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1、恒成立问题恒成立问题常见类型及解法常见类型及解法2021/6/1615 5、不等式恒成立问题不等式恒成立问题 高高考考命命题题中中，不不等等式式恒恒成成立立问问题题往往往往结结合合函函数数与与导导数数同同题题考考查查，单单独独考考查查的的较较少少，结结合合函函数数与与导导数数的的题题目目难难度度大大、分值高，要引起我们的足够重视。分值高，要引起我们的足够重视。6 6、不等式与其他知识的结合不等式与其他知识的结合细解命题特点细解命题特点2021/6/162转化思想转化思想解答不等式恒成立问题解答不等式恒成立问题 求解不等式恒成立问题的常用方法：求解不等式恒成立问题的常用方法： (1) (1)分离
2、参数法：通过分离参数，转化为不含参数的函数分离参数法：通过分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题求解的最值问题求解. . (2) (2)函数思想：转化为求含参数的函数的最值问题求解函数思想：转化为求含参数的函数的最值问题求解. . (3) (3)数形结合思想：转化为两熟悉函数图象间的上下关系数形结合思想：转化为两熟悉函数图象间的上下关系求解求解. .2021/6/163 解答过程中应注意的问题：解答过程中应注意的问题： (1) (1)分离参数时应注意系数符号对不等号的影响分离参数时应注意系数符号对不等号的影响. . (2) (2)应用函数方法求解时，所使用的函数一般为二次函数应用函数方法求解
3、时，所使用的函数一般为二次函数. . (3) (3)应用数形结合法求解时，应注意图象最高点或最低点应用数形结合法求解时，应注意图象最高点或最低点处函数值的大小关系处函数值的大小关系. .2021/6/164 在高三复在高三复习习中中经经常遇到不等式恒成立常遇到不等式恒成立问题问题。这类问这类问题题求解的基本思路是：根据已知条件将恒成立求解的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题问题向基向基本本类类型型转转化，正确化，正确选选用函数法、最小用函数法、最小值值法、数形法、数形结结合法合法等解等解题题方法求解。解方法求解。解题过题过程本身程本身渗透着换元、化归、数渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程
4、等思想方法，另外不等式恒成立问形结合、函数与方程等思想方法，另外不等式恒成立问题大多要利用到一次函数、二次函数的图象和性质。题大多要利用到一次函数、二次函数的图象和性质。2021/6/165 恒成立恒成立问题问题在解在解题过题过程中大致可分程中大致可分为为以下几种以下几种类类型：型：（1 1）一次函数型；）一次函数型；（2 2）二次函数型；）二次函数型；（3 3）变变量分离型；量分离型；（4 4）利用函数的性）利用函数的性质质求解；求解；（5 5）直接根据函数的）直接根据函数的图图象求解；象求解；（6 6）反）反证证法求解。法求解。下面分下面分别举别举例示之。例示之。2021/6/166一、一
5、次函数型一、一次函数型2021/6/167典例导悟2021/6/168二、二次函数型二、二次函数型2021/6/169典例导悟2021/6/16102021/6/1611三、变量分离型三、变量分离型【理论阐释】【理论阐释】 若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。2021/6/161
6、2典例导悟2021/6/16132021/6/1614【理【理论阐释论阐释】 若函数若函数f(x)f(x)是奇是奇( (偶偶) )函数，函数，则对则对一切定一切定义义域中的域中的x,f(-x)= x,f(-x)= f(x)f(x)，(f(-x)=f(x)(f(-x)=f(x)恒成立；若函数恒成立；若函数y=f(x)y=f(x)的周期的周期为为T T，则对则对一切定一切定义义域中的域中的x,x,有有f(x)=f(x+T)f(x)=f(x+T)恒成立；若函数恒成立；若函数图图象平移前后象平移前后互相重合，互相重合，则则函数解析式相等。函数解析式相等。四、利用函数的性质解决恒成立问题四、利用函数的性
7、质解决恒成立问题2021/6/1615典例导悟2021/6/16162021/6/1617五、五、 把不等式恒成立问题转化为函数图象问题把不等式恒成立问题转化为函数图象问题【理论阐释】【理论阐释】 若把不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出不等若把不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出不等号两边对应函数的图象，这样就把一个很难解决的不等式的号两边对应函数的图象，这样就把一个很难解决的不等式的问题转化为利用函数图象解决的问题，然后从图象中寻找条问题转化为利用函数图象解决的问题，然后从图象中寻找条件，就能解决问题。件，就能解决问题。2021/6/1618典例导悟2021/6/16192021/
8、6/16202021/6/1621六、采用逆向思维，考虑使用反证法六、采用逆向思维，考虑使用反证法【理论阐释】【理论阐释】 恒成立问题有时候从正面很难入手，这时如果考虑恒成立问题有时候从正面很难入手，这时如果考虑问题的反面，有时会有问题的反面，有时会有“柳暗花明又一村柳暗花明又一村”的效果，所谓的效果，所谓“正难则反正难则反”就是这个道理。就是这个道理。2021/6/1622典例导悟2021/6/16232021/6/1624【典例】设函数【典例】设函数 对任意对任意xx1,+),1,+),f(mx)+mf(x)f(mx)+mf(x)0 0恒成立，则实数恒成立，则实数m m的取值范围是的取值范
9、围是_._.【解题指导】【解题指导】转化为具体不等式后，再通分转化为整式不等转化为具体不等式后，再通分转化为整式不等式，最后分类讨论式，最后分类讨论. .【规范解答】【规范解答】 x x1,+),1,+),f(mx)+mf(x)f(mx)+mf(x)0,0, 即即mxmx2m2m2 2x x2 2-(1+m-(1+m2 2) )0.0.2021/6/1625由由f(mx)+mf(x)f(mx)+mf(x)0 0在在xx1,+)1,+)上恒成立知，上恒成立知，mxmx2m2m2 2x x2 2-(1+m-(1+m2 2) )0 0在在xx1,+)1,+)上恒成立上恒成立, ,m0.m0.当当m
10、m0 0时，只要时，只要2m2m2 2x x2 2-(1+m-(1+m2 2) )0 0恒成立即可恒成立即可, ,即即xx1,+),1,+), 2021/6/1626mm2 21,m1,m-1.-1.当当m m0 0时，只要时，只要2m2m2 2x x2 2-(1+m-(1+m2 2) )0 0恒成立即可恒成立即可, ,即即 x x1,+),1,+), 不恒成立不恒成立. .综上，实数综上，实数m m的取值范围为的取值范围为(-,-1).(-,-1).答案：答案：(-,-1)(-,-1)2021/6/16277 7（20102010山山东东高考）若高考）若对对任意任意x x0, 0, 恒成立，
11、恒成立，则则a a的取的取值值范范围围是是_【解题提示】【解题提示】将恒成立问题转化为最值问题将恒成立问题转化为最值问题. .【解析】【解析】因为因为x x0 0 ，所以，所以 （当且仅当（当且仅当x=1x=1时取等时取等号），所以有号），所以有 即即 的最大值为的最大值为 故故aa答案答案: : ) )2021/6/1628 【方法技巧】【方法技巧】不等式恒成立问题的解题方法不等式恒成立问题的解题方法1.1.不等式的恒成立问题与函数最值有密切的关系，解决不等不等式的恒成立问题与函数最值有密切的关系，解决不等式恒成立问题，通常先分离参数，再转化为最值问题来解：式恒成立问题，通常先分离参数，再转
12、化为最值问题来解：cf(x)cf(x)恒成立恒成立 cf(x)cf(x)maxmax; ;cf(x)cf(x)恒成立恒成立 cf(x)cf(x)minmin. .2.2.高次函数或非基本初等函数的最值问题，通常采用导数法高次函数或非基本初等函数的最值问题，通常采用导数法解决解决. .2021/6/1629【例【例3 3】设函数】设函数f(x)=axf(x)=ax2 2-2x+2,-2x+2,对于满足对于满足1 1x x4 4的一切的一切x x值都有值都有f(x)f(x)0,0,求实数求实数a a的取值范围的取值范围. .【解题指南】【解题指南】解答本题可以有两条途径：解答本题可以有两条途径：(
13、1)(1)分分a a0,a0,a0,a=00,a=0三种情况三种情况, ,求出求出f(x)f(x)在在(1,4)(1,4)上的最小值上的最小值f(x)f(x)minmin, ,再令再令f(x)f(x)minmin0,0,从而求出从而求出a a的取值范围；的取值范围；(2)(2)将参数将参数a a分离得分离得 然后求然后求 的最大的最大值即可值即可. .2021/6/1630【规范解答】【规范解答】方法一：当方法一：当a a0 0时时, ,由由f(x)f(x)0,x(1,4)0,x(1,4)得：得： 或或 或或 或或 或或2021/6/1631当当a a0 0时时, , 解得解得a;a;当当a=
14、0a=0时时,f(x)=-2x+2,f(1)=0,f(4)=-6,f(x)=-2x+2,f(1)=0,f(4)=-6,不合题意不合题意. .综上可得综上可得, ,实数实数a a的取值范围是的取值范围是方法二：由方法二：由f(x)f(x)0,0,即即axax2 2-2x+2-2x+20,x(1,4),0,x(1,4),得得在在(1,4)(1,4)上恒成立上恒成立. .令令g(x)g(x)maxmax=g(2)= ,=g(2)= ,所以要使所以要使f(x)f(x)0 0在在(1,4)(1,4)上恒成立上恒成立, ,只要只要a a 即可即可. .2021/6/1632【反思【反思感悟】感悟】1.1.
15、一元二次不等式问题及一元二次方程解的确一元二次不等式问题及一元二次方程解的确定与应用问题常转化为二次函数图象和性质的应用问题求解，定与应用问题常转化为二次函数图象和性质的应用问题求解，但要注意讨论但要注意讨论. .2.2.关于不等式的恒成立问题关于不等式的恒成立问题, ,能用分离参数法，尽量用能用分离参数法，尽量用. .因为该因为该法可以避开频繁地对参数的讨论法可以避开频繁地对参数的讨论. .2021/6/16334.(20104.(2010新课标全国卷新课标全国卷) )设函数设函数f(x)=ef(x)=ex x-1-x-ax-1-x-ax2 2. .(1)(1)若若a=0a=0，求，求f(x
16、)f(x)的单调区间；的单调区间；(2)(2)若当若当x0x0时时f(x)0f(x)0，求，求a a的取值范围的取值范围【解题提示】【解题提示】在第在第(1)(1)问中先把问中先把a=0a=0代入，然后通过求导判断代入，然后通过求导判断导数正负求得单调区间，解决第导数正负求得单调区间，解决第(2)(2)问的关键是从当问的关键是从当x0x0时时f(x)0f(x)0入手，结合函数的解析式联合求解，通过判断导数的入手，结合函数的解析式联合求解，通过判断导数的正负找到分界点进行讨论正负找到分界点进行讨论. .2021/6/1634【解析】【解析】(1)a=0(1)a=0时，时，f(x)=ef(x)=e
17、x x-1-x-1-x，f(x)=ef(x)=ex x-1.-1.当当xx(-,0)(-,0)时，时，f(x)f(x)0 0；当；当x(0,+)x(0,+)时，时，f(x)f(x)0.0.故故f(x)f(x)在在(-,0)(-,0)单调减少，在单调减少，在(0,+)(0,+)单调增加单调增加. .(2)f(x)=e(2)f(x)=ex x-1-2ax-1-2ax，由，由(1)(1)知知e ex x1+x1+x，当且仅当，当且仅当x=0x=0时等号时等号成立成立. .故故f(x)x-2ax=(1-2a)x,f(x)x-2ax=(1-2a)x,从而当从而当1-2a01-2a0，即，即a a 时，时
18、，f(x)0(x0)f(x)0(x0)，而而f(0)=0f(0)=0，于是当，于是当x0x0时，时，f(x)0.f(x)0.由由e ex x1+x(x0)1+x(x0)可得可得e e-x-x1-x(x0).1-x(x0).2021/6/1635从而当从而当a a 时，时，f(x)f(x)e ex x-1+2a(e-1+2a(e-x-x-1)=e-1)=e-x-x(e(ex x-1)(e-1)(ex x-2a),-2a),故当故当x(0,ln2a)x(0,ln2a)时，时，f(x)f(x)0 0，而，而f(0)=0f(0)=0，于是当于是当x(0,ln2a)x(0,ln2a)时，时，f(x)f(x)0.0.综合得综合得a a的取值范围为的取值范围为(-, (-, . .2021/6/16362021/6/1637 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！
