《8[1]2偏导数(上课)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《8[1]2偏导数(上课)（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、8.2 偏偏 导导 数数 我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念念, 是研究函数的有力工具是研究函数的有力工具, 它反映了它反映了该点处函数随该点处函数随自变量变化的快慢程度自变量变化的快慢程度. 对于多元函数同样需要讨论对于多元函数同样需要讨论它的变化率问题它的变化率问题. 虽然多元函数的自变量不止一个虽然多元函数的自变量不止一个, 但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下, 只只考虑函数对其中一个自变量的变化率考虑函数对其中一个自变量的变化率, 因此这种变化因此这种变化率依然是一元函数的变化率问题率
2、依然是一元函数的变化率问题, 这就是偏导数概念这就是偏导数概念, 对此给出如下定义对此给出如下定义.定义定义1.在点在点存在存在, ,的偏导数，记为的偏导数，记为的某邻域内的某邻域内则称此极限为函数则称此极限为函数极限极限设函数注意注意:一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法同样可定义对同样可定义对 y 的偏导数的偏导数 如果函数如果函数z=f(x, y)在区域在区域D内任一点内任一点(x, y)处对处对x的的偏导数都存在偏导数都存在, 那么这个偏导数就是那么这个偏导数就是 x, y 的函数的函数, 称称它为它为函数函数z=f(x, y)对自变量对自变量x的偏导数的偏导数, 记作
3、记作例如例如同理可以定义同理可以定义函数函数z=f(x, y)对自变量对自变量y的偏导数的偏导数, 记作记作例如例如2 偏导数的求法偏导数的求法 由偏导数的定义可知，求二元函数的由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数并不需要新的方法偏导数并不需要新的方法求求 时把时把 y 视为常数而对视为常数而对 x 求导求导求求 时把时把 x 视为常数而对视为常数而对 y 求导求导这仍然是一元函数求导问题这仍然是一元函数求导问题如如三元三元函数函数 u=f(x, y, z) 在在(x, y, z)处的三个处的三个偏导数偏导数:偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数,设设n元函数
4、元函数 w=f(x1, x2, , xn), w对对xi 的的偏导数偏导数:( i = 1, 2, , n)解解:例例1: 求求 z = x2 + 3xy + y2 在点在点(1, 2)处的偏导数处的偏导数.所以所以例例2: 设设 z = xy (x0, x 1), 求证求证例例3: 设设求求例例4: 已知理想气体的状态方程已知理想气体的状态方程 pV=RT (R为常数为常数), 求证求证:在上节已证在上节已证 f (x , y) 在点在点(0 , 0)并不连续并不连续!有关偏导数的几点说明有关偏导数的几点说明:2. 求分界点求分界点, 不连续点处的偏导数要用定义求不连续点处的偏导数要用定义求
5、; 3. 计算计算 fx(x0, y0)时可先将时可先将 y=y0 代入代入f(x, y)再对再对x求导求导, 然后代入然后代入x=x0. 计算计算 fy(x0, y0)时同理时同理.1. 偏导数偏导数 是一个整体记号是一个整体记号, 不能拆分不能拆分; 4. 偏导数的实质仍是一元函数求导问题偏导数的实质仍是一元函数求导问题, 具体求具体求导时要弄清是导时要弄清是对哪个变量求偏导对哪个变量求偏导, 其余均视为常量其余均视为常量, 但由于变量较多但由于变量较多, 易产生混乱易产生混乱重要的是区分清函重要的是区分清函数的类型数的类型这是出错的主要原因这是出错的主要原因.5偏导数存在与连续的关系偏导
6、数存在与连续的关系一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，由例由例4知函数在（知函数在（0，0）点处偏导数存在但并）点处偏导数存在但并不连续不连续.偏导数存在偏导数存在 连续连续.例如例如,但但 不存在不存在.二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:是曲线是曲线在点在点 M0 处的切线处的切线对对 x 轴的斜率轴的斜率.在点在点M0 处的切线处的切线斜率斜率.是曲线是曲线对对 y 轴的轴的二、高阶偏导数二、高阶偏导数 函数函数z = f(x, y) 的偏导数仍为的偏导数仍为x, y的函数的函数, 它们还它
7、们还可以考虑对可以考虑对 x 或或 y 求偏导数求偏导数, 其结果称为函数其结果称为函数z = f(x, y)的二阶偏导数的二阶偏导数. 即即这两式称为纯二阶偏导这两式称为纯二阶偏导.1. 定义定义: 二阶及二阶以上偏导数统称为二阶及二阶以上偏导数统称为高阶偏导数高阶偏导数.这两式称为混合二阶偏导这两式称为混合二阶偏导.例例5: 设设 z = x3 y2 3 x y3 x y + 1, 求求2 高阶偏导数的计算高阶偏导数的计算解解:例例6: 设设u = eaxcosby, 求二阶偏导数求二阶偏导数. 问题问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？相等？
8、 3. 高阶混合偏导数相等的条件高阶混合偏导数相等的条件注注1)定理说明二阶偏导数在连续的条件下与求导次序无关定理说明二阶偏导数在连续的条件下与求导次序无关2)定理可推广到更多元定理可推广到更多元3)定理可推广到更高阶定理可推广到更高阶4)二阶混合偏导数有不相等的情况二阶混合偏导数有不相等的情况满足拉普拉满足拉普拉例例7: 验证函数验证函数斯方程斯方程三、小三、小 结结1. 偏导数的定义偏导数的定义: 偏增量比的极限偏增量比的极限;2. 偏导数的计算偏导数的计算;3. 偏导数的几何意义偏导数的几何意义;4. 高阶偏导数高阶偏导数: 纯偏导纯偏导, 混合偏导混合偏导(相等的条相等的条件件).思考
9、题解答思考题解答不能不能. 例如例如,在在(0, 0)处连续处连续, 但但 fx(0, 0), fy(0, 0)不存在。不存在。 若函数若函数f(x, y)在点在点P(x0, y0)连续连续, 能否断定能否断定f(x, y)在点在点P(x0, y0)的偏导数必定存在？的偏导数必定存在？ 思考题思考题作业作业P18 1（4）,（6）,（8）； 3； 5； 6（3）； 7； 8； 9（2）备用题备用题 设方程确定 u 是 x , y 的函数 ,连续, 且求解解:内容小结内容小结1. 偏导数的概念及有关结论偏导数的概念及有关结论 定义定义; 记号记号; 几何意义几何意义 函数在一点偏导数存在函数在一点偏导数存在函数在此点连续函数在此点连续 混合偏导数连续混合偏导数连续与求导顺序无关与求导顺序无关2. 偏导数的计算方法偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法求一点处偏导数的方法先代后求先代后求先求后代先求后代利用定义利用定义 求高阶偏导数的方法求高阶偏导数的方法逐次求导法逐次求导法(与求导顺序无关时与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序应选择方便的求导顺序)思考与练习思考与练习解答提示: P73 题 5P73 题 5 , 6即 xy0 时,P73 题6(1)(2)
