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1、实用文档标准文案全等三角形的判定题型类型一、全等三角形的判定1“边边边”例题、已知：如图，AD BC ，AC BD.试证明：CAD DBC. (答案）证明：连接DC ，在ACD 与BDC 中ADBCACBDCDDC 公共边ACD BDC （SSS ）CAD DBC （全等三角形对应角相等）类型二、全等三角形的判定2“边角边”例题、已知，如图，在四边形ABCD 中，AC平分 BAD ，CE AB于 E，并且AE 12（AB AD ） ，求证： BD180. (答案）证明：在线段AE上，截取 EF EB ，连接 FC ，CE AB ， CEB CEF 90在CBE 和CFE中，CEBCEFEC =
2、ECEBEFCBE 和CFE （SAS ） BCFE AE 12（AB AD ） ，2AE ABAD AD 2AE AB AE AF EF，AD 2（AF EF）AB 2AF 2EF AB AF AF EF EB AB AF AB AB ，即 AD AF 在AFC和ADC中(AFADFACDACACAC角平分线定义）AFC ADC （SAS ） AFC D AFC CFE 180， BCFE.AFC B180， BD180. 类型三、全等三角形的判定3“角边角”例题、 已知：如图，在 MPN 中，H是高 MQ 和 NR的交点，且 MQ NQ 求证： HN PM. 证明： MQ 和 NR是MPN
3、 的高， MQN MRN 90，又132490， 34 12 在MPQ 和NHQ 中，12MQNQMQPNQHMPQ NHQ （ASA ） PM HN 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页实用文档标准文案类型四、全等三角形的判定4“角角边”例题、已知 RtABC中，AC BC ，C 90，D为 AB边的中点， EDF 90， EDF绕 D点旋转，它的两边分别交AC 、CB于 E、F当 EDF绕 D点旋转到 DE AC于 E时（如图 1） ，易证12DEFCEFABCSSS；当 EDF绕 D点旋转到 DE和 AC不垂直时
4、，在图2 情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明.解：图 2 成立； 证明图 2：过点 D 作 DMACDNBC，则90DMEDNFMDN在AMD 和DNB 中，AMD=DNB=90ABADBDAMD DNB （AAS ）DM DN MDE EDN NDF EDN 90， MDE NDF 在DME 与DNF 中，90EMDFDNDMDNMDENDFDME DNF （ASA ）DMEDNFSSDEFCEFDMCNDECFS=S=SS.四边形四边形可知ABCDMCN1S=S2四边形，12DEFCEFABCSSS类型五、直角三角形全等的判定“ HL ”下列说
5、法中，正确的画“” ；错误的画“”，并举出反例画出图形 . （1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等（）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等（）( 答案） （1）； （2）；在ABC和DBC中，AB DB ，AE和 DF是其中一边上的高，AE DF （3）. 在ABC和ABD中，AB AB ，AD AC ，AH为第三边上的高，如下图：1、已知：如图， DE AC ，BF AC ，AD BC ，DE BF.求证： AB DC. ( 答案与解析） 证明： DE AC ，BF AC ，精选学习资料 - - - -
6、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页实用文档标准文案在 RtADE 与 RtCBF中.ADBCDEBF，RtADE RtCBF （HL） AE CF ，DE BF AE EF CF EF，即 AF CE 在 RtCDE 与 RtABF中，DEBFDECBFAECFARtCDE RtABF （SAS ） DCE BAF AB DC. ( 点评）从已知条件只能先证出RtADE RtCBF ，从结论又需证 RtCDE RtABF.我们可以从已知和结论向中间推进，证出题目. 2、如图， ABC中， ACB 90，AC BC ，AE是 BC边上的中线，过 C
7、作 CF AE ，垂足为 F，过 B作 BD BC交 CF的延长线于 D. （1）求证： AE CD ；（2）若 AC 12cm，求 BD的长. ( 答案与解析）（1）证明： DB BC ，CF AE ， DCB D DCB AEC 90DAEC 又 DBC ECA 90，且 BC CA ， DBC ECA （AAS ） AE CD （2）解：由（ 1）得 AE CD ，AC BC ， CDB AEC （HL ） BD EC 12BC 12AC ，且AC 12BD 6cm( 点评）三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等， 先根据已知条件或求证的结论确定
8、三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等 . 三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点. 这点叫做三角形的旁心 . 三角形有三个旁心 . 所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4 个. 如图所示： ABC的内心为1P，旁心为234,PP P，这四个点到 ABC三边所在直线距离相等 . 角的平分线的性质及判定1、如图， AD是BAC的平分线， DE AB ，交 AB的延长线于点 E，DF AC于点 F，且 DB DC.求证： BE CF. ( 答
9、案） 证明： DE AE ，DF AC ，AD是BAC的平分线，DE DF ，BED DFC 90在 RtBDE 与 RtCDF中，DBDCDEDF，RtBDE RtCDF （HL ） BE CF 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页实用文档标准文案2、如图， AC=DB ，PAC与PBD的面积相等求证： OP平分 AOB ( 答案与解析）证明：作 PM OA于 M ，PN OB于 N 12PACSAC PMg，12PBDSBD PNg，且PACSPBDS12AC PMg12BD PNg又AC BD PM PN 又PM
10、 OA ，PN OB OP平分 AOB ( 点评） 观察已知条件中提到的三角形PAC与PBD ，显然与全等无关，而面积相等、底边相等，于是自然想到可得两三角形的高线相等，联系到角平分线判定定理可得. 跟三角形的高结合的题目，有时候用面积会取得意想不到的效果. 3、如图， DC AB ，BAD和ADC 的平分线相交于 E，过 E的直线分别交 DC 、AB于 C 、B两点. 求证： AD AB DC. ( 答案） 证明：在线段 AD上取 AF AB ，连接 EF ，AE是BAD 的角平分线， 12，AF AB AEAE ， ABE AFE ， BAFE 由 CD AB又可得 C B180， AFE
11、 C180，又 DFE AFE 180， C DFE ，DE是ADC 的平分线， 34，又DE DE ， CDE FDE ，DF DC ，AD DF AF ，AD AB DC 类型一、全等三角形的性质和判定如图，已知： AE AB ，AD AC ，AB AC ，BC，求证： BD CE. ( 答案) 证明： AE AB ，AD AC ， EAB DAC 90EAB DAE DAC DAE ，即 DAB EAC. 在DAB与EAC 中，DABEACABACBCDAB EAC （SAS ） BD CE. 类型二、巧引辅助线构造全等三角形(1) 作公共边可构造全等三角形：1、在 ABC中，AB AC
12、.求证： BC ( 答案) 证明：过点 A作 AD BC在 RtABD与 RtACD 中ABACADADRtABD RtACD （HL ） BC. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页实用文档标准文案(2) 倍长中线法：1、 已知：如图所示，CE 、 CB分别是 ABC与ADC 的中线，且ACB ABC 求证： CD 2CE ( 答案） 证明： 延长 CE至 F 使 EF CE ，连接 BF EC 为中线， AE BE 在AEC与BEF中，,AEBEAECBEFCEEFAEC BEF （SAS ） AC BF ，AFB
13、E （全等三角形对应边、角相等）又ACB ABC ，DBC ACB A，FBC ABC A AC AB ，DBC FBC AB BF 又 BC 为ADC 的中线， AB BD 即 BF BD 在FCB与DCB 中，,BFBDFBCDBCBCBCFCB DCB （SAS ） CF CD 即 CD 2CE 2、若三角形的两边长分别为5 和 7, 则第三边的中线长x的取值范围是 ( ) A.1 x 6 B.5 x 7 C.2 x 12 D.无法确定( 答案) A ；提示：倍长中线构造全等三角形，75 2x75，所以选 A选项. (3). 作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形：如图， AD是A
14、BC 的角平分线， H，G分别在 AC ，AB上，且 HD BD. (1) 求证： B与AHD 互补；(2) 若B2DGA 180，请探究线段AG与线段 AH 、HD之间满足的等量关系，并加以证明. ( 答案） 证明： （1）在 AB上取一点 M, 使得 AM AH, 连接 DM. CAD BAD, ADAD, AHD AMD. HDMD, AHD AMD. HDDB, DB MD. DMB B. AMD DMB 180 , AHD B180 . 即 B与AHD互补. （2）由（ 1）AHD AMD, HD MD, AHD B180 . B2DGA 180 , AHD 2DGA. AMD 2D
15、GM. AMD DGM GDM. 2 DGM DGM GDM. DGM GDM. MD MG. HD MG. AG AMMG, AG AHHD. （3）. 利用截长 ( 或补短) 法作构造全等三角形：1、如图， AD是ABC 的角平分线， AB AC,求证： AB AC BD DC ( 答案）证明：在 AB上截取 AE AC,连结 DE AD是ABC 的角平分线， BAD CAD MGHDCBAEDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页实用文档标准文案在AED与ACD 中ADADCADBADACAEAED ADC
16、（SAS ）DE DC 在BED中，BE BD DC 即 AB AE BD DC AB AC BD DC 2、如图所示，已知 ABC中 AB AC ，AD是BAC的平分线， M是 AD上任意一点，求证： MB MC ABAC ( 答案与解析 ) 证明： AB AC ，则在 AB上截取 AE AC ，连接 ME 在 MBE 中，MB ME BE （三角形两边之差小于第三边）在AMC 和AME 中，()()()ACAECAMEAMAMAM所作 ，角平分线的定义，公共边 ，AMC AME （SAS ） MCME （全等三角形的对应边相等） 又 BE AB AE ， BE AB AC ， MBMC A
17、B AC ( 点评) 因为 AB AC ，所以可在 AB上截取线段 AE AC ，这时 BE AB AC ，如果连接 EM ，在BME 中，显然有 MB ME BE 这表明只要证明 ME MC ，则结论成立充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键. （4）. 在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.1、如图所示，已知E为正方形 ABCD 的边 CD的中点，点 F 在 BC上，且 DAE FAE 求证： AF AD CF ( 答案与解析）证明： 作 ME AF于 M ，连接 EF 四边形 ABCD 为正方形，CDEMA 90又DAE FAE ， AE 为FAD的平分线， MEDE 在 RtAME
18、 与 RtADE中，()()AEAEDEME公用边 ，已证 ， Rt AME RtADE(HL) AD AM( 全等三角形对应边相等 ) 又 E 为 CD中点， DE EC MEEC 在 RtEMF 与 RtECF中，()(MECEEFEF已证 ，公用边) ， Rt EMF RtECF(HL) MFFC(全等三角形对应边相等 ) 由图可知： AF AM MF ， AF AD FC(等量代换 ) ( 点评） 与角平分线有关的辅助线：在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页实用文
19、档标准文案分线上取一点向角的两边作垂线段. 四边形 ABCD 为正方形，则D90而DAEFAE说明 AE为FAD的平分线，按常规过角平分线上的点作出到角两边的距离，而 E到 AD的距离已有，只需作E到 AF的距离 EM即可，由角平分线性质可知ME DE AE AE RtAME 与 RtADE 全等有 AD AM 而题中要证 AF AD CF 根据图知 AF AM MF 故只需证 MF FC即可从而把证 AF AD CF转化为证两条线段相等的问题2、如图所示，在 ABC中，AC=BC ，ACB=90 ，D是 AC上一点，且 AE垂直 BD的延长线于 E，12AEBD，求证： BD是ABC 的平分
20、线( 答案与解析）证明：延长 AE和 BC ，交于点 F，AC BC ，BEAE ， ADE= BDC （对顶角相等）， EAD+ ADE= CBD+ BDC 即 EAD=CBD 在 RtACF和 RtBCD 中所以 RtACF RtBCD （ASA ） 则 AF=BD （全等三角形对应边相等） AE= BD ，AE= AF，即 AE=EF 在 RtBEA和 RtBEF中，则 RtBEA RtBEF （SAS ） 所以 ABE= FBE （全等三角形对应角相等） ，即 BD是ABC 的平分线( 点评）如果由题目已知无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件，使问题得以解决
21、平时练习中多积累一些辅助线的添加方法. 类型三、全等三角形动态型问题解决动态几何问题时要善于抓住以下几点：(1) 变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用；(2) 图形在变化过程中，哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化；原来的线段之间、角之间的位置与数量关系是否还存在是解题的关键；(3) 几种变化图形之间，证明思路存在内在联系，都可模仿与借鉴原有的结论与过程，其结论有时变化，有时不发生变化1、已知：在 ABC中， BAC 90，AB AC ，点 D为射线 BC上一动点，连结AD ，以 AD为一边且在 AD的右侧作正方形 ADEF （1）当点 D在线段 BC上时（与点
22、 B不重合） ，如图 1，求证： CF BD （2）当点 D运动到线段 BC的延长线上时，如图2，第（1）问中的结论是否仍然成立，并说明理由. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页实用文档标准文案(答案） 证明： （1）正方形 ADEF AD AF ，DAF 90DAF DAC BAC DAC ，即 BAD CAF 在ABD和ACF中，ABACBADCAFADAFABD ACF （SAS ） BD CF （2）当点 D运动到线段 BC的延长线上时，仍有BD CF 此时 DAF DAC BAC DAC ，即BAD CAF
23、 在ABD和ACF中，ABACBADCAFADAFABD ACF （SAS ）BD CF2、如图(1) ，ABC中，BC AC ，CDE 中，CE CD ，现把两个三角形的 C点重合，且使 BCAECD ，连接 BE ，AD 求证： BE AD 若将 DEC 绕点 C旋转至图 (2) ，(3) 所示的情况时，其余条件不变， BE与 AD还相等吗 ?为什么 ? ( 答案) 证明： BCA ECD ， BCA ECA ECD ECA ，即 BCE ACD 在ADC 与BEC 中ACD=BCEACBCCDCEADC BEC(SAS) BE AD 若将 DEC 绕点 C旋转至图 (2) ，(3) 所示的情况时，其余条件不变， BE与 AD还相等，因为还是可以通过SAS证明 ADC BEC. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
