理公布以后，引起了各国优秀数学家的关注，他们围绕着这个定理顽强地探索着，试图来证明它1995 年，英籍数学家怀尔斯终于证明了费马大定理，解开了这个困惑世间无数智者300 多年的谜活动 3 问题：【例2】 “远航”号， “海天”号轮船同时离开港口，?各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16
13、 海里， “海天”号每小时航行12 海里，它们离开港口一个半小时后相距30 海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？设计意图：让学生体会勾股定理的逆定理在航海中的应用，从而树立远大理想，更进一步体会数学的实用价值师生行为：教师先鼓励学生根据题意画出图形，然后小组内交流讨论，教师需要巡视，对有困难的学生一个启示，帮助他们寻找解题的途径在此活动中，教师应重点关注：学生能否根据题意画出图形学生能否积极主动地参与活动学生是否充满信心解决问题生：我们根据题意画出图形，（如下图），可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向
14、了解：根据题意画出右图PQ=161.5=24，PR=121.5=18，QR=30 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页因为 242+182=302，即 PQ2+PR2=QR2所以 QPR=90由“远航”号沿东北方向航行可知，QPS=45，所以 RPS=45，即“海天”号沿西北或东南方向航行三、巩固提高活动 4 问题： A、B、C 三地两两距离如下图所示，A 地在 B 地的正东方向，C 地在 B 地的什么方向？设计意图：进一步熟练掌握勾股定理的逆定理的应用师生行为：由学生独立完成后，由一个学生板演，教师讲解解： BC2
15、+AB2=52+122=169，AC2=132=169所以 BC2+AB2=AC2，即 BC 的方向与BA 方向成直角，ABC=90 ， C 地应在B?地的正北方向四、课时小结活动 5 问题：谈谈这节课的收获有哪些？掌握勾股定理及逆定理，来解决简单的应用题，会判断一个三角形是直角三角形设计意图：这种形式的小结，激发了学生的主动参与意识，调动了学生的学习兴趣，为每一位学精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页习都创造了在数学学习活动中获得成功体验的机会师生行为：教师课前可准备一组小卡片，卡片上写上针对这节课内容不同形式的小
16、问题，请同学们抽签回答板书设计182 勾股定理的逆定理（三）1勾股定理的逆定理实际问题（判定直角三角形的形状）2勾股数组3在实际生活中的应用活动与探究如下图，在正方形ABCD 中， E 是 BC 的中点， F 为 CD 上一点，且CF=14CD求证： AEF 是直角三角形过程：要证 AEF 是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要证AE2+EF2=AF2即可利用代数方法（即勾股定理的逆定理）计算三角形的三边长，?看它们是否是勾股数，以判断三角形是否是直角三角形，这是解决几何问题常用的方法之一结果：设正方形ABCD 的边长是a，则 BE=CE=12a，CF=14a， DF=34a，在 RtABE中
17、， ?由勾股定理得AE2=AB2+BF2=a2+（12a）2=54a2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页同理，在 RtADF 中， AF2=AD2+DF2=a2+ （34a）2=2516a2， 在 RtCEF 中， EF2=CE2+CF2=（12a）2+（14a）2=516a2所以， AF2=AE2+EF2所以， AEF 是直角三角形习题详解习题 182 1解： （ 1）a2=49，b2=576， c2=625 a2+b2=49+576=625 ，c2=625 所以， a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理，得由线
18、段a=7，b=24，c=25?能组成直角三角形（2）a2=2.25， b2=4，c2=6.25，而 a2+b2=2.25+4=6.25 ，所以， a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理，得由线段a=1.5，b=2，c=2.5?可组成直角三角形（3）a2=2516，b2=1，c2=916，b2+c2=1+=2516即 a2=b2+c2，所以，以a=54，b=，c=34为边可组成直角三角形（4）a2=1 600，b2=2 500，c2=3 600而 a2+b2=4 1003 600，即 a2+b2c2，不能构成直角三角形2 （1）逆命题：两直线平行，同旁内角互补此逆命题成立（2）逆命题：如果两个角
19、相等，那么这两个角是直角，此逆命题不成立（3）逆命题：如果两个三角形三边对应相等，那么这两个三角形全等，此逆命题成立（4）逆命题：已知两个数，如果它们的平方相等，则这两个数也相等，?此逆命题不成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页3解：根据题意，如下图所示AB=80m ，BC=60m ，CA=100m 因为， 802+602=1002，?即 AB2+BC2=AC2，所以 ABC 为 Rt，即小明向东走了80m 后又向北或向南走了60m，最后回到原地（A 点） 4 解 ： a2=4m2， b2= （ m2-1 ）2=
20、m4-2m2+1 ， c2= （ m2+1 ）2=m4+2m2+1 ， 而a2+b2=4m2+m4-2m2+1=m4+2m2+1，?所以 a2+b2=c2，即 a，b，c 为勾股数当 m=2 时，可得一组勾股数：4，3，5；当 m=3 时，可得一组勾股数：6，8，10；当 m=4 时，可得一组勾股数：8，15，17；5解： AD 是 BC 边上的中线，且BC=10cm，所以 BD=DC=12BC=5cm ，AB=13cm ，AD=12cm 132=122+52，所以 AB2=AD2+BD2ABD 为 Rt且 ADB=90 ，所以 ADC=90 ，AC=2222125ADDC= 1363，4，5
21、 是一组勾股数，那么3k，4k，5k（ k 是正整数）也是一组勾股数，因为（ 3k）2+（4k）2=（5k）2；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页同样 a，b，c 是一组勾股数，则a2+b2=c2，而（ ak）2=a2k2， （bk）2=b2k2， （ck）2=c2k2，?所以 a2k2+b2k2=c2k2，则 ak， bk，ck， （ k 为正整数）也是一组勾股数备课资料以盈补虚原理赵爽和其他数学家们证明勾股定理所用的以盈补虚原理，说来道理非常浅显，方法也简单，但是思路却是别出心裁的，他们只是利用平面几何的图形
22、分、合、移、补，就巧妙地推导出许多有用处的公式如下图，取三角形ABC 中 AB、AC 的中点 D 和 E，过 A，B，C 分别作 DE?或其延长线的垂线，垂足为F、G、H；原图形中解体而出的移补于1、2，从而得知SABC=S矩形GBCH，?为求 CHBC，但 CH 为 BC 边上的高的一半，最后求出，三角形的面积等于高的一半乘底边长赵爽的割补法经过后来刘徽在九章算术注中加以确认和发挥，得到范围更广泛的应用“今有圭田广十二步，正从二十一步， 问为田几何？” 答曰： “一百二十六步” 术曰：“半广以乘正从 ”（译文：有一块三角形田地，底边长12 步，高 21 步，问这块田地的面积是多少？答案是 1
23、26 平方步解法是用底边长的一半乘高）刘徽解释这种方法时指出：“半广者，以盈补虚为直田（矩形田）也；亦可半正从以乘广”半正从以乘广， 是说用高的一半乘底边长，就是以上从图8 割补的结果， ?而利用图9，又可以得出三角形面积等于“等边长的一半乘高”的结论AH 是 BC 边上的高， D、E 分别是 BH 、HC 的中点，割、补1、 2?则三角形ABC 的面积就相当于矩形DEFG 了同样用这种方法也可以推导出求梯形面积公式，从以下题目解法可见：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页“今有邪田（梯形田），一头广（一底宽）三十步，一头广（另一底宽）四十二步，正从（高）六十四步，问为田几何”？解法是：“并二邪而半之，以乘正从若广”即：把上底加下底的一半当做宽，乘高即得刘徽解释梯形求积为： “并而半之者，以盈补虚也”是说：取上底加下底的一半，就是以盈补虚法如下图，取BE、FC 的中点 G、H，则梯形ABCD 的面积相当于矩形GHIJ除了确定求积公式外，以盈补虚原理还可以用于更繁杂的情况用以盈补虚原理求解一些问题不但易懂，而且也别开生面精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页
