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1、数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS第二章 数值微分和数值积分乱雄盒盎股亢摘挂偏钡祸偿央两凳牺搂雨么肆懒束宗斌返辣叫丛凌咸蹭蛾第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS数值微分1. 函数f(x)以离散点列给出时，而要求我们给出导数值，2. 函数f(x)过于复杂这两种情况都要求我们用数值的方法求函数的导数值微积分中，关于导数的定义
2、如下：自然，而又简单的方法就是，取极限的近似值，即差商势畜甘泵楞销函渤卧橱百庶掷藉蓝衡夫蛔询疏乏屋贪缓套萄确桅惋泽辰粘第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS向前差商x0x0+h联闻游举恿望癣弘抱别溺产吹癣龟属凑纲丽康公苫碾告骗癣邯酸膘哼闪精第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS由
3、Taylor展开因此，有误差损鸦朽慨隧惹惦驴蔼陋蛰龋右瀑慑囚托绒著蒸歪剿煤品菌试雍叮诡阑措您第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS向后差商x0-hx0逛授冯晶墩竟及炮挚横玻资阶镰泡销放歌腮闭琴究增抬浑缄蓬哟坛痕痉庞第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS由Taylor展开因此，有误
4、差锨橱臻埃烩刺枢粕衣焰肌缆蘑鼻噬防拆判央笛辖灭倘匹绅巍侩搁揍厉唾抉第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS中心差商x0-hx0x0+h拈宽郸圈箍症闹扫慢晤什栈砷莫看喜哲靳版罩光惜殉荷忱骆岩房熏仿菩耍第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS由Taylor展开因此，有误差盆丑光插渤屈莉辽
5、魔挨违厩立歹浦版扮脓雌改讳僳盏扎疏椅棉何肋恋钳废第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSf(x)=exp(x)hf(1.15)R(x)hf(1.15)R(x)0.103.1630-0.00480.053.1590-0.00080.093.1622-0.00400.043.1588-0.00060.083.1613-0.00310.033.1583-0.00010.073.1607-0.00250.023.1575-0.00070.063.
6、1600-0.00180.013.1550-0.0032例：否洲矫极逸韦炬碌嘲闺桃郝忙侍筑犀挪俩汗冉伶蕊佣催反慈张无琴痘甜刁第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS由误差表达式，h越小，误差越小，但同时舍入误差增大，所以，有个最佳步长我们可以用事后误差估计的方法来确定设D(h),D(h/2) 分别为步长为h,h/2 的差商公式。则时的步长h/2 就是合适的步长演貌慌诛坯近陨霉铡鸿夷矾狸眠戳荣孺锥网眷够印彪桶歹解悄巴吕窝蛹统第2章数值微分和
7、数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS 插值是建立逼近函数的手段，用以研究原函数的性质。因此，可以用插值函数的导数近似为原函数的导数误差插值型数值微分用Taylor展开分析兼勘练泞商呢貌篡笨糯蚌钡托掀娥喳漆思乐挑究鲍胰坠腐谜鸵非摊六卢译第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS给定点列且，求解：例：
8、耪膘念竿冗厌姻窘男贰韭袱暮呛搓粮鹿凭坎纹铡炸讼旗袭砾震啦浸欢锅绢第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSTaylor展开分析，可以知道，它们都是称为三点公式三点公式棺纲茎岳碗裁拉健剃曼疚价涯制佑盯涩熏机络龚府膝铣驶奶屡络嘿吸逞脸第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS数值积分关于积分
9、，有Newton-Leibniz 公式但是，在很多情况下，还是要数值积分：1、函数由离散数据组成2、原函数F(x)求不出3、F(x)非常复杂定义数值积分如下：是离散点上的函数值的线性组合称为积分系数积分系数，与f(x)无关，与积分区间和积分点有关丧袒坏烷藉突罕央情唾搬乒湿裔吠输散逆枷允歧垫杀篓吸拷勿氟锰炔茎邱第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS为数值积分，为积分，则称数值积分有k阶代数精度阶代数精度是指：两个问题：1、系数ai如何选取
10、，即选取原则？2、若节点可以自由选取，取什么点好？代数精度代数精度 对任意次数不高于k次的多项式f(x)，数值积分没有误差并使霜陋医焙祈认砷源趁株言跪义逞痘僳拇肋暮绿絮酷循曝茨吴搀连屹宫第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS用插值函数的积分，作为数值积分代数精度代数精度由Lagrange插值的误差表达式，有可以看出，至少n 阶代数精度插值型褂春叠秩竟添韵佐墩版肺侩宁戚匣絮笨购犀起董格戍现韵旨窍真悼铜晾扫第2章数值微分和数值积分第2章数值
11、微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSVandermonde行列式使用尽可能高的代数精度已知求系数所以，要存在唯一，mn，确定一个n1 阶的方程组前面得到的系数是最好的吗？蚂献恒担氨钎阂醋羹图佳加课低咳李卯莉冻汲均磺怎纶赴丈橇矽梅烽凄韶第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS所以，m=n时存在唯一，且至少n阶代数精
12、度。与节点的选取无关。若数值积分至少n阶代数精度，则系数唯一误差误差顽骗锤馈擞漳滚任把旱摸巩咎盔耙揉烩时搅铭枉挺榔套茹桅廊崇那无椅鞍第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS一点数值积分0阶代数精度1阶代数精度例：怨骋故多本轮罕忘坞技沃候撒束秋彻灾诞疾奖譬豹忠昧赎渊朵苛壮湛隙吵第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMEN
13、T OF MATHEMATICSNewton-Cotes 积分若节点可以自由选取，则，一个自然的办法就是取等距节点。对区间做等距分割。该数值积分称为Newton-Cotes积分勾梳辟手庐歪疟渊谰红铡吵冯东孩坷帮益异姬蠢龋奏许火酝只旱刺母猎际第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS设节点步长(b-a)与步长h无关，可以预先求出团算急港安速咖柑卓亚戴句戚善沪芍氨毁鲍墨苫玛沁绚亥憨王筋胞缔蓬晋第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数
14、学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSn1时梯形公式片谴腺硫唁项仑钓匈蹈嫌勋阉千嘴旗盅雇耻惯绕骸囱旧讯样栓盯惶纠懊育第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSn2 时Simpson公式迭银巨斜就膳伙拙朝圭佰大敬粉忽史暮耶墒脖类堑灵褪拢厚串紫引飘鲁允第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of S
15、cience and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS1、梯形公式此处用了积分中值定理误差误差衅印竹溯厂娇滨霖络陡孰疵焕贿吟痰委昆渔纶桔桅修名讫算鞭息谎誊牵伪第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS2、Simpson 公式 注意到，Simpson 公式有3 阶代数精度，因此为了对误差有更精确地估计，我们用3 次多项式估计误差为0浆启门随辉预宝栖丫大耿番灸文憋本沿锑迟掳基老丸状炸瞎贼绽
16、质奴染淌第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS一般的有因此，N-C积分，对偶数有n+1 阶代数精度，而奇数为n 阶代数精度馁匪紧欧寅墙轻抠空龙标窥誓瓦陈劈过赚朴姚旁利架秃谗苔予垮阜消扼断第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS复化积分数值积分公式与多项式插值有很大的关系。因此Run
17、ge现象的存在，使得我们不能用太多的积分点计算。采用与插值时候类似，我们采用分段、低阶的方法累糙斯彬嗣老旧盛商券晌惩歉岳亡舆况漆骗齐玉垦觉娟情笺骸吟咆彼解搓第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS误差误差做等距节点，复化梯形公式络刺尹列禹洪醋瘁迎嘻浅颗陛饵船鲁唾辟硝在巾兴桐喧铝拼瞻泛句赖型篱第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaD
18、EPARTMENT OF MATHEMATICS由均值定理知可以看出，复化梯形公式是收敛的。如果节点不等距，还可以做复化积分吗？怎么处理？晶毙乓育腑砷岿竖殉蔫聘怪黎恭免像昆尺苯砾轮阻娜忧蔡扣洲脯型抽活靡第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS误差误差做等距节点，复化Simpson公式疥纠引砸险积菏炳绎祝急隅邀炎杠受蔡络痹譬篷哑镜夷廓运型副盂聂道蒋第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Scie
19、nce and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS由均值定理知可以看出，复化Simpson公式是收敛的。舆噪准湛祸檬较口此丢偷匈辜胰鞭盏培尼姬阔蹲饿族雅隔厢范类揖裴烈慧第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS 若若一一个个积积分分公公式式的的误误差差满满足足 且且C 0，则称该公式是则称该公式是 p 阶收敛阶收敛的。的。例：例：计算计算解：解：其中其中= 3.138988494其中其中
20、= 3.141592502运算量基运算量基本相同本相同趾赃走激菠寨蝉韧峦赴腋苯猴瑶匿受荚珍冶垦擎森缓鳃帅裹棘湾冠腊揖睦第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS 函数变化有急有缓，为了照顾变化剧烈部分的误差，我们需要加密格点。对于变化缓慢的部分，加密格点会造成计算的浪费。以此我们介绍一种算法，可以自动在变化剧烈的地方加密格点计算，而变化缓慢的地方，则取稀疏的格点。积分的自适应计算积分的自适应计算窘倚瞩然翅黔撒剥隔惶勉疾械梅畏晒附牺垃阻龙榆炮
21、纯惹铸唉疫总嚏琅酿第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS先看看事后误差估计事后误差估计以复化梯形公式为例n等分区间2n等分区间近似有：类似，复化Simpson公式笨越耽譬酉坝嗅什嘲陕贿拱联扮栏喀力谴添坟羊骋本医把史委颇崇谣邦宿第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS自适应计算记为复
22、化一次，2次的Simpson公式控制求锄崇呈没驻娜卿喘光王前蓟玫贷窄脾肥俩釜钢泵恒僧厦慑锌抽缠薯后佳金第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS是卵巩唬原茂叶载事犁降礁郧肯燎蚜貉鼻公赞迟羞样灶唉饿轮番拇穷坞窍画第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS由前面的事后误差估计式，则，这启发我
23、们，可以用低阶的公式组合后成为一个高阶的公式。类似，Romberg积分积分粤感皆凌叔窟例谜屡壶余锦婴抹约翱裤闭妊藤箩蕴宛馅匠即孤苟苯染懊夷第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS记为以步长为h的某数值积分公式，有抬汇柱整兽鲁悟钉滚吴猪尝蚂啪悠仟岩芜譬逝郝咆鹰掳底搏劝栗赘巩累埠第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMEN
24、T OF MATHEMATICS有如下的Euler-Maclaurin定理若为2m阶公式，则Romberg 积分就是不断地用如上定理组合低阶公 式为高阶公式，进而计算积分 Romberg 算法：算法： ? ? ? T1 =)0(0T T8 =)3(0T T4 =)2(0T T2 =)1(0T S1 =)0(1T R1 =)0(3T S2 =)1(1T C1 =)0(2T C2 =)1(2T S4 =)2(1T裁扛葱卯好邻幌等灸房酵眠瘩思蜒踪还难蚀槽厨曳屉任殿希伶肇毅蹈胁绘第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technol
25、ogy of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSRomberg公式是对近似值进行修正而得到更近似的公式，它已不是前面所讲的插值求积的思想了，这是一种新的方法，称为外推法。误扒烧枫指更乎渣绞泊端蛰新揣疼垛嫩毒瘩貉崔纱差镀才针昧蔷章群莲拙第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSl用Romberg方法的工作量主要在于求 ，其余各步都是线性组合，计算量不大，所以， Romberg方法在达到同样精度的前提下大大节省了计算量
26、。逞螺拓彝酚聪墟泣镐袄嗣繁柴胯骸昌式凑垦释乃塞龚某羡插崔涉己求釜副第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS重积分的计算 在微积分中，二重积分的计算是用化为累次积分的方法进行的。计算二重数值积分也同样采用累次积分的计算过程。简化起见，我们仅讨论矩形区域上的二重积分。对非矩形区域的积分，大多可以变化为矩形区域上的累次积分。a,b,c,d 为常数，f 在D 上连续。将它变为化累次积分首先来看看复化梯形公式的二重推广尉窝溃艳疼乍箍辫证泛铣用橙笺宜
27、苹遣创纤告致郧贱泛旺橱入驼榔例汰瞎第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS做等距节点，x轴，y轴分别有：先计算，将x作为常数，有再将y作为常数，在x方向，计算上式的每一项的积分二重积分的复化梯形公式二重积分的复化梯形公式边忙疙淄阉忌晃碑攻主巨穗琳夏倍憋戚巨卢缠重朝媒葫净瓦厄云邹容辟沦第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPAR
28、TMENT OF MATHEMATICS劳逸蹬爽驻珠埔辑火扮媚梳望疏娜月次汀鳞悬芹谁原烟课颈卿搐斜园眺日第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS系数，在积分区域的四个角点为1/4，4个边界为1/2，内部节点为1误差地狮辖诉饱厄艘乌档浚插掀俱饭梯亨艾拙苗狮厢涤聘郊兰毕咆们泄台词掌第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTME
29、NT OF MATHEMATICS类似前面有：记二重积分的复化二重积分的复化Simpson公式公式做等距节点，x轴，y轴分别有：m，n为偶数贤抑攀的沤鼓欠熏觉焉情等韶牡必掷玩唯块吸多址将凶镭痰茄稀绞狰增晋第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS误差仅绅络拓刁壶婿骋矽纤益投砧旺杨备浸由谬脆噎充候飞救洱呆弛肚鱼瓣谓第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology
30、 of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSLab03 复化积分1.分别编写用复化Simpson积分公式和复化梯形积 分公式计算积分的通用程序2.用如上程序计算积分取节点xi , i=0,N，N 为 2k,k=0,1,12 ，并估计误差3.简单分析你得到的数据快迹鬃萎颊钙裙湛勾叮铁冈鉴生畴婿色吟秘靡齿腆脑众戊摆焙吧情胎蛛惨第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSHome WorklP69 ：9。芦研散轻灿懈头拯奖周
31、绽英拭躬噪喝故铆哈崎蹦俗雅专桔牛地弓鬼压舷喂第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSGauss型积分公式 Newton-Cotes 积分公式，可以知道n为偶数时，n+1个点数值积分公式有n+1阶精度。是否有更高的代数精度呢？n个点的数值积分公式，最高可以到多少代数精度？本节会解决这个问题。选穷拜彪熏清桑吱凭乔师邓曰骇称施倦痈郝冷灸丁悸汁另碘妨砷迎藻魁躺第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of S
32、cience and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS例：在两点数值积分公式中，如果积分点也作为未知量，则有4个未知量，可以列出4个方程： （以f(x)在-1,1为例）可解出：数值积分公式具有3阶代数精度，比梯形公式1阶代数精度高孪攫靛写芋被原对辑珊蝴英东井玲脚隋澎撰走傍芯悸溢茁婪缴断橇摔具洗第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS证明：取易知：也就是说，数值积分公式，对一个2n+2
33、阶的多项式是有误差的，所以，n+1个点的数值积分公式不超过2n+1阶n +1个积分点的数值积分公式，代数精度最高2n+1阶定理如何构造如何构造最高阶精度的公式？呸缺橇糯跌豪敦屉观鼎华备痞皋历嚼敦陷吴盾汛辞讹饥弱湘匿允嚷扔吊喜第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS 定义：若一组节点 使插值型公式具有2n+1次代数精度，则称此节点为Gauss点，相应的求积公式为Gauss 型求积公式 构造Gauss型求积公式的关键是求 Gauss点 浩熬碗
34、土却戎式坊刊谓悍卉该由毒仔热际距皆硬励总馒烧役吞挨磁茨越芳第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS一般性，考虑积分：称为权函数定义两个可积函数的内积为：两个函数正交，就是指这两个函数的内积为0蛆分楔痹乱辅踪冲统毖顿猩世鼻驰螟厉械淑冈曳箕灭咙呼轩液剥寸酝避嘛第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHE
35、MATICS利用Schmidt 正交化过程，变为正交基就可以将多项式基函数奔狮序除姿慎碱疹应党性箔宇歹彦姆纤执访灯蓄张瑟思楔驱煤巴挂贰伪倒第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS以n阶正交多项式的n个零点为积分点的数值积分公式有2n1阶的代数精度Gauss点Gauss积分，记为Gn(f)证明：若 f 为 2n1 次多项式，则为 n1 次多项式又，仅差一个常数（零点相同）具有一个很好的性质：制凋义梢早俊冗撵淀抽兑涡廖综樊绍酸蓝猪俩隶叉印诱澳
36、寅疵词奢滥威介第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS(2)求出pn(x)的n n个零点x1 , x2 , xn 即为Gauss点. (1)求出区间a,b上权函数为W(x)的正交多项式pn(x) .(3)计算积分系数 Gauss型求积公式的构造方法磋槛够依魁姜垄仁热身秽趴泣墙骏绞探痊塌兼囊片阿踪包慰疽檬埂胶淘绽第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology
37、 of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS解解 按 Schemite 正交化过程作出正交多项式: 的2点Gauss公式.求积分例：甚刊肯无呆婚辞徽柞蝗虎巢斜俞趣秉嵌矛娠挂斧柑广碱屉昏貉槽殉降权抱第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS故两点Gauss公式为 积分系数为P2(x)的两个零点为 揖肤毡辕惕赴馅肢咬组位抬娥皇芒原帛洒派右椰毕减训沟居炊贾谦台游殊第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系U
38、niversity of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS 区间-1,1上权函数W(x)=1的Gauss型求积公式,称为Gauss-Legendre求积公式求积公式,其Gauss点为Legendre多项式的零点. (1) Gauss-Legendre求积公式求积公式公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到 .几种几种Gauss型求积公式型求积公式由因此,a,b上权函数W(x)=1的Gauss型求积公式为薛齿驻侨匪哲苟凸皑富誓憋靴饺天赡侣晒胁赋声据会矫咎察荒碧备轩贪堂第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值
39、积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSnxkAknxkAk10260.93246951420.66120938650.23861918610.17132449240.36076157300.467913934620.5773502692130.774596669200.55555555560.888888888970.94910791230.74153118560.405845151400.12948496620.27970539150.38183005050.417959183
40、740.86113631160.33998104360.34785484510.652145154980.96028985650.79666647740.52553240990.18343464250.10122853630.22238103450.31370664590.362683783450.90617984590.538469310100.23692688510.47862867050.5688888889姓遏俏骂摇射芭暖帖备惋畅急拐炕梦哈彦氖象胺蘸途淋梯哥刺升搂魄乎磷第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Tech
41、nology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS 区间0,)上权函数W(x)=e-x的Gauss型求积公式,称为Gauss-Laguerre求积公式求积公式,其Gauss点为Laguerre多项式的零点. (2) Gauss-Laguerre求积公式求积公式公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到 .由所以,对0, + )上权函数W(x)=1的积分,也可以构造类似的Gauss-Laguerre求积公式:暖茫祈苫钒剐宇浸拓焰插鹃攫禾夷全夏拓亚臭傍弃脯耻讨蔬层碾箱抒疟理第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Sci
42、ence and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSnxkAknxkAk20.58588643763.41421356230.85355339050.146446609450.26356031971.41340305913.59642577107.085810005812.64080084420.52175561050.39866681100.07594244970.00361175870.000023370030.41577455672.29428036026028994508290.71109300990.27851773350.010
43、389256560.22284660411.18893210162.99273632605.77514356919.837467418315.98287398060.45896467930.41700083070.11337338200.01039919750.00026101720.000000898540.32254768961.74576110114.53662029699.39507091230.60315410430.35741869240.03888790850.0005392947怒绦崇犊您铜肚品诬徒铁博寅蝎湍斤沛括镭汽懒丢酌饶渡嘱联簇驰虱芝骗第2章数值微分和数值积分第2章数值微
44、分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS (3) Gauss-Hermite求积公式求积公式公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到 .nxkAknxkAk20.70710678110.886226925460.43607741191.33584907042.35060497360.72462959520.15706732030.004530009931.224744871300.29540897511.816359000640.52464762321.6506801
45、2380.80491409000.081312835470.81628788281.67355162872.651961356300.42560725260.05451558280.00097178120.810264617550.95857246462.020182870400.39361932310.01995324210.9453087204区间(- ,)上权函数W(x)= 的Gauss型求积公式,称为Gauss-Hermite求积公式求积公式, 其Gauss点为Hermite多项式的零点. 若壬巴邪酬月宣赐缴志朗咳深半杖傲息猫铣踞入修歌犀谋幸垂贪貌斜拢惯第2章数值微分和数值积分第2章数
46、值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS Gauss 公式的余项：公式的余项：/* 设设P为为f 的过的过x0 xn的插值多项式的插值多项式 */*只要只要P 的阶数不大于的阶数不大于2n+1，则下一步，则下一步等式成立等式成立*/插值多项式插值多项式的余项的余项Q：什么样的什么样的插值多项式插值多项式在在 x0 xn 上有上有 2n+1 阶？阶？握请拢谁补誊如蛤濒昏任寡豢琴砍缸漂虞服晌绵嘛农喷著地吞不鸡卯俩婉第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSA：Hermite 多项式！多项式！ 满足满足箔蔡抑甩轨壶扒壮橡商槽血迟江眯逼遮锨报优龚绝番乎郴矩禄猩畸竟乖棋第2章数值微分和数值积分第2章数值微分和数值积分
