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1、3.2.1 3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义复数代数形式的加减运算及其几何意义复数加减及其几何意义复数加减及其几何意义人教版选修1-2 请你谈谈对复数的理解与思考.知识回顾知识回顾1、复数的概念：形如_的数叫做复数，a，b分别叫做它的_。2、复数Z1=a1+b1i与Z2=a2+b2i 相等的充要条件是_。a1=a2，b1=b2a+bi(a，bR)实部和虚部 复数复数z z = a+bi(a、b R)实数实数小数小数a (b=0)有理数有理数无理数无理数分数分数正正分数分数负分数负分数零零无限不循环小数无限不循环小数虚数虚数a+bi (b 0)3、复数的几何意义是什么？复数复数z=
2、z=a+bia+bi直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)Z(a,b)一一对应一一对应平面向量平面向量一一对应一一对应一一对应一一对应xyobaZ(a,b)z=a+bix x轴轴-实轴实轴y y轴轴-虚轴虚轴 建立了平面直角坐标系来建立了平面直角坐标系来表示复数的平面表示复数的平面-复数平面复数平面 ( (简称简称复平面复平面) )（数）（数）（形）（形）3、复数的几何意义是什么？xOz=a+biyZ (a,b)对应平面向量对应平面向量 的模的模| |，即即复数复数 z=z=a+bia+bi在复平面上对应的点在复平面上对应的点Z(Z(a a, ,b b) )到原点的到原点的距离。距离。|
3、 z | = 4、复数的绝对值(复数的模)的几何意义是什么？思考：思考：(1)(1)满足满足|z|=5(zR)|z|=5(zR)的的z z值有几个？值有几个？ (2)(2)这些复数对应的这些复数对应的点点在复平面上构在复平面上构成怎样的成怎样的图形图形？ xyO设设z=z=x+yi(x,yRx+yi(x,yR) )满足满足|z|=5(z|z|=5(zC)C)的的复数复数z z对应的点在复对应的点在复平面上将构成怎样平面上将构成怎样的图形？的图形？5555图形图形: : 以原点为圆心以原点为圆心,5,5为半径的为半径的圆上圆上5xyO设设z=z=x+yi(x,yRx+yi(x,yR) )满足满足
4、3|z|5(zC)3|z|5(zC)的的复数复数z z对应的点在对应的点在复平面上将构成怎样复平面上将构成怎样的图形？的图形？55553333图形图形: : 以原点为圆心以原点为圆心, , 半径半径3 3至至5 5的的圆环内圆环内猜想：猜想：探讨、两个复数：探讨、两个复数：z1a1+b1i ，z2=a2+b2i z1+z2=? 设问设问1、回忆回忆:是否学习过某些复数的加减运算？能是否学习过某些复数的加减运算？能否用复数形式表达否用复数形式表达?若能，从复数的概念角度如何解若能，从复数的概念角度如何解释？释？ 问题探索 实数实数2与与3的和有的和有235写成复数形式为写成复数形式为z1=2+0
5、i,z2=3+0i显然，此时式子显然，此时式子z1+z2=(2+3)+(0+0)i=5探讨、两个复数：探讨、两个复数：z1a1+b1i ，z2=a2+b2i z1+z2=? 问题探索设问设问2、复数还有其它特殊情形吗？是什么？对这类复数还有其它特殊情形吗？是什么？对这类复数的加法，你有什么想法？举例说明。复数的加法，你有什么想法？举例说明。 纯虚数纯虚数2i与与3i的和是多少呢的和是多少呢? 即即 z1=0+2i ，z2=0+3i 猜想猜想z1+z2=(0+0)+(2+3)i=0+5i=5i。 归纳、类比归纳、类比 对一般的两个复数相加有什么猜想，即对一般的两个复数相加有什么猜想，即z1=a1
6、+b1i， z2=a2+b2i ，z1+z2=？ 猜想归纳（a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i复数的加法法则：点评点评: :（1 1）复数的加法运算法则是一种规定。）复数的加法运算法则是一种规定。当当b=0b=0， d=0d=0时与实数加法法则保持一致。时与实数加法法则保持一致。 （2 2）两个复数的和仍然是一个复数。对于复数的加）两个复数的和仍然是一个复数。对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。法可以推广到多个复数相加的情形。点评：点评：实数加法运算的交换律、结合律在复数集实数加法运算的交换律、结合律在复数集C C中依然中依然成立。成立。问题探索设问设问3、复数的加法满
7、足交换律，结合律吗？复数的加法满足交换律，结合律吗？即:对于任意的 ,有则Z1+Z2=（a1+a2)+(b1+b2)i， Z2+Z1=（a2+a1)+(b2+b1)i证：设Z1=a1+b1i，Z2=a2+b2i，Z3=a3+b3i (a1，a2，a3，b1，b2，b3R)类比猜想设问设问4、类比复数的加法法则、类比复数的加法法则,你认为你认为复数有减法吗复数有减法吗?复数的减法法则如何呢？复数的减法法则如何呢？复数的减法规定是加法的逆运算，即把满足 （c+di）+（x+yi）= a+bi的复数x+yi 叫做复数a+bi减去复数c+di的差，记作（a+bi）（c+di）（a+bi）（c+di）=
8、(ac)+(bd)i点评：点评：根据复数相等的定义，我们可以得出复数的减法法根据复数相等的定义，我们可以得出复数的减法法则，且知两个复数的差是唯一确定的复数。则，且知两个复数的差是唯一确定的复数。复数的减法法则：归纳:复数可以求和差，虚实各自相加减。归纳总结一、复数加法与减法的运算法则例1、计算(23i )+(-83i) (34i)解： (23i )+(-83i) (34i) = (283)+(-33+4)i = -92i .例题讲解点评：点评：复数可以求和差，虚实各自相加减复数可以求和差，虚实各自相加减练习:计算下列各式 (2+4i)+(3-4i) (-3+2i)-(-3-2i) (4-i)
9、+3i 5(3+2i) (34i)+(2+i)(15i) (2i)(2+3i)+4i学以致用复数复数z=a+bi直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)一一对应一一对应平面向量平面向量一一对应一一对应一一对应一一对应xyobaZ(a,b)z=a+bi二、复数加法与减法运算的几何意义?由此出发探讨复由此出发探讨复数加法的几何意义数加法的几何意义xoyZ1(a,b)Z2(c,d)Z(a+c,b+d)z z1 1+ z+ z2 2=OZ=OZ1 1 +OZ+OZ2 2 = OZ= OZ符合符合向量向量加法加法的平的平行四行四边形边形法则法则.1.1.复数复数加法加法运算的几何意义运算的几何意义?
10、 ?问题探索结论：复数的加法可以按照向量的加法来进行结论：复数的加法可以按照向量的加法来进行结论：复数的加法可以按照向量的加法来进行结论：复数的加法可以按照向量的加法来进行, ,复数的复数的复数的复数的和对应向量的和。和对应向量的和。和对应向量的和。和对应向量的和。 xoyZ1(a,b)Z2(c,d)复数复数z2z1向量向量Z1Z2符合符合向量向量减法减法的三的三角形角形法则法则.2.2.复数复数减法减法运算的几何意义运算的几何意义? ?问题探索结论：复数的差结论：复数的差结论：复数的差结论：复数的差Z Z2 2Z Z 1 1 与连接两个向量终点并指向被与连接两个向量终点并指向被与连接两个向量
11、终点并指向被与连接两个向量终点并指向被减数的向量对应减数的向量对应减数的向量对应减数的向量对应. .二、复数加法与减法运算的几何意义xyZ 1Z 2 Z 0(1)xyZ 1Z 2 0(2) 复数的和对应向量的和复数的和对应向量的和 复数的差对应向量的差复数的差对应向量的差归纳总结练习、如图的向量 对应复数z，试作出下列运算的结果对应的向量 xyoz几何意义运用v例3 已知 求向量 对应的复数.v变式1 已知复平面内一平行四边形AOBC顶点A,O,B对应复数是 -3+2i, 0, 2+i ，求点C对应的复数.几何意义运用变式1 已知复平面内一平行四边形AOBC顶点A,O,B对应复数是 -3+2i
12、, 0, 2+i ，求点C对应的复数.解:复数-3+2i ,2+i,0对应点A(-3,2),B(2,1),O(0,0),如图. 点C对应的复数是-1+3i 在平行四边形 AOBC中,xyA 0CB几何意义运用v第四个顶点对应的复数是6+4i，-4+6i，-2-i变式 已知复平面内一平行四边形ABC三个顶点对应复数是 -3+2i, 2+i, 1+5i求第四个对应的复数.XyxoyZ1(a,b)Z2(c,d)复数复数z2z1向量向量Z1Z2符合符合向量向量减法减法的三的三角形角形法则法则.2.2.复数复数减法减法运算的几何意义运算的几何意义? ?|z1-z2|表示什么表示什么?表示复平面上两点表示
13、复平面上两点Z Z1 1 ,Z,Z2 2的的距离距离转化推广复平面内两点间距离xyZ 1Z 2 0设Z = a+ bi , =c+di 它们在复平面内分别对应于点Z1 ,Z2 1Z 2v复平面内两点距离就是对应两个复数的差的模转化推广(1)|z(1)|z(1+2i)|(1+2i)|(2)|z+(1+2i)|(2)|z+(1+2i)| 已知复数已知复数z z对应点对应点A,A,说明下列各式说明下列各式所表示的几何意义所表示的几何意义. .点点A A到点到点(1,2)(1,2)的距离的距离点点A A到点到点( (1, 1, 2)2)的距离的距离(3)|z(3)|z1|1|(4)|z+2i|(4)|z+2i|点点A A到点到点(1,0)(1,0)的距离的距离点点A A到点到点(0, (0, 2)2)的距离的距离复数加减复数加减复平面的点坐标运算复平面的点坐标运算一一对应一一对应一一对应一一对应一一对应一一对应平面向量加减平面向量加减1.复数代数形式的加减运算: 复数可以求和差，虚实各自相加减。2.复数加减运算的几何意义:课堂小结v1）教材P63习题3.2A组ex13v2）类比实数的乘法和除法，试探讨复数的乘除法运算。v3）预习3.2.2复数代数形式的乘除运算。反馈作业
