《2.1第讲高阶常系数线性微分方程欧拉方程ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2.1第讲高阶常系数线性微分方程欧拉方程ppt课件（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五节第五节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程二阶常系数齐线性方程二阶常系数齐线性方程二阶常系数非齐线性方程二阶常系数非齐线性方程特征方程特征方程特征根特征根:一、二阶常系数齐次线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程形如形如的方程，称为二阶常系数齐线性微分方程，的方程，称为二阶常系数齐线性微分方程，即即特征方程特征方程特征方程特征方程是方程是方程 (1) 的两个线性无关的解，故方程的两个线性无关的解，故方程 (1) 的通解为的通解为:由刘维尔公式求另一个解：由刘维尔公式求另一个解：于是，当特征方程有重实根时，方程于是，当特征方程有重实根时，方程 ( 1 ) 的通解为的通解为由求
2、根公式由求根公式:故当特征方程有一对共轭复根故当特征方程有一对共轭复根时，原方程的通解可表示为时，原方程的通解可表示为均为方程均为方程 ( 1 ) 的解，且它们是线性无关的：的解，且它们是线性无关的：由线性方程解的性质：由线性方程解的性质：欧拉公式：欧拉公式：3) 特征方程有一对共轭复根：特征方程有一对共轭复根：是方程是方程 ( 1 ) 的两个线性无关的解，其通解为的两个线性无关的解，其通解为:二阶常系数齐线性微分方程二阶常系数齐线性微分方程特征方程特征方程特特 征征 根根通通 解解 形形 式式: 例解解 例解解: 例解解故所求特解为故所求特解为: 例解解此时弹簧仅受到弹性恢复力此时弹簧仅受到
3、弹性恢复力 f 的作用。求反映此弹的作用。求反映此弹突然放手，突然放手，开始拉长，开始拉长，簧运动的规律设其弹性系数为簧运动的规律设其弹性系数为 k ）。）。取取 x 轴如如图所示。轴如如图所示。由力学的虎克定理，有由力学的虎克定理，有（ 恢复力与运动方向相反恢复力与运动方向相反 ）由牛顿第二定律，得由牛顿第二定律，得:它能正确描述它能正确描述我们的问题吗我们的问题吗？ 记拉长后，突然放手的时刻为记拉长后，突然放手的时刻为我们要找的规律是下列初值问题的解：我们要找的规律是下列初值问题的解：从而，所求运动规律为从而，所求运动规律为简谐振动简谐振动简谐振动简谐振动:n 阶常系数齐线性微分方程的特征
4、方程为阶常系数齐线性微分方程的特征方程为特特 征征 根根通通 解解 中中 的的 对对 应应 项项二、二、n 阶常系数齐线性微分方程阶常系数齐线性微分方程: 例解解在研究弹性地基梁时，遇到一个微分方程在研究弹性地基梁时，遇到一个微分方程试求此方程的通解。试求此方程的通解。解解 例:三、二阶常系数非齐线性微分方程三、二阶常系数非齐线性微分方程形如形如的方程，称为二阶常系数非齐线性微分方程，的方程，称为二阶常系数非齐线性微分方程，它对应的齐方程为它对应的齐方程为我们只讨论函数我们只讨论函数 f ( x ) 的几种简单情形下，的几种简单情形下，(2) 的特解。的特解。方程方程 (2) 对应的齐方程对应
5、的齐方程 (1) 的特征方程及特征根为的特征方程及特征根为:由方程由方程 (3) 及多项式求导的特点可知，应有及多项式求导的特点可知，应有方程方程 (2) 有下列形式的特解有下列形式的特解:方程方程 (2) 有下列形式的特解有下列形式的特解:方程方程 (2) 有下列形式的特解有下列形式的特解:定理定理定理定理 1 1当二阶常系数非齐线性方程当二阶常系数非齐线性方程它有下列形式的特解：它有下列形式的特解：其中：其中： : 例解解对应的齐方程的特征方程为对应的齐方程的特征方程为特征根为特征根为对应的齐方程的通解为对应的齐方程的通解为将它代入原方程，得将它代入原方程，得比较两边同类项的系数，得比较两
6、边同类项的系数，得故原方程有一特解为故原方程有一特解为综上所述，原方程的通解为综上所述，原方程的通解为: 例解解对应的齐方程的特征方程为对应的齐方程的特征方程为对应的齐方程的通解为对应的齐方程的通解为将它代入原方程，得将它代入原方程，得故原方程有一特解为故原方程有一特解为综上所述，原方程的通解为综上所述，原方程的通解为: 例解解对应的齐方程的通解为对应的齐方程的通解为综上所述，原方程的通解为综上所述，原方程的通解为: 例解解代入上述方程，得代入上述方程，得从而，原方程有一特解为从而，原方程有一特解为: 例解解代入上述方程，得代入上述方程，得比较系数，得比较系数，得故故从而，原方程有一特解为从而
7、，原方程有一特解为: 例解解对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为将它代入此方程中，得将它代入此方程中，得从而，原方程有一特解为从而，原方程有一特解为故原方程的通解为故原方程的通解为:引入算子记号：引入算子记号：由数学归纳法可以证明：由数学归纳法可以证明：四、欧拉方程四、欧拉方程关于变量关于变量 t 的常系数线性微分方程的常系数线性微分方程 。: 例解解这是三阶欧拉方程，这是三阶欧拉方程，作代数运算后，得作代数运算后，得即即这是一个三阶常系数线性非齐微分方程，且这是一个三阶常系数线性非齐微分方程，且:方程方程 (1) 对应的齐方程的通解为对应的齐方程的通解为为方程为方程 (1) 特解形式，代入方程特解形式，代入方程 (1) 中，得中，得从而从而故原欧拉方程的通解为故原欧拉方程的通解为:例例2.解解: 将方程化为(欧拉方程) 则方程化为即特征根:设特解:代入 解得 A = 1,所求通解为 :例例3.解解: 由题设得定解问题由题设得定解问题那么化为特征根: 设特解: 代入得 A1 :得通解为利用初始条件得故所求特解为:考虑考虑: 如何解下述微分方程如何解下述微分方程提示提示: 原方程直接令 :
