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1、微分方程微分方程1-2-3解解一、问题的提出一、问题的提出(2)(2)特解特解: : 确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解. .解的图象解的图象: : 微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线. .通解的图象通解的图象: : 积分曲线族积分曲线族. .初始条件初始条件: : 用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件. .过定点的积分曲线过定点的积分曲线;一阶一阶:二阶二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题初值问题: : 求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题. .解解所求特解为所求特解为
2、补充补充: :微分方程的初等解法微分方程的初等解法: : 初等积分法初等积分法. .求解微分方程求解微分方程求积分求积分(通解可用初等函数或积分表示出来通解可用初等函数或积分表示出来)一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程. .解法解法为微分方程的解为微分方程的解.分离变量法分离变量法例例1 1 求解微分方程求解微分方程解解分离变量分离变量两端积分两端积分二、典型例题二、典型例题通解为通解为解解解解由题设条件由题设条件衰变规律衰变规律例例 4 有高为有高为1米的半球形容器米的半球形容器, 水从它的底部小水从它的底部小孔流出孔流出, 小孔横截面积
3、为小孔横截面积为1平方厘米平方厘米(如图如图). 开始开始时容器内盛满了水时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器求水从小孔流出过程中容器里水面的高度里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离水面与孔口中心间的距离)随时随时间间t的变化规律的变化规律.解解 由力学知识得由力学知识得,水从孔口流水从孔口流出的流量为出的流量为流量系数流量系数孔口截面面积孔口截面面积重力加速度重力加速度设在微小的时间间隔设在微小的时间间隔水面的高度由水面的高度由h降至降至 ,比较比较(1)和和(2)得得:即为未知函数的微分方程即为未知函数的微分方程.可分离变量可分离变量所求规律为所求规律为一、齐次方程一、齐次方程的
4、微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程. .2.解法解法 作变量代换作变量代换代入原式代入原式可分离变量的方程可分离变量的方程1.1.定义定义例例 1 1 求解微分方程求解微分方程微分方程的解为微分方程的解为解解例例 2 2 求解微分方程求解微分方程解解微分方程的解为微分方程的解为例例 3 3 抛物线的光学性质抛物线的光学性质实例实例: : 车灯的反射镜面车灯的反射镜面-旋转抛物面旋转抛物面解解如图如图得微分方程得微分方程由夹由夹角正角正切公切公式得式得分离变量分离变量积分得积分得平方化简得平方化简得抛物线抛物线一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:上方程称为上方程称为齐次
5、的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.一、线性方程一、线性方程例如例如线性的线性的;非线性的非线性的.齐次方程的通解为齐次方程的通解为1. 线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法(使用分离变量法使用分离变量法)2. 线性非齐次方程线性非齐次方程讨论讨论两边积分两边积分非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比与齐次方程通解相比:常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. .实质实质: : 未知函数的变量代换未知函数的变量代换.作变换作变换积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为
6、一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解解解例例1 1例例2 2 如图所示，平行与如图所示，平行与 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ之之长数值上等于阴影部分的面积长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线求曲线 .两边求导得两边求导得解解解此微分方程解此微分方程所求曲线为所求曲线为伯努利伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式方程为方程为线性微分方程线性微分方程. 方程为方程为非线性微分方程非线性微分方程.二、伯努利方程二、伯努利方程解法解法: : 需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程.求出通解后，将求出通解后，将 代入即得代入即得代入上式代入上式解解例例 3例例4 4 用适当的变量代换解下列微分方程用适当的变量代换解下列微分方程: :解解所求通解为所求通解为解解分离变量法得分离变量法得所求通解为所求通解为解解代入原式代入原式分离变量法得分离变量法得所求通解为所求通解为另解另解结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！44
