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1、上页下页铃结束返回首页二、函数极限的性质一、函数极限的定义1.3 函数的极限1上页下页铃结束返回首页一、函数极限的定义 如果当x无限地接近于x0时 函数f(x)的值无限地接近于常数A 则常数A就叫做函数f(x)当xx0时的极限 记作 v函数极限的通俗定义1.自变量趋于有限值时函数的极限分析:当xx0时 f(x)A 当|xx0|0时 |f(x)A|0 当|xx0|变得足够小时 |f(x)A|能小于任意给定的正数 注: 当xx0时 xx0 2上页下页铃结束返回首页 设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义 如果存在常数A 对于任意给定的正数 总存在正数 使得当x满足不等式00 0 当0|xx0
2、| 时 有|f(x)A| 设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义 如果存在常数A 对于任意给定的正数 总存在正数 使得当x满足不等式00: 0:A-A+x0-x0 0 0 当 0|xx0| 有|f(x)A|0 当0|x1| 时 有 /2 只要|x1| /2要使|f(x)A|0 0 当 0|xx0| 有|f(x)A|0 0 当 0|xx0| 有|f(x)A|当 0|x1|0 0 当 0|xx0| 有|f(x)A|0 0 当 0|xx0| 有|f(x)A|0 0 当 0|xx0| 有|f(x)A|0 0 当 0|xx0| 有|f(x)A|11上页下页铃结束返回首页注:v单侧极限 若当xx0时
3、 f(x)无限接近于某常数A 则常数A叫做函数f(x)当xx0时的左极限 记为 或f(x0)A . xx0表示x从x0的左侧(即小于x0)趋于x0 , xx0+表示x从x0的右侧(即大于x0)趋于x0 . 0 0 当x0xx0 有|f(x)A|0 0 当 0|xx0| 有|f(x)A|12上页下页铃结束返回首页v单侧极限 0 0 当x0xx0 有|f(x)A|0 0 当 0|xx0| 有|f(x)A|X时 有|f(x)A|:水平渐近线 水平渐近线 如果xlimf(x)A 则直线 yA称为函数yf(x)的图形的 注: X 与 有关, 但不唯一. 确定 X 时, X 越大越合适.16上页下页铃结束
4、返回首页例4 证明证明则当 时, 有 0 X0 当|x|X时 有|f(x)A| 注: X 与 有关, 但不唯一. 确定 X 时, X 越大越合适.17上页下页铃结束返回首页例5 证明证明有因此 0 X0 当|x|X时 有|f(x)A| 注: X 与 有关, 但不唯一. 确定 X 时, X 越大越合适.18上页下页铃结束返回首页二、函数极限的性质v定理1(函数极限的唯一性) v定理2(函数极限的局部有界性) 如果f(x)A(xx0) 那么f(x)在x0的某一去心邻域内有界 v定理3(函数极限的局部保号性) 如果f(x)A(xx0) 而且A0(或A0) 那么在x0的某一去心邻域内 有f(x)0(或f(x)0) 如果当xx0时f(x)的极限存在 那么这极限是唯一的 如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0) 而且 f(x)A(xx0) 那么A0(或A0) 推论 19上页下页铃结束返回首页例如,v定理4(函数极限与数列极限的关系) 如果当xx0时f(x)的极限存在 xn为f(x)的定义域内任一收敛于x0的数列 且满足 xn x0(nN) 那么相应的函数值数列f(xn)必收敛 且 20上页下页铃结束返回首页作 业 习题13 (P37): 1.(1) 2.(2) 3. 4. 21
