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1、线性代数下页结束返回第第2 2章章 向量与矩阵向量与矩阵2 2 矩阵的概念与运算矩阵的概念与运算下页1 1 向量的概念与运算向量的概念与运算线性代数下页结束返回第第1 1节节 向量的概念与运算向量的概念与运算 定义定义1 n个数个数a1，a2， ，an组成的有序数组组成的有序数组(a1,a2, ,an)，称为称为n维向量，记为维向量，记为a a，其中其中ai (i=1,2,n)叫做向量的第叫做向量的第i个分量个分量. . a a(a1, a2, , an)，a1a2an. a a写成列的形式，称为写成列的形式，称为列向量，列向量，记为记为n维向量写成行的形式，称为维向量写成行的形式，称为行向量
2、行向量，记为记为下页1.1 1.1 向量的概念向量的概念线性代数下页结束返回下页 (-a1, -a2, , -an)T，为向量为向量a a的负向量，记作的负向量，记作-a .a .称向量称向量 (0, 0, , 0)T为零向量，记作为零向量，记作o . .称向量称向量如果向量如果向量a a(a1, a2, , an)T与向量与向量b b(b1, b2, , bn)T都是都是n维向量，且对应的分量都相等，则称它们相等，记作维向量，且对应的分量都相等，则称它们相等，记作a ab. b.a1a2an. a a本教材约定向量的形式为本教材约定向量的形式为列向量，列向量，即即线性代数下页结束返回向量满足
3、以下向量满足以下8条运算规律条运算规律(设设a a、b b、g g都是都是n维向量维向量，k、l为实数为实数): (1)a a b b b b a a (2)a a (b b g g )(a ab b )g g (3)a ao a a(4)a a(-a a)o(5)(kl)a aka ala a(6)k(a ab b)ka a kb b(7)(kl)a a k(la a)(8)1a aa a 1.2 1.2 向量的运算向量的运算定义定义2 2设设 , ,则则（1 1） （2 2） ,k为常数为常数.下页向量的加法向量的加法向量的数乘向量的数乘线性代数下页结束返回下页向量的减法向量的减法设设a
4、a、b b都是都是n维向量，维向量， 利用负向量可定义向量的利用负向量可定义向量的减法减法为为: : a a - b b , ,即对应分量相减即对应分量相减. .= a = a (- b b )例例1设设解：解：线性代数下页结束返回解：解：a a 2g g+(-a a) b b+(-a a) ；两边加；两边加a a 的负向量的负向量a a+(-a a) 2g g b b+(-a a) ；交换律；交换律o 2g g b b-a a；性质；性质4a a+(-a a) 2g g b b-a a；约定（减法）；约定（减法）2g g b b-a a；性质；性质3*2g g *( *(b b-a a)；数
5、乘运算；数乘运算1g g *( *(b b-a a)；恒等变换；恒等变换g g *( *(b b-a a)；性质；性质8下页例例2设设说明：说明：实际运算时，一般给出主要步骤即可，但应注意与数的运算的区别实际运算时，一般给出主要步骤即可，但应注意与数的运算的区别. .(计算结果，略计算结果，略.)线性代数下页结束返回定义定义3设设a a (a1,a2, ,an)T与与b b (b1,b2, ,bn)T是两个是两个n维维向量，则实数向量，则实数称为向量称为向量a a和和b b的内积，记为的内积，记为(a , b a , b )，或，或a aT T b b. .向量的内积向量的内积例如，设例如，设
6、a a (- -1,1,0,2)T，b b (2,0,- -1,3)T ,则则a a与与b b 的内积为的内积为(a , b a , b ) (-1)2100(-1)234 .下页线性代数下页结束返回内积的性质内积的性质设设a a，b b，g g为为Rn中的任意向量，中的任意向量，k为常数为常数.(1) (a,ba,b )(b,ab,a ) ；(2)(ka,ba,b ) k(a,ba,b ) ；(3)(a+b,ga+b,g ) (a,ga,g ) (b, b, g g ) ；(4) (a,aa,a ) 0，当且仅当，当且仅当a a o时，有时，有(a,aa,a ) 0.下页线性代数下页结束返回
7、向量的长度向量的长度定义定义4对于向量对于向量a a (a1,a2, ,an)T，其长度，其长度(或或模模)为为例如，向量例如，向量a a (- -3,4)T的长度为的长度为向量长度的性质（了解）向量长度的性质（了解）(1)|a a | 0，当且仅当，当且仅当a a o时，有时，有|a a | 0；(2)|ka a | |k| |a a |(k为实数为实数)；(3)三角不等式三角不等式:|a a b b |a a|b b|；(4)对任意向量对任意向量a a，b b，有，有|(a ,b a ,b ) )| |a a | |b b |. .下页线性代数下页结束返回 长度为1的向量称为单位向量单位向
8、量. 向量的单位化（标准化）向量的单位化（标准化）下页线性代数下页结束返回例例4n维单位向量组维单位向量组e e1，e e2， ，e en，是两两，是两两正交的：正交的：(e ei ,e ej ) 0(i j). .例例3零向量与任意向量的内积为零，因此零向量零向量与任意向量的内积为零，因此零向量与任意向量正交与任意向量正交. .正交向量组正交向量组定义定义5如果向量如果向量a a与与b b为非为非零向量，它们的夹角零向量，它们的夹角定义为：定义为：若若(a a ,b b )0，则称向量，则称向量a a与与b b互相正交互相正交(垂直垂直),. .下页线性代数下页结束返回定义定义6如果如果m个
9、非零向量组个非零向量组a a1，a a2， ，a am两两正交，两两正交，即即 (a ai ,a aj ) 0(i j)，则称该向量组为，则称该向量组为正交向量组正交向量组. .如果正交向量组如果正交向量组a a1，a a2， ，a am的每一个向量都是单的每一个向量都是单位向量，则称该向量组为位向量，则称该向量组为标准正交向量组标准正交向量组. .下页第第2 2节节 矩阵的概念与运算矩阵的概念与运算2.1 2.1 矩阵的概念矩阵的概念线性代数下页结束返回 先看下面的两个先看下面的两个同解同解方程组方程组(1)和和(2)：2.1.0 2.1.0 问题的提出问题的提出下页显然方程组显然方程组(2
10、)比比(1)简洁简洁,求解容易求解容易,那么那么,怎样完成由怎样完成由(1)到到(2)的变化呢？的变化呢？(1)(2)方程组方程组(1)行最简形矩阵行最简形矩阵方程组方程组(2)初等行变换初等行变换矩阵矩阵线性代数下页结束返回 在某些问题中，存在若干个具有相同长度的有序数组在某些问题中，存在若干个具有相同长度的有序数组. .比如线性方程比如线性方程组的每个方程对应一个有序数组：组的每个方程对应一个有序数组：a11x1 + a12x2 + + a1nxn =b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn =b2am1x1+ am2x2 + + amnxn =bm (a11 a12 a1n b
11、1) (a21 a22 a2n b2)(am1 am2 amn bm)这些有序数组可以构成一个表这些有序数组可以构成一个表a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2n b2am1 am2 amn bm这个表就称为矩阵这个表就称为矩阵. .2.1.1 2.1.1 矩阵的概念矩阵的概念下页线性代数下页结束返回其中其中aij 称为矩阵的第称为矩阵的第i 行第行第j 列的元素列的元素. .一般情况下，我们用大写字母一般情况下，我们用大写字母A，B，C 等表示矩阵等表示矩阵. .m n矩阵矩阵A简记为简记为A (aij)m n或记作或记作Am n . .a11 a12 a1n a21 a22 a
12、2n am1 am2 amn定定义义1由由m n 个个数数aij(i 1,2, ,m；j 1,2, ,n)排排成成一一个个m 行行n 列列的矩形表称为一个的矩形表称为一个m n 矩阵，记作矩阵，记作下页线性代数下页结束返回零矩阵零矩阵 所有元素均为所有元素均为0 0的矩阵称为零矩阵，记为的矩阵称为零矩阵，记为O. .行矩阵与列矩阵行矩阵与列矩阵 只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵. .常用小常用小写黑体字母写黑体字母a，b，x，y 等表示等表示. .例如例如a(a1 a 2 an)， b1b2bm b .负矩阵负矩阵-a11 -
13、a12 -a1n -a21 -a22 -a2n -am1 -am2 -amn称矩阵称矩阵为为A的负矩阵的负矩阵, ,记作记作 A. .下页线性代数下页结束返回b11b21 bn10b22bn2 00bnnB.A.a11 a12 a1n 0 a22 a2n 0 0 ann 如下形式的如下形式的n阶矩阵称为阶矩阵称为上三角形矩阵上三角形矩阵. .三角形矩阵三角形矩阵 如下形式的如下形式的n阶矩阵称阶矩阵称为下三角形矩阵为下三角形矩阵. .方阵方阵 若矩阵若矩阵A 的行数与列数都等于的行数与列数都等于n，则称，则称A 为为n 阶矩阵，或称为阶矩阵，或称为n 阶方阵阶方阵. .下页线性代数下页结束返回
14、a110 00a220 00annA .对角矩阵对角矩阵 如下形式的如下形式的n阶矩阵称为对角矩阵阶矩阵称为对角矩阵. . 对角矩阵可简单地记为Adiag(a11, a22, , ann) . 单位矩阵单位矩阵 如下形式的如下形式的n阶矩阵称为单位矩阵，记为阶矩阵称为单位矩阵，记为En或或E. .10 0010 001E .定定义义2 矩矩阵阵相相等等：设设A (aij)，B (bij)为为同同阶阶矩矩阵阵，如如果果aij bij(i 1,2, ,m；j 1,2, ,n)，则称矩阵，则称矩阵A与矩阵与矩阵B相等，记作相等，记作A B . .下页线性代数下页结束返回2.2 2.2 矩阵的运算矩阵
15、的运算 定义定义1设设A与与B为两个为两个m n矩阵矩阵ABa11b11 a12b12 a1nb1n a21b21 a22b22 a2nb2n am1bm1 am2bm2 amnbmn. .a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amnA，b11 b12 b1n b21 b22 b2n bm1 bm2 bmnB， A与与B对应位置元素相加得到的对应位置元素相加得到的m n矩阵称为矩阵矩阵称为矩阵A与与B的和，的和，记为记为A B. .即即C=A+B . .下页2.2.1 2.2.1 矩阵的加法矩阵的加法 线性代数下页结束返回 例例1设3 5 7 22 0 4 30 1
16、2 3A ，1 3 2 02 1 5 70 6 4 8B ，则3 5 7 22 0 4 30 1 2 3AB1 3 2 02 1 5 70 6 4 8+3+1 5+3 7+2 2+02+2 0+1 4+5 3+70+0 1+6 2+4 3+84 8 9 24 1 9 100 7 6 11.矩矩 阵阵 的的 加加 法法 ： 设 A(aij)mn与 B(bij)mn， 则 AB (aijbij)mn。下页线性代数下页结束返回 设设A,B,C都都是是m n矩矩阵阵.容容易易证证明明，矩矩阵阵的的加加法法满满足足如如下下运算规律运算规律： （1）交换律：）交换律：A+B=B+A;（2）结合律：）结合律
17、：(A+B)+C=A+(B+C); （3）A+O=A，其中，其中O是与是与A同型的零矩阵同型的零矩阵; 矩阵的矩阵的减法减法可定义为可定义为: : 显然：若显然：若A=B，则，则A+C=B+C，A-C=B-C；若若A+C=B+C，则，则A=B.（4）A+(-A)=O，其中，其中O是与是与A同型的零矩阵同型的零矩阵. 下页线性代数下页结束返回a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amnA， 定义定义2设设A (aij)为为m n矩阵矩阵则则以以数数k乘乘矩矩阵阵A的的每每一一个个元元素素所所得得到到的的m n矩矩阵阵称称为为数数k与与矩矩阵阵A的积，记为的积，记为kA.
18、 .即即ka11 ka12 ka1n ka21 ka22 ka2n kam1 kam2 kamnkA. .2.2.2 2.2.2 数与矩阵的数法数与矩阵的数法下页线性代数下页结束返回矩阵的数乘矩阵的数乘：设A(aij)mn ，则kA=(kaij)mn . . 例例2设3 5 7 22 0 4 30 1 2 3A ，则3A3 5 7 22 0 4 30 1 2 3 333 35 37 3232 30 34 3330 31 32 33 9 15 21 66 0 12 90 3 6 9 . .下页线性代数下页结束返回(5) k(AB)kAkB；(6) (kl)AkAlA ；(7) (kl)Ak(lA
19、)；(8) 1AA . . 设设A，B，C，O都是都是m n矩阵，矩阵，k，l为常数，则为常数，则矩阵数乘的性质矩阵数乘的性质性质性质(1)-(8)，称为矩阵线性运算的，称为矩阵线性运算的8条性质，须熟记条性质，须熟记. .下页线性代数下页结束返回 例例3设3 5 7 22 0 4 30 1 2 3A ，1 3 2 02 1 5 70 6 4 8B ，求3A-2B . . 解：解：3A-2B 3 5 7 22 0 4 30 1 2 3 31 3 2 02 1 5 70 6 4 8-22 6 4 04 2 10 140 12 8 16-9 15 21 66 0 12 90 3 6 9 . .7
20、9 17 62 -2 2 -50 -9 -2 -79-2 15-6 21-4 6-06-4 0-2 12-10 9-140-0 3-12 6-8 9-16 下页线性代数下页结束返回 例例4已知3 5 7 22 0 4 30 1 2 3A ，1 3 2 02 1 5 70 6 4 8B ，且且A 2X B，求求X . 解：解：A 2X+(-A) B+(-A) ；两边加；两边加A 的负矩阵的负矩阵A+(-A) 2X B+(-A) ；交换律；交换律O 2X B-A；性质；性质4A+(-A) 2X B-A；约定（减法）；约定（减法）2X B-A；性质；性质3*2X *( *(B-A)；数乘运算；数乘运
21、算1X *( *(B-A)；恒等变换；恒等变换X *( *(B-A)；性质；性质8下页线性代数下页结束返回从而得从而得X * *(B-A) 例例4已知3 5 7 22 0 4 30 1 2 3A ，1 3 2 02 1 5 70 6 4 8B ，且且A 2X B，求求X .说明：说明：实际运算时，一般给出主要步骤即可，但应注意与数的运算的区别实际运算时，一般给出主要步骤即可，但应注意与数的运算的区别.解：解：下页线性代数下页结束返回 定义定义3设设A是一个是一个m s矩阵，矩阵，B是一个是一个s n矩阵：矩阵：构成的构成的m n矩阵矩阵C 称为矩阵称为矩阵A 与矩阵与矩阵B 的积，记为的积，记
22、为C AB . . 则由元素则由元素 cij ai1b1j ai2b2j aisbsj (i 1,2, ,m；j 1,2, ,n)a11 a12 a1s a21 a22 a2s am1 am2 amsA，b11 b12 b1n b21 b22 b2n bs1 bs2 bsnB，c11 c12 c1n c21 c22 c2n cm1 cm2 cmnAB. .即即2.2.3 2.2.3 矩阵的乘法矩阵的乘法 下页线性代数下页结束返回 cijai1b1jai2b2j aisbsj (i1, 2, , m；j1, 2, , n) . . a11 a12 a1s a21 a22 a2s am1 am2
23、amsb11 b12 b1n b21 b22 b2n bs1 bs2 bsnc11 c12 c1n c21 c22 c2n cm1 cm2 cmn ai1b1jai2b2j aisbsj . .(ai1 ai2 ais )b1jb2jbsj 注：注：A的列数等于的列数等于B的行数，的行数，AB才有意义才有意义;C的行数等于的行数等于A的行数，列数等于的行数，列数等于B的列数的列数. 因此，因此，cij可表示为可表示为A 的第的第i 行与行与B 的第的第 j 列的乘积列的乘积. .矩阵的乘法矩阵的乘法cij下页线性代数下页结束返回下页 ai1b1jai2b2j aisbsj . .(ai1 ai
24、2 ais )b1jb2jbsj 注：注：A的列数等于的列数等于B的行数，的行数，AB才有意义才有意义;C的行数等于的行数等于A的行数，列数等于的行数，列数等于B的列数的列数. 因此，因此，cij可表示为可表示为A 的第的第i 行与行与B 的第的第 j 列的乘积列的乘积. .cij反例反例设设B = . . 1 -2 -32 -1 0A ，0 10 -11 21 51 -2 -32 -1 0则则AB 0 10 -11 21 5 无意义无意义. .线性代数下页结束返回B = ，求求AB及BA . . A ， 例例5设设2 31 -23 11 -2 -32 -1 0解：解：2 31 -23 11
25、-2 -32 -1 0AB -6-78（1）先行后列法）先行后列法线性代数下页结束返回B = ，求求AB及BA . . A ， 例例5设设2 31 -23 11 -2 -32 -1 0解：解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB -6-78-30-3（1）先行后列法）先行后列法线性代数下页结束返回B = ，求求AB及BA . . A ， 例例5设设2 31 -23 11 -2 -32 -1 0解：解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB -6-78-30-9-7-35（1）先行后列法）先行后列法下页线性代数下页结束返回B = ，求求AB及BA . . A ， 例例5
26、设设2 31 -23 11 -2 -32 -1 0解：解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB 5-38（2）先列后行法）先列后行法线性代数下页结束返回B = ，求求AB及BA . . A ， 例例5设设2 31 -23 11 -2 -32 -1 0解：解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB 5-38 -70-7（2）先列后行法）先列后行法线性代数下页结束返回B = ，求求AB及BA . . A ， 例例5设设2 31 -23 11 -2 -32 -1 0解：解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB 5-38 -70-7-6-9-3（2）先列后行法）
27、先列后行法线性代数下页结束返回B = ，求求AB及BA . . A ， 例例5设设2 31 -23 11 -2 -32 -1 02 31 -23 11 -2 -32 -1 0BA 4-983解：解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB -6-78-30-9-7-35；通常采用：先行后列法通常采用：先行后列法下页线性代数下页结束返回 例例6设设A ，4-2-21B ，求求AB及BA . . 4 2-6-3AB4-2-214 2-6-3解：解：-32 -16168BA4-2-214 2-6-30 000B = ，求求AB及BA . . A ， 例例5设设2 31 -23 11 -2
28、-32 -1 0解：解：AB -6-78-30-9-7-35, BA 4-983. .下页线性代数下页结束返回 例例6设设A ，4-2-21B ，求求AB及BA . . 4 2-6-3AB解：解：-32 -16168，BA0 000B = ，求求AB及BA . . A ， 例例5设设2 31 -23 11 -2 -32 -1 0解：解：AB -6-78-30-9-7-35, BA 4-983. .显然，显然，1)1)矩阵乘法一般不满足交换律，即矩阵乘法一般不满足交换律，即AB BA ; ; 2) 2)两个非零矩阵相乘，乘积可能是零矩阵，两个非零矩阵相乘，乘积可能是零矩阵， 但不能从但不能从AB
29、=O，推出，推出A=O或或B=O . .下页线性代数下页结束返回1110 例例7设设A ，B ，求求AB及BA . . 2110解：解：11102110AB311021101110BA3110 显然显然AB=BA . . 如果两矩阵如果两矩阵A与与B相乘，有相乘，有AB=BA，则称矩阵，则称矩阵A与矩阵与矩阵B可交换可交换. .问题问题：与与A可交换的可交换的B怎么得到？怎么得到？下页线性代数下页结束返回显然显然AC=BC，但，但A B .矩阵乘法不满足消去律矩阵乘法不满足消去律.下页 例例8设设线性代数下页结束返回例例1010. .1 0 00 0 00 0 1设设A =则则AA =1 0
30、00 0 00 0 11 0 00 0 00 0 11 0 00 0 00 0 1=A .显然显然AA=A，但但A E，A O. .例例9对于任意矩阵对于任意矩阵A及相应的矩阵及相应的矩阵O，E，有有AO=O， OA=O；AE=E， EA=A，EE=E. .下页线性代数下页结束返回a11x1a12x2 a1nxn b1a21x1a22x2 a2nxn b2am1x1am2x2 amnxnbm x1x2xn a11 a12 a1n a21 a22 a2nam1 am2 amnb1b2bm 例例11. . 线性方程组的矩阵表示（线性方程组的矩阵表示（矩阵方程矩阵方程）简记为：简记为：AX=B. .
31、x1x2xn a11 a12 a1n a21 a22 a2nam1 am2 amnb1b2bm 其中，其中，A=，X=，B=下页线性代数下页结束返回应注意的问题应注意的问题 (1)AB BA； (3)AB OA O或或B O ； / (2)AC BCA B； / 矩阵乘法的性质矩阵乘法的性质2.2.4 2.2.4 方阵的幂方阵的幂 对于方阵对于方阵A及自然数及自然数kAk A A A (k个个A相乘相乘)，称为方阵称为方阵A的的k次幂次幂. .方阵的幂有下列性质：方阵的幂有下列性质：(1)ArAs Ar s；(2) (Ar)s Ars . . (4)AA AA E或或A O . . / (1)
32、(AB)C A(BC)；(2)(A B)C AC BC；(3)C(A B) CA CB；(4)k(AB) (kA)B A(kB). .问题：问题：(A+B)2=?下页线性代数下页结束返回 定义定义4将将m n矩阵矩阵A的行与列互换，得到的的行与列互换，得到的n m矩阵，称矩阵，称为矩阵为矩阵A的转置矩阵，记为的转置矩阵，记为AT或或A 。即如果。即如果a11a21am1 a12a22am2 a1na2namn A ，a11a12a1n a21a22a2n am1am2amn AT 则. . 例如，设例如，设x (x1x2 xn)，y (y1y2 yn)，则，则(y1 y2 yn )xTyx1x
33、2xn x1y1x2y1xny1 x1y2x2y2xny2 x1ynx2ynxnyn . .2.2.5 2.2.5 转置矩阵及对称方阵转置矩阵及对称方阵显然显然，ETE. .下页线性代数下页结束返回转置矩阵有下列性质转置矩阵有下列性质(1)(AT)T A；(2)(A B)T AT BT；(3)(kA)T kAT；a11a21am1 a12a22am2 a1na2namn A ，a11a12a1n a21a22a2n am1am2amn AT 则. . 定定义义4将将m n矩矩阵阵A的的行行与与列列互互换换，得得到到的的n m矩矩阵阵，称称为矩阵为矩阵A的转置矩阵，记为的转置矩阵，记为AT或或A
34、 .即如果即如果 (4)(AB)T BTAT. .下页线性代数下页结束返回 定义定义5设设A为为n阶方阵，若阶方阵，若AT=A，则称，则称A为对称矩阵，如为对称矩阵，如果果AT=-A，则称，则称A为反对称矩阵为反对称矩阵.分别是三阶对称矩阵和三阶反对称矩阵分别是三阶对称矩阵和三阶反对称矩阵. .显然：显然：A为对称矩阵的充分必要条件是为对称矩阵的充分必要条件是aij=aji ;A为反对称矩阵的充分必要条件是为反对称矩阵的充分必要条件是aij=-aji .如：如：下页线性代数下页结束返回定义定义6 设设A是是n阶方阵，由阶方阵，由A的元素构成的的元素构成的n阶行列式阶行列式称为方阵称为方阵A的行
35、列式，记为的行列式，记为|A|或或detA. .性质：性质：设设A、B为为n阶方阵，阶方阵，k为数，则为数，则(1)|A|=|AT|;(3)|AB|=|A|B| .(2)|kA|=kn|A|;2.2.6 2.2.6 方阵的行列式方阵的行列式显然，显然， | |E|=1 |=1 . .一般地，若一般地，若A1,A2,Ak都是都是n阶方阵，则阶方阵，则 显然显然下页线性代数下页结束返回例例11设设 求求解解:因为因为由公式由公式 则则若先求得若先求得 同样同样下页线性代数下页结束返回例例12设设 A，B均为四阶方阵，且均为四阶方阵，且 . . 计算计算.解解由方阵的行列式的运算规律，由方阵的行列式的运算规律，下页线性代数下页结束返回练习练习2设设 A,B都是都是2阶方阵阶方阵，且且A=2，B=-3=-3E， 则则|ATB|=(). . 练习练习1设设 A是是3阶方阵阶方阵，且且A=2，则则A2=()|2A|=(),|A|=(). . 4-16218练习练习下页线性代数下页结束返回作业： 75-76页页123（1） 4（1）（）（5）5结束
