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1、 生活中经常会遇到求什么条件下可使用料最省，利生活中经常会遇到求什么条件下可使用料最省，利润最大，效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题润最大，效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题. .这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题. .其中其中不少问题可以运用导数这一有力工具加以解决不少问题可以运用导数这一有力工具加以解决. .复习：如何用导数来求函数的最值？复习：如何用导数来求函数的最值？ 一般地，若函数一般地，若函数y=f (x)在在a，b上的图象是一条上的图象是一条连续不断的曲线，则求连续不断的曲线，则求f (x) 的最值的步骤是：的最值的步
2、骤是：（1）求）求y=f (x)在在a，b内的极值内的极值(极大值与极小值极大值与极小值)；（2）将函数的各极值与端点处的函数值）将函数的各极值与端点处的函数值f (a)、f (b) 比较，比较， 其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 特特别别地，地，如果函数在如果函数在给给定区定区间间内只有一个极内只有一个极值值点，点，则这则这个极个极值值一定是最一定是最值值。规格（规格（L）21.250.6价格（元）价格（元）5.14.52.5问题情景一：问题情景一：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 下面是某品牌饮料的三种规格不
3、同的产品，若它们下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如下表所示，则的价格如下表所示，则（1）对对消消费费者而言，者而言，选择选择哪一种更合算呢？哪一种更合算呢？（2）对对制造商而言，哪一种的利制造商而言，哪一种的利润润更大？更大？例例1、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是成本是0.8p pr2分，其中分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售售1ml的饮料，制造商可获利的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为最大半径为6cm，
4、则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？r(0，2)2(2，6f (r)0f (r)-+减函数减函数 增函数增函数 -1.07p p解：解：每个瓶的容积为每个瓶的容积为:每瓶每瓶饮饮料的利料的利润润：例例1、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是成本是0.8p pr2分，其中分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售售1ml的饮料，制造商可获利的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为最大半径为6cm，则每瓶
5、饮料的利润何时最大，何时最小呢？，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？当当r(0，2)时，时， ，f (r)是减函数是减函数当当r(2，6时，时， ，f (r)是增函数是增函数解：设每瓶饮料的利润为解：设每瓶饮料的利润为y，则，则r(0，2)2(2，6f (r)0f (r)-+减函数减函数 增函数增函数 f (r)在在(0，6上只有一个极值点上只有一个极值点由上表可知，由上表可知，f (2)=-1.07p p为利润的最小值为利润的最小值-1.07p p例例1、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造瓶子的制造成本是成本是0.8p pr2分分，其
6、中，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售售1ml的饮料，制造商可获利的饮料，制造商可获利0.2分分，且制造商能制造的瓶子的，且制造商能制造的瓶子的最大半径为最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？解：设每瓶饮料的利润为解：设每瓶饮料的利润为y，则，则当当r(0，2)时，时，而而f (6)=28.8p p，故，故f (6)是最大值是最大值答：当瓶子半径为答：当瓶子半径为6cm时，每瓶饮料的利润最大，时，每瓶饮料的利润最大，当瓶子半径为当瓶子半径为2cm时，每瓶饮料的利润最小时，每瓶饮料的利润最小.例例
7、1、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造瓶子的制造成本是成本是0.8p pr2分分，其中，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售售1ml的饮料，制造商可获利的饮料，制造商可获利0.2分分，且制造商能制造的瓶子的，且制造商能制造的瓶子的最大半径为最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？解决优化问题的方法之一：解决优化问题的方法之一： 通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出
8、优化方案，模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决在这个过程中，导数往往是一个有使问题得到解决在这个过程中，导数往往是一个有力的工具，其基本思路如以下流程图所示力的工具，其基本思路如以下流程图所示优化问题优化问题用函数表示的数学问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案优化问题的答案问题情景二：汽油使用效率何时最高问题情景二：汽油使用效率何时最高 我们知道，汽油的消耗量我们知道，汽油的消耗量 w (单位单位:L)与汽车的速度与汽车的速度 v (单位单位:km/h) 之间有一定的关系，汽车的消耗量之间有一定的关系，汽车的消耗量 w 是汽车是汽车
9、速度速度 v 的函数的函数. 根据实际生活，思考下面两个问题：根据实际生活，思考下面两个问题：（1）是不是汽车的速度越快，）是不是汽车的速度越快， 汽油的消耗量越大汽油的消耗量越大?（2）当汽车的行驶路程一定时，是车速快省油还是）当汽车的行驶路程一定时，是车速快省油还是 车速慢的时候省油呢？车速慢的时候省油呢？一般地，每千米路程的汽油消耗量越少，我们就说一般地，每千米路程的汽油消耗量越少，我们就说汽油的使用效率汽油的使用效率越高（即越省油）。越高（即越省油）。 若用若用G来表示每千米平均的汽油消耗量，则来表示每千米平均的汽油消耗量，则这里的这里的w是汽油消耗量，是汽油消耗量，s是汽车行驶的路程
10、是汽车行驶的路程如何计算每千米路如何计算每千米路 程的汽油消耗量？程的汽油消耗量？例例2、通过研究，人们发现汽车在行驶过程中，汽油的、通过研究，人们发现汽车在行驶过程中，汽油的平均消耗率平均消耗率 g（即每小时的汽油消耗量，（即每小时的汽油消耗量， 单位单位: L / h）与汽车行驶的平均速度与汽车行驶的平均速度v（单位（单位: km）之间，有如图的）之间，有如图的函数关系函数关系 g = f (v) ，那么如何根据这个图象中的数据来，那么如何根据这个图象中的数据来解决汽油的使用效率最高的问题呢？解决汽油的使用效率最高的问题呢？v(km/h)g (L/h)O12090305051015问题问题
11、1：可用哪个量来衡量：可用哪个量来衡量汽油的使用效率？汽油的使用效率？问题问题2：汽油的使用效率与：汽油的使用效率与 g、v有什么关系？有什么关系？(w是汽油消耗量，是汽油消耗量，s是汽车行驶的路程是汽车行驶的路程)例例2、通过研究，人们发现汽车在行驶过程中，汽油的、通过研究，人们发现汽车在行驶过程中，汽油的平均消耗率平均消耗率 g（即每小时的汽油消耗量，（即每小时的汽油消耗量， 单位单位: L / h）与汽车行驶的与汽车行驶的平均速度平均速度v（单位（单位: km）之间，有如图的）之间，有如图的函数关系函数关系 g = f (v) ，那么如何根据这个图象中的数据来，那么如何根据这个图象中的数
12、据来解决汽油的使用效率最高的问题呢？解决汽油的使用效率最高的问题呢？v(km/h)g (L/h)O12090305051015分析：分析：每千米平均的汽油消耗量每千米平均的汽油消耗量 ，这里，这里 w是汽油是汽油消耗量，消耗量，s是汽车行驶的路程是汽车行驶的路程w=gt，s=vtP(v，g) 的几何意的几何意 义是什么？义是什么？如图所示，如图所示， 表示经过原点表示经过原点与曲线上的点与曲线上的点 P(v，g)的直线的直线的斜率的斜率k所以由右图可知，当直线所以由右图可知，当直线OP为曲线的切线时，即斜率为曲线的切线时，即斜率k取取最小值时，汽油使用效率最高最小值时，汽油使用效率最高例例3、
13、经统计经统计表明，某种型号的汽表明，某种型号的汽车车在匀速行在匀速行驶驶中每小中每小时时的的耗油量耗油量y（升）关于行（升）关于行驶驶速度速度x（千米（千米/小小时时）的函数解析式）的函数解析式可以表示可以表示为为：若已知甲、乙两地相距若已知甲、乙两地相距100千米。千米。 （I）当汽）当汽车车以以40千米千米/小小时时的速度匀速行的速度匀速行驶时驶时，从甲地到，从甲地到乙地要耗油乙地要耗油为为 升升; （II）若速度为若速度为x千米千米/小时，则汽车从甲地到乙地需小时，则汽车从甲地到乙地需行驶行驶 小时，记耗油量为小时，记耗油量为h(x)升，其解析式为升，其解析式为: . (III)当汽当汽
14、车车以多大的速度匀速行以多大的速度匀速行驶时驶时，从甲地到乙地耗油，从甲地到乙地耗油最少？最少最少？最少为为多少升？多少升？17.5 例例3、经统计经统计表明，某种型号的汽表明，某种型号的汽车车在匀速行在匀速行驶驶中每小中每小时时的的耗油量耗油量y（升）关于行（升）关于行驶驶速度速度x（千米（千米/小小时时）的函数解析式）的函数解析式可以表示可以表示为为：若已知甲、乙两地相距若已知甲、乙两地相距100千米。千米。 (III)当汽当汽车车以多大的速度匀速行以多大的速度匀速行驶时驶时，从甲地到乙地耗油，从甲地到乙地耗油最少？最少最少？最少为为多少升？多少升？解：设当汽车以解：设当汽车以x km/h
15、的速度行驶时，从甲地到乙地的速度行驶时，从甲地到乙地的耗油量为的耗油量为h(x) L，则，则练习：已知某厂每天生产练习：已知某厂每天生产x件产品的成本为件产品的成本为若要使平均成本最低，则每天应生产多少件产品？若要使平均成本最低，则每天应生产多少件产品？解：设平均成本为解：设平均成本为y元，每天生产元，每天生产x件产品，则件产品，则每天应生产每天应生产1000件产品件产品练习：已知某厂每天生产练习：已知某厂每天生产x件产品的成本为件产品的成本为变题变题1：若受到设备的影响，该厂每天至多只能生产：若受到设备的影响，该厂每天至多只能生产800件件产品，则要使平均成本最低，每天应生产多少件产品呢？产
16、品，则要使平均成本最低，每天应生产多少件产品呢？解：设平均成本为解：设平均成本为y元，每天生产元，每天生产x件产品，则件产品，则练习：已知某厂每天生产练习：已知某厂每天生产x件产品的成本为件产品的成本为变题变题1：若受到产能的影响，该厂每天至多只能生产：若受到产能的影响，该厂每天至多只能生产800件件产品，则要使平均成本最低，每天应生产多少件产品呢？产品，则要使平均成本最低，每天应生产多少件产品呢？函数在函数在(0，1000)上是减函数上是减函数故每天应生产故每天应生产800件产品件产品变题变题2：若产品以每件：若产品以每件500元售出，要使得利润最大，元售出，要使得利润最大，每天应生产多少件
17、产品？每天应生产多少件产品？练习：已知某厂每天生产练习：已知某厂每天生产x件产品的成本为件产品的成本为基本不等式法：基本不等式法： “一正、二定、三相等、四最一正、二定、三相等、四最值值”；导导数法：数法： 一定一定义义域、二域、二导导数符号、三数符号、三单调单调性、四最性、四最值值”。小结：小结： 在日常生活中，我们经常会遇到求在什么条件下可在日常生活中，我们经常会遇到求在什么条件下可使用料最省，利润最大，效率最高等问题，这些问题通使用料最省，利润最大，效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题常称为优化问题. . 在解决在解决优化问题优化问题的过程中，关键在于建立数学模型的过程中，关键在于建
18、立数学模型和目标函数；要认真审题，尽量克服文字多、背景生疏、和目标函数；要认真审题，尽量克服文字多、背景生疏、意义晦涩等问题，准确把握数量关系。在计算过程中要意义晦涩等问题，准确把握数量关系。在计算过程中要注意各种数学方法的灵活运用注意各种数学方法的灵活运用, ,特别是导数的运用。特别是导数的运用。(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；(4)对结果进行验证评估，定性定量分析，做出正确的判断，确定其答案注意：实际应用中，准确地列出
19、函数解析式并确定函数定义域是关键例在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？解析设箱高为xcm，则箱底边长为(602x)cm，则得箱子容积V是x的函数，V(x)(602x)2x(0x30)4x3240x23600x.V(x)12x2480x3600，令V(x)0，得x10，或x30(舍去)当0x0，当10x30时，V(x)0.当x10时，V(x)取极大值，这个极大值就是V(x)的最大值V(10)16000(cm3)答：当箱子的高为答：当箱子的高为10cm，底面边长为，底面边长为40cm时，箱子的体积最大，最大容积为时，箱子的体积最大，最大容积为16000cm3.点评点评在解决在解决实际应实际应用用问题问题中，如果函中，如果函数在区数在区间间内只有一个极内只有一个极值值点，那么只需根点，那么只需根据据实际实际意意义义判定是最大判定是最大值还值还是最小是最小值值不不必再与端点的函数必再与端点的函数值进值进行比行比较较
