《2022年第九章复习自测题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年第九章复习自测题（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第九章复习自测题一、填空题1. 设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，薄片上分布有面密度为( , )x y的电荷，且( ,)x y在D上连续，则该薄片上的全部电荷可用二重积分表达为：。解：( , )Dx y dxdy2. 设( ,)f x y在有界闭区域D上连续，则由积分中值定理，在D上至少存在一点( , )，使得。解：( , )( , )DDf x y dxdyfS3. 2Dd，其中22(,)|1169xyDx y；解：244. 根 据 二 重 积 分 的 几 何 意 义224Dxy dxdy；其中22:4,0,0D xyxy；解：435. 将二次积分100( , )yIdyf x y
2、dx交换积分次序，得I；解：110( , )xIdxf x y dy6. 把二次积分2222200()xxdxxydy化为极坐标系中的二次积分为；解：2cos3200d d7. 设均匀薄片（面密度为常量）占据的闭区域为( , )|0,0Dx yx ay b则xI。解：313ab8. 设L是以点23030, 0，为顶点的三角形区域的正向边界，则(24)(356)Lxydxxydy；解析：(24)(356)Lxydxxydy412Dd格林公式9. 设L为 圆 周222xya， 则22()nLxyds；解：cos: 02sinxaLya222222220()sincosnnLxydsaaad2212
3、102nnada10. 设D为平面上的一个单连通区域，函数( , ),( , )P x y Q x y在D内有一阶连续偏导数，则( , )( , )LP x y dxQ x y dy在D内与路径无关的充要条件是：在D内处处成立 . 解：( , )( , )Q x yP x yxy二、计算下列积分1.Dxyd， 其中D是由抛物线 yx与2yx 所围成的闭区域；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页解：22112002xxxxxxydydxydx2536110012261212xxxxdx2. sin,Dydy其中D是由直线
4、,12xyx yy所围成的区域；解：120sinsinyyDyyddxdyyy11200sinsinyyyxdyydyy10cos 1 cos1y3. 22,xyDed其中22( , )|1 ;Dx yxy解：22100ed d22100122edd2212001()2edd2221100011(1)22eded1 1(1)22 e1(1)e4. 计算二次积分2110xyIdye dx. 解：22111000xxxydye dxdxe dy22112001()2xxxe dxxe dx=22121001122xxe dxe=1(1)2e三、计算下列曲线积分1.(),Lxy ds其中L为连接点(
5、1,0)与(0,1)的直线段；解：:1:01Lyxx10()(1)2Lxy dsxxdx1022dx2. ,LxdyydxL为（1）圆心为原点，半径为a，按逆时针方向绕行的上半圆周；（2）从点( ,0)A a沿x轴到点(,0)Ba的直线段；解（1）cos: 0sinxaLyaLxdyydx22220(cossin)aad220a da（2）:0:Lyx aa00aLaxdyydxdx3. 222()(),yyLyxedxx ex dy其中L是从点(0,0)到点(4,0)的上半圆周24yxx . 解：1222()()yyLLyxedxx ex dy00Ddxdy222()()yyLyxedxx
6、ex dy1222()()yyLyxedxx ex dy1:0:40Lyx1222()()yyLyxedxx ex dy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页048xdx222()()8yyLyxedxx ex dy四、设平面薄片占据的闭区域D是由螺线2的一段弧(0)2与射线2所围成，它的面密度22( , )x yxy，求该薄片的质量 . （如下图）解：质量( , )Dmx y dxdy42220024mdd五、求上半球面222zaxy含在圆柱面22xyax内部的那部分曲面的面积；解：222222,zxzyxyaxyax
7、y222221()()zzaxyaxy有对称性可知：2221()()DzzSdxdyxy2222Dadxdyaxycos2220012aardrarcos222001( 2 )aar drar1cos22222200()()aaarardr1cos22222200()()aaard ar122cos2200 2() aaard2202(1sin)(2)aada六、设在xoy面内有力2( ,)()(21)F x yxyixyj构成力场. 证明：在此力场中，场力所作的功与路径无关 . 解：( , )F x y作的功2()(21)LWxy dxxydy2(21)()2xyxyxyy可知积分与路径无关
8、，即场力所作的功与路径无关 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页七、附加题1、求螺旋线cossin(02 )xatyattzbt对z轴的转动惯量，设曲线的密度为常数；解：22220( )( )( )zIx ty tz tdt2222220sincoszIatatb dt22222202zIab dtaab2、 求上半球面222zaxy介于平面,zb za之间部分的面积. 其中0ba. 解：半球此部分在xoy面上投影为：2222:Dxyab222222,zxzyxyaxyaxy222221()()zzaxyaxy221 ()()DzzSdxdyxy222Dadxdyaxy22222001abardrar22222001( 2 )2abar drar22122222200()()2abaarardr22122222200()()2abaard ar22122222200()()2abaard ar221222200 () abaard20()2()aab da ab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页
