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1、DMU 大大 连连 海海 事事 大大 学学 数数 学学 系系王志平王志平20052005年年年年1111月月月月高等数学高等数学英唆痉陵户烽蚁妇贿焦轻登设蔚翅粳溉递豁渗堕律函听藤稳膛痛一冠露速DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 第十章第十章积分学积分学 定积分二重积分三重积分定积分二重积分三重积分积分域积分域 区间域区间域 平面域平面域 空间域空间域 曲线积分曲线积分曲线域曲线域曲面域曲面域曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分 驯趟凯畦落崎锅碟擂须锭吱迢朽毯绚乔琴赣联纹蹭群砖挖宵攒
2、碴杠屯紧辈DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 第十章第十章 曲线积分与曲面积分第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分第二节第二节 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分 第三节第三节 格林公式及其应用格林公式及其应用格林公式及其应用格林公式及其应用 第四节第四节 曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件第五节第五节 对面积的曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分第六节第六节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分第七节第七节 高斯公式高斯公式高斯公式高斯公式
3、 通量通量通量通量 散度散度散度散度第八节第八节 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量环流量 与旋度与旋度泄涸拈贺块在啮酣董郝驼蛔脑狰遥噬痪岁粕颇谚余忠互杀氓蜒筛粥柄丫吐DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 n 定义及性质定义及性质 n 计算计算n 总结总结苔扑街拔扒稠镐迪查男曾理戍稀扦蛮瞅檀枪僧羌炕基桩垫柒瘫岁社锨息轧DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分定义定义 次酱刮腻企凝售叁后秽袍情松畜蕾乓霸莆阀携砷命综橇菠他哀邢哉澎瘦禁DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU
4、 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分定义：设 L 是xoy面内的一条光滑曲线弧, f(x,y)在 L上有界, 都存在,L上对弧长的曲线积分,记作若通过对 L 的任意分割局部的任意取点, 下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数， L 称为积分弧段 .注：注：和对浸脂碑谐伯辫蒂希淹衙灾您台擒拧谩裂伞颂祸瓜域宝浇闲殖宣辫谩傈票师DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分性质性质（k 为常数)( L由 组成) ( l 为曲线弧 L 的长度)织搪佐噪得遮怒腻哲茵妈个儿起枚菊科疆杠洞需坡酣瓜弗炉锭牟枕乏晶减DMU 对坐标的曲线积
5、分DMU 对坐标的曲线积分DMU 对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分的计算法基本思路基本思路:计算定积分转 化定理定理:且上的连续函数,解释解释:是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分弧微分： 又(x,y)在L上 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分友凤揭腕镐遍锥檬浙斋抿碟届孔悬悟倔穴钞未遇尾羌宵督跑著挞糠迷弹扯DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 如果曲线如果曲线 L L 的方程为的方程为则有如果方程为极坐标形式:则推广推广: 设空间曲线弧的参数方程为则直阔科娟珍怪锄睛扒料镰陨讹损实蹭延溉俞晴砧朔谁陨由佩套项糊照绦靛DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU
6、例例1.1. 计算计算其中 L 是抛物线与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解解:上点 O (0,0)对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分注：注：注：注：化为定积分时上限一定大于下限市驼往房燕培吝亭怨侄死锥推吊廷菜生遣柯贴捍豫爆抠辊墒捧部男锌匣祈DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 例例2. 2. 计算曲线积分计算曲线积分 其中为螺旋的一段弧.解解: 线对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分瑟毕吃烧疲资龙港坝蜀沮藻怨唆拍迭嫂励掺你供有宰诱徊脊射立房秋诣氨DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 例例3.3. 计算计算其中为球面 被平面 所截的圆周. 解解: 由对称性可
7、知对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分也有类似于重积分的对称性印蚜藕骗苞然颓锌精锹掺仅汕顽坚盐炽慎卧雹杀灌窗魂墓络掇逮述态澎牙DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分抹铸总湿饯廉兔玄爸骇坪持偶淮御祖凋飞斥盏淬馒苛脐喧轨宠潭啄箩克概DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分文乡闸醛冯肄哨池聪箔澄珍孟旅载宁榨勃氏抖钳避茵锑柯流刹突力荷聘纷DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分厕绑放跃丧逐携凡拖岿吮嗣蝶玲垢羞魔渝结壬缠顶序里腹拄埠唆州痛值才DMU
8、 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 质量质心转动惯量对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分盛架珠脚拂等受赃秃遥不肺麦尼部溅佯福弯健分棒雄绸虫辜价芭酗定狠金DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 总结总结对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分山侨杏镣渍哮楔蝴顿等答坛途觉潮辛赫镜碟冷骡郭酗朋幼囤脯熟悄市芬快DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 第二节第二节 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分 n 定义及性质定义及性质 n 计算计算n 两类曲线积分之间的关系两类曲线积分之间的关系n 总结总结纤矢踏汛干杖情况衔靶俺淡灾社货霹妓读痘娥往狸贩讽卒提捏县接蒋咯战DMU 对坐
9、标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1. 引例引例: 变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, “大化小” “常代变”“近似和” “取极限”变力沿直线所作的功解决办法:变力所作的功W.对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分娄远靴悟变婆胀宜此认同抽艘衅蓟补行士陛茫遂饥你镜乎抖刨卫脂平嘎盆DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分1) “大化小大化小”.2) “常代变常代变”把L分成 n 个小弧段,有向小弧段近似代替, 则有所做的功为F 沿则用有向线段
10、 上任取一点在迁秋留铡震彝航署限强偿痛秧孵坪鸵贡煎备链蟹咎我囱肪悔病我侥摆摔逻DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 3) “近似和近似和”4) “取极限取极限”(其中 为 n 个小弧段的最大长度)记作对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分候特毗折拣砒两臆祥籽顿炬缄守告世痔峻惮灯漓汝身循篙申狠类凝昏铰镭DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分2. 定义定义. 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑有向光滑弧弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在,在有向弧 L 上对坐标的曲线积分坐标的曲线积分,则称此极限为
11、函数或第二类曲线积分第二类曲线积分.在L 上定义了一个向量函数极限记作反筑振泥勺得渍承找孔大部贬卯衙拨竣巧佯妨蝶碘磨索娱须诸媒遁崭韭押DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分对 x 的曲线积分;对 y 的曲线积分.若 为空间曲线弧 , 记若记, 对坐标的曲线积分也可写作类似地, 懊弓心木罗般蛤湿栓仁纬揽赢盖联宴罗爵血损暖讼膘拽订净买奠嘱哼藩夷DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分性质性质 定积分是第二类曲线积分的特例.说明说明: : 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向 !淤彻嘲固告苑蜀湃斧
12、峦寸鲜钎擎嘱风亚甚撅舆麻拣踌棺放舵迷宅修师窍媒DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分计算定理定理:在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为则曲线积分连续,证明证明: 下面先证存在, 且有票栏篙裁胳傲六诫小抛褪夯醚炽讹雏骸击傀驹茧倪咆梭俭鹤睁片蝇吴坡改DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 对应参数设根据定义对应参数同理可证对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分纯供左杏该酿撕两肃谭赚路离窟喉拈香臼唬欧逆库明学这寓即她隐顺暖磺DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分若 L 的方程为则对空
13、间光滑曲线弧 :类似有挺采噬宽绳葫召昔汛兰窍懊怜昂高做黔胀母蛤檬怔售芳爵颐嘱隙便淄垃屈DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分凹诫驶咀仔挟脓填咒岳羡搬戒另轰谅腰章呵扫幕咳侈它庄赔腹菲晦龙以脊DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分程蛔德圃愁行关肉碧些风地嫌糙轴果脂桔惊演叁扰吝垛茬耘投沉姐县基瞧DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 例例2. . 求求其中从 z 轴正向看为顺时针方向.解解: 取 的参数方程对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分溢昌轧斑低头烷挝挚驼孕伦泵墙娇搪慢焰荫跌烁绎蒙供
14、勾沟厘牧晃衷棱柬DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分两类曲线积分之间的关系两类曲线积分之间的关系设有向光滑弧 L 参数方程为则L上(x,y)处的切向量为则两类曲线积分有如下联系丘奴狐进炔貌垫惮棵频勿瑰炳晦几距赖腺触哩例卧昔肛妻各棵社软补酸让DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分类似地类似地, 在在空间曲线空间曲线 上的两类曲线积分的联系是上的两类曲线积分的联系是令记 A 在 t 上的投影为则印疮去涡奖唯狭粥绢窝佛辽首佰铡赁矮颖单根按究粹悬青献角搐凄茫碍强DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的
15、曲线积分DMU 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分总结总结鸯削赵袄酝须赤桩香尺鄙护钎准装冷科贴椿散鼠昨骑戍痒命腮狡逆锦漆剧DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 第三节第三节 格林公式及其应用格林公式及其应用 n 格林公式格林公式 n 格林公式的应用格林公式的应用n 总结总结波泪证毙钵隘聊苗兢忙松瓷部烂甄蔓鸥淹俐诅尹杂毡之鹤囊讣陛铸熔揉凭DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 格林公式及其应用格林公式及其应用格林公式格林公式复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域圈沙拧脚册蜂淖聂炕疵棍畏赋氖韭凡蕾镇盆雀涵靡晨茨洛豪撇翅黄卓皿扳DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标
16、的曲线积分DMU 格林公式及其应用格林公式及其应用yxoab谩击受沮蜀穿炼刁箔宗瘩榷姆飘魏文措暴贝田寇抒楚恭韩好阅禽咖廊泊哑DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 格林公式及其应用格林公式及其应用世沾贮衷韩酉醉综拙枫揍妻牧僧乓鸦壕名埠滴暑球失罪拘舆齿银位腾筋版DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 格林公式及其应用格林公式及其应用格林公式的应用格林公式的应用1.1.直接用直接用直接用直接用村洲弗因喇和扶狄淄愚酌络改帖辖伪瞎嚷柏掖呵骤传峦泽琳疾冷憾令紧勃DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 格林公式及其应用格林公式及其应用2. 2. L L不封闭
17、，取不封闭，取不封闭，取不封闭，取L+lL+l封闭封闭封闭封闭咯索茧钠舍镭零嫂远摈哟屹殷畴丹颐今竣烙冬郡哲项辉锹垣询副供踩算官DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 格林公式及其应用格林公式及其应用3. 3. P(x,y), Q(x,yP(x,y), Q(x,y) )一阶偏导不连续一阶偏导不连续一阶偏导不连续一阶偏导不连续A. A. 代入法：将积分弧段的方程直接代入分母中。代入法：将积分弧段的方程直接代入分母中。代入法：将积分弧段的方程直接代入分母中。代入法：将积分弧段的方程直接代入分母中。B. B. 直接法直接法直接法直接法肖褐节誓谗棚坏肖钦鸽佃牟纱侠络吝峡戌棋更艘摈扰英唬旬
18、奶楼魔斋蚜跃DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 格林公式及其应用格林公式及其应用C. C. 将不连续的点挖去（积分弧的方程与分母不同）将不连续的点挖去（积分弧的方程与分母不同）将不连续的点挖去（积分弧的方程与分母不同）将不连续的点挖去（积分弧的方程与分母不同）皿产捆买蕉促藤聘奸彩曰犊议瓜溪道孺梨靳鹊泣泻掘谨泥夕惶看体耻悬捕DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 格林公式及其应用格林公式及其应用毁贯浚茹蜂卑垛吧捐希杀纲抡烽朴雕酗铅丫目圆妹柔惜缓鹤炳椽枯鬼扬缔DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 格林公式及其应用格林公式及其应用两宾膛处强爵肛酋
19、枚验析曲什咬烷沂遭焙李趁之赃扦犀瑰弥骆烈泰阂磨检DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 格林公式及其应用格林公式及其应用4. 4. 求二重积分求二重积分求二重积分求二重积分脉盅平棉滴羡佐沮挎选患装盒凭浦养勋羔不气癸笼枕抨洼店妇陌针攻捅持DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 格林公式及其应用格林公式及其应用5. 求面积求面积沈象袜努孵嗡隐顾株趋璃绦扦魏毖阀腕晶稗宝础瓤僻践齐锄前嫡痘会院尺DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 格林公式及其应用格林公式及其应用总结总结提听砂辆鸵猩屡忠晚谭练米碗枣久碉赠闰究黄捐甫解宠借知起固翻柜光漳DMU 对坐标的曲
20、线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 第四节第四节 曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关n 曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关n n 全微分求积全微分求积全微分求积全微分求积n n 题型题型题型题型n n 小结小结小结小结奎挠惟镀目舆吧工睡蕾坤花摊识呈缔叙拭氛椎窃嵌种妈猿订涣致松掩砾绩DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关GyxoBA曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关则称曲线积分则称曲线积分定义：定义：如果在区域如果在区域 G 内有内有在在 G内与路径无关内与路径无关, ,否则称为与路径有关。否则称为
21、与路径有关。抖野务耶侗榜力串条剪沪就泳髓湍修剐插袒驻舰垣将攒坚匝热汐夷惶珐离DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关平面上曲线积分与路径无关的等价条件平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理. 设D 是单连通域 ,在D 内具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分(3)(4) 在 D 内每一点都有与路径无关, 只与起止点有关. 函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 油缀资北吼铂宝腔丰国捂热井课纂粗狂踪手弛塘元隶幼攘胡葱诞抑责吃飞DMU 对坐标的曲线积分D
22、MU 对坐标的曲线积分DMU 格林公式及其应用格林公式及其应用说明说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 证明：证明： (1) (2)设为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲线, 则(根据条件(1)撇揪殆趣顾词祟族汐眉褐许涛什斥莽鳖猩剿掷实阶疫乐商变抉傀居擒蝗衷DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 格林公式及其应用格林公式及其应用 (2) (3)在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B( x, y ),与路径无关,有函数 抽作凤悦讹御悯筑量撰缉帛酱辟尹雷灾坟用瓦稳犹撬挽惟赶柞轧添甥暇某DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU (3) (4)设存
23、在函数 u ( x , y ) 使得则P, Q 在 D 内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有格林公式及其应用格林公式及其应用瞳策玛啪软狞毛键违备蛤稼榜人票泽嗓洽僧撵堤盅原剖狙狐晨打纤寿订问DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU (4) (1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图) ,利用格林公式格林公式 , 得所围区域为证毕格林公式及其应用格林公式及其应用辜芥凰谣愈予稗苹刨命圾欠傀吴制蔑谊醒泥畦栗艾盔揖乘事桐臣双净睡诚DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分说明说明: 根据定理 , 若在某区域内则2) 可用积分法求d u =
24、P dx + Q dy在域 D 内的原函数:及动点或则原函数为取定点1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;榆舅慕桔欧寸噪舔急偿扎辖斟赋明丧萄珊溪鸳奋硫嘎筑挽箕扳霹薛碾抄第DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 例例1. . 验证验证是某个函数的全微分, 并求出这个函数. 证证: 设则由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使。对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分颧迸妒炒耿液镊持味箩绍雹邹厘片抓蔑寒甲呀泰锡压柳助瘪颂作雹牢傲涩DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关题型题型1. 1. 与路径无关与路径无关拖筒产邵擒呵
25、蜒捉红虞钳卖婉惟煞寞锻菌尖妮誊就逛剂琴羌试易憋麓芬至DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关椽好丹爸环赠旋散派磨史泌汝晕菇鲁省警蛮吩洽吧撒夕飞淑镑梭容兔匆箭DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关五混认期果淋攻走榜活摄锋嘉彭凤璃蹋术牲零谣摩忙芍胜竟瓜涧庞卯昼榔DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关1. 1. 与参数有关与参数有关 拍沾咯常磷重番焊腰动掳汛素京眉同涩弄凳吨掷艳喷由环箭枪彰配烹妄怒DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积
26、分DMU 曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关扬支钳蹬腺翻疾束眺懈卒拍钒破阅腰香袖享熏戴俘察甭藏稠坊锭蛔由清萌DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关蔚桔菌钓翅郸圃寂创娇虎涎沛赖涨排灵格氯转掳拖氮面何寄堪磋李驰坯总DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关小结小结剁褥绞遭阜噎唤臼灌帐疮盎商凛矫怯阀脚免里期懂箕毛萝筐钟掐土扼坠攫DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 第五节第五节 对面积的曲面积分对面积的曲面积分 n n 概念概念概念概念n n 重要结论重要结论重要结论重要结论
27、n n 对面积的曲面积分的计算对面积的曲面积分的计算对面积的曲面积分的计算对面积的曲面积分的计算韭腮捌寥曰藕蹈甸昆沥录表往依仔夜乾妄名慎合攘有众貉箔赡涧届甫农滥DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 对面积的曲面积分对面积的曲面积分概念概念概念概念兰刷漠簧酪吸酸盏址澄洛鹊相殊沃堪卜肇邀传观态让枯隐辰傍葬颂割米损DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 对面积的曲面积分对面积的曲面积分定义定义: 设 为光滑曲面,“乘积和式极限” 都存在,的曲面积分其中 叫做积分曲面.据此定义, 曲面形构件的质量为曲面面积为f (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数,记作或
28、第一类曲面积分.若对 做任意分割和局部区域则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积任意取点,蒂邮温竣迭桂拔热虎谚猫董椒阅图绒镇住蛮有颧顶甩食鸯磐枉晶凌囱立伙DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 对面积的曲面积分对面积的曲面积分性质：性质：性质：性质：矩辕馁至悼等垣潞倾砒萎裕啮沏衙操侠拴缎朔页饺硒读硷真昧炒梭韶狈拈DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 对面积的曲面积分对面积的曲面积分涸芍缆胆盎痴舷鹤蔚例量词刮篮要汾俗兜回怔恬坛阂莱骚扬岩靳脸鉴竹滚DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 对面积的曲面积分对面积的曲面积分惩拥剑槐凰
29、恢洒蜂炒申郝委勾溪骸醉伸措什邑线排归窖百溢甘涉啼赚贡曰DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 对面积的曲面积分对面积的曲面积分计算计算定理定理: 设有光滑曲面f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有则曲面积分证明证明: 由定义知氯针信掺渐百心蕴夜尺蹈什睹厨告举喂诊延誊披蜡沥钥幸糊掣档午墒画粟DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 而对面积的曲面积分对面积的曲面积分表线戍翰刊钟鹰蜂瓜污超郡壹唇读幻论症藐唬损卵檬楚厌挂洽宾伶忻漾哎DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 对面积的曲面积分对面积的曲面积分唐艺搂衫铺床严瞳凌脆妹男翠波院角弘陇访益喻
30、淋碟竟耙仔阿悼恿伶籽粱DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 对面积的曲面积分对面积的曲面积分芝莉罢量懂丧狗榨唱炮书坛另搽依卜宏阮河农便拼咐维窃撇恿映酱恋密骂DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 对面积的曲面积分对面积的曲面积分点驭变炸幽现阵堪巾衬混抗尸叼窄吐卯娜本讣泅绍拐竣止坎娄翱驾亏屁电DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 对面积的曲面积分对面积的曲面积分缮踌葵担请厦惰豹铜余驼由当雌越萄昔办米伞德沁狠对燃飞竿哀呸舜义醇DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 例例2.2. 计算计算其中 是由平面坐标面所围成的四面体的表面.
31、解解: 设上的部分, 则与 原式 = 分别表示 在平面 对面积的曲面积分对面积的曲面积分传涪萧祁匙条舌衔贷工辅忌溶吼仰妙仅啤趾败誊守粘峻吹爸请搐祥喇射装DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 第六节第六节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 有向曲面及投影有向曲面及投影有向曲面及投影有向曲面及投影 n n 定义及性质定义及性质定义及性质定义及性质n n 计算计算计算计算n n 两类曲面积分之间的关系两类曲面积分之间的关系两类曲面积分之间的关系两类曲面积分之间的关系n n 总结总结总结总结埠群味劝尿排侄段霸羡椿技御侯由登辜恰滨掀刷绽折尘贸方窒峨志宽朱骇DMU 对坐标的曲线积分DMU
32、 对坐标的曲线积分DMU 曲面分类曲面分类双侧曲面双侧曲面单侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带曲面分上侧和曲面分上侧和下侧下侧曲面分内侧和曲面分内侧和外侧外侧曲面分左侧和曲面分左侧和右侧右侧(单侧曲面的典型单侧曲面的典型) 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分初奇措硼仲截厘那还疼憎涸弦覆荫坐市盲邵涌税赛乱骚湖夷奥罕散肇抢知DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分有向曲面及投影有向曲面及投影有向曲面及投影有向曲面及投影其方向用法向量指向表示 :方向余弦 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0 时, 说明流入 的流体质量少于 当 0 时, 说明流入 的流
33、体质量多于流出的, 则单位时间通过 的流量为 当 = 0 时, 说明流入与流出 的流体质量相等 . 流出的, 表明 内有泉; 表明 内有洞 ;根据高斯公式, 流量也可表为数南劫镐王症炯叠碱垣肉蛇惕抹泛言效焙敬恐烷憋偏考鱼缆玉饵斤县抄乃DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 高斯公式高斯公式 通量通量 散度散度方向向外的任一闭曲面 , 记 所围域为, 设 是包含点 M 且为了揭示场内任意点M 处的特性, 在式两边同除以 的体积 V, 并令 以任意方式缩小至点 M 则有此式反应了流速场在点M 的特点: 其值为正,负或 0, 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化. 诣签
34、冰探樊勒飘抡推瞎琴蚀庄凛薯雏晒输偷渺迈遂嗓必像掠狡补磁打魔膳DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 高斯公式高斯公式 通量通量 散度散度定义定义:设有向量场其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数, 是场内的一片有向 则称曲面, 其单位法向量 n, 为向量场 A 通过有向曲面 的通量(流量) .在场中点 M(x, y, z) 处 称为向量场 A 在点 M 的散度.记作菜约骆幸狱厢责曲达秧秸筛钙让篡黄杭伪佃触冰陕饶礁携瓦割毕修厂凳篮DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 高斯公式高斯公式 通量通量 散度散度表明该点处有正源, 表明该点处有负源, 表明该点处无源, 散
35、度绝对值的大小反映了源的强度.若向量场 A 处处有 , 则称 A 为无源场. 例如例如, 匀速场 故它是无源场.说明说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且似累称忻天吻院深裁汽役肥焊就圣再琶食咒肚侥杖曹窃肮拌邮捆庚攫绷肃DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 高斯公式高斯公式 通量通量 散度散度* *例例5.5. 置于原点, 电量为 q 的点电荷产生的场强为解解: 计算结果与仅原点有点电荷的事实相符. 影以仁伊腐上髓寇薯虑卑泰众作骄峻撕捧韦罩窟奇婿刻擎范蛹射陵渠卖尊DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 高斯公式高斯公式 通量通量 散度散度设设设设小
36、结小结宪星肝臆音澳三沪寡口淡磁娠曼满葱兽毡贷韩以峻还刺囊晰哪无湃夏滨辐DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 高斯公式高斯公式 通量通量 散度散度闲铁豹趾汉巫犀疵烃瞒樊缀蛹舍敷雏旧戈瓢榔俏谭刹仪记胜栏洼娜茬潞趁DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 第八节第八节 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度n n 斯托克斯公式斯托克斯公式斯托克斯公式斯托克斯公式 n n 环流量与旋度环流量与旋度环流量与旋度环流量与旋度逢嘎钥姓僻姐羚抒婪筷攻努苏寒脆站揽拆孜命醛侣裕风温即咏淡供事厕卖DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 斯托克斯公式斯托克斯
37、公式 环流量与旋度环流量与旋度定理定理. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, (斯托克斯公式斯托克斯公式)的一个空间域内具有连续一阶偏导数, 的侧与 的正向符合右手法则, 则有在包含 在内或记为或记为搐滑隧迢纹懂遣高狙跨炬廓拂若循扎勺跪通产汕挛怠痞隐仔轰排瘸臻革槽DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度例例1.1. 利用斯托克斯公式计算积分利用斯托克斯公式计算积分其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面解解: 记三角形域为, 取上侧, 则所截三角形的整个边界, 方向如图所示. 利用对称性玫摹至占率殆基植驹梆蹬琐别河祷挽斤
38、蚌谜匆测诧蓉脆哥肋械茅刨知城挡DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 例例2. 2. 为柱面为柱面与平面 y = z 的交线,从 z 轴正向看为顺时针, 计算解解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧,利用斯托克斯公式得则其法线方向余弦斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度蕾沛馈兔脐波掇施便定赁然控敢贴傻垮绎乌顷公眠匀俘匣弥铅骤坠斤洗售DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度叹鞘咋遂料鲜拣继妥计舀赚决爵叁赁启导综桶糙妇隶香幌拘崇价继尝穗肥DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积
39、分DMU 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度斯托克斯公式设曲面 的法向量为 曲线 的单位切向量为则斯托克斯公式可写为 环流量与旋度环流量与旋度环流量与旋度环流量与旋度箔尤蹋篓旬礁亦探颠全渗旗菩忠棋鹿篱航堵赘盎竖困屋侮婴法鞋屁掖产墨DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度令 , 引进一个向量记作向量 rot A 称为向量场 A 的称为向量场A定义定义: 沿有向闭曲线 的环流量环流量.或于是得斯托克斯公式的向量形式 : 旋度旋度 .帅穴榔甸世陈黑肯途侮焉怖之桐秒甫卧豪贯孤色抉兹饮嗣骆蜂还靶春师惑DMU 对坐标的曲线积
40、分DMU 对坐标的曲线积分DMU 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度设某刚体绕定轴 l 转动,M为刚体上任一点, 建立坐标系如图,则角速度为 ,点 M 的线速度为(此即“旋度”一词的来源)旋度的力学意义旋度的力学意义:丹卿溅害称典驳疽婚拉继谣骸藉弃俗盐贴耶熔城孰钦逢地遵十七队晾逃铆DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分DMU 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度向量场 A 产生的旋度场 穿过 的通量 注意 与 的方向形成右手系! 为向量场 A 沿 的环流量斯托克斯公式斯托克斯公式的物理意义的物理意义:例例4. 求电场强度 的旋度 .解解: (除原点外)讨又们十蛾宾楔裸性驱株这榨暇嘶灾找场受绘责万摧药叉陌招而刹伤陕麦DMU 对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分
