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1、常系数线性差分方程的求解 线性时不变离散系统的差分方程是常系数线性线性时不变离散系统的差分方程是常系数线性差分方程，基本形式：差分方程，基本形式：或写成或写成 在差分方程中，各序列的序号自在差分方程中，各序列的序号自n n以递减方式给以递减方式给出，称为后向出，称为后向( (或右移序或右移序) )差分方程。差分方程。（2 2）自由项为）自由项为 不是特征根，则特解不是特征根，则特解 是特征单根，则特解是特征单根，则特解 是是k k重特征根，则特解重特征根，则特解（3 3）自由项为正弦）自由项为正弦 或余弦或余弦 表达式表达式（4 4）自由项为正弦）自由项为正弦 不是特征根不是特征根是特征根是特
2、征根例例6-96-9： 求下示差分方程的完全解求下示差分方程的完全解其中激励函数其中激励函数 ，且已知，且已知解：特征方程：解：特征方程：齐次通解：齐次通解：将将 代入方程右端，得代入方程右端，得12)1()1()(22-=-=-nnnnxnx设特解为设特解为 形式，代入方程得形式，代入方程得比较两边系数得比较两边系数得解得解得完全解为完全解为代入边界条件代入边界条件 ，求，求得得经典法不足之处经典法不足之处(1).(1).若激励信号发生变化，则须全部重新求解。若激励信号发生变化，则须全部重新求解。(2).(2).若差分方程右边激励项较复杂，则难以处理。若差分方程右边激励项较复杂，则难以处理。
3、(3).(3).若初始条件发生变化，则须全部重新求解。若初始条件发生变化，则须全部重新求解。(4)(4). .这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。响应的物理概念。 二、零输入响应和零状态响应二、零输入响应和零状态响应系统的完全响应（差分方程的完全解）可表示为自由系统的完全响应（差分方程的完全解）可表示为自由响应分量与强迫响应分量（齐次解与特解）之和。响应分量与强迫响应分量（齐次解与特解）之和。根据边界条件及激励的不同，完全响应也可分为零根据边界条件及激励的不同，完全响应也可分为零输入响应和零状态响应之和。输入响应和零状态响应之和。当起始状
4、态当起始状态y(-1)=y(-2)= =y(-N) y(-1)=y(-2)= =y(-N) =0=0时，由系统的激励时，由系统的激励xnxn所产生的响应。它是自所产生的响应。它是自由响应的另外部分加上强迫响应。由响应的另外部分加上强迫响应。当激励当激励x(n)=0x(n)=0时，由系统的起始状态时，由系统的起始状态y(-y(-1), y(-2), y(-N)1), y(-2), y(-N)所产生的响应。它是齐所产生的响应。它是齐次解的形式，它是自由响应的一部分。次解的形式，它是自由响应的一部分。1 1、零输入响应、零输入响应 输入为零，响应由齐次差分方程求得，是仅由初输入为零，响应由齐次差分方
5、程求得，是仅由初始储能引起的响应。始储能引起的响应。注意：注意： 确定零输入响应的系数时，必须用仅由初始状态确定零输入响应的系数时，必须用仅由初始状态引起的初始条件；引起的初始条件； 初始条件为初始条件为M个任意时刻的响应值，故零输入响个任意时刻的响应值，故零输入响应的表达式不再加写后缀应的表达式不再加写后缀 n n0。例例 描述离散时间系统的差分方程为描述离散时间系统的差分方程为解：特征方程为解：特征方程为在差分方程中，令在差分方程中，令n=-1,n=-1,得得可见可见y(2),y(1),y(0)和和y(-1)与激励无关与激励无关,仅由初始储能引起。仅由初始储能引起。在差分方程中，令在差分方
6、程中，令 n = 0 n = 0，得，得 可见，可见，y(3)y(3)与激励有关与激励有关, ,是初始储能和激励共同引起的是初始储能和激励共同引起的, ,不能用来确定零输入响应的待定系数。不能用来确定零输入响应的待定系数。 将将y(1)=1,y(2)=2,y(3)=-23y(1)=1,y(2)=2,y(3)=-23代入上式代入上式, ,可得第三个零输可得第三个零输入条件：入条件：于是得到于是得到2 2、零状态响应、零状态响应 离散时间系统求解零状态响应，可以直接求解非齐离散时间系统求解零状态响应，可以直接求解非齐次差分方程得到。求解方法与经典法计算连续时间系次差分方程得到。求解方法与经典法计算
7、连续时间系统零状态响应相似。即首先求齐次解和特解，然后代统零状态响应相似。即首先求齐次解和特解，然后代入仅由激励引起的初始条件入仅由激励引起的初始条件 若激励在若激励在n=0时接系统，时接系统，根据系统的因果性，零状态条件为根据系统的因果性，零状态条件为y(-1)=y(-2)=. . .=0确定待定系数。但当激励信号较复杂，且差分方程阶确定待定系数。但当激励信号较复杂，且差分方程阶数较高时，上述求解非齐次差分方程的过程相当复杂，数较高时，上述求解非齐次差分方程的过程相当复杂，因此，与连续时间系统的时域分析一样，离散时间系因此，与连续时间系统的时域分析一样，离散时间系统计算零状态响应也常用卷积分
8、析法。统计算零状态响应也常用卷积分析法。差分方程的边界条件不一定差分方程的边界条件不一定由由这一组数字给出。对于因果系统，常给定这一组数字给出。对于因果系统，常给定为边界条件为边界条件。若激励信号在若激励信号在n=0n=0时接入系统时接入系统，所谓零状态是指所谓零状态是指 都等于零，而不是指都等于零，而不是指 等于零等于零。如果已知如果已知 欲求欲求可用迭代求出可用迭代求出。例例: 已知描述系统的一阶差分方程为已知描述系统的一阶差分方程为（1）边界条件）边界条件 ，求，求（2）边界条件）边界条件 ，求，求解解:（1）起始时系统处于零状态，所以，）起始时系统处于零状态，所以，齐次解为齐次解为,设
9、特解为设特解为D,由由y-1=0可求出可求出所以，所以，（2 2） 先求零状态响应，此即为（先求零状态响应，此即为（1 1）的结果）的结果再求零输入响应，令再求零输入响应，令 由由y-1=1y-1=1可求出可求出所以，所以， 完全响应完全响应3 3、离散时间系统的转移算子：、离散时间系统的转移算子：a.a.E E算子：又称超前算子，算子：又称超前算子，它表示将序列向前（向左）它表示将序列向前（向左）移一位的运算。移一位的运算。b b、思考题思考题1. 1. 求解常系数线性差分方程的方法有哪些求解常系数线性差分方程的方法有哪些？2. 2. 时域经典法解的形式是什么？时域经典法解的形式是什么？3. 3. 什么是零输入响应、什么是零状态响应什么是零输入响应、什么是零状态响应？
