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1、名师总结优秀知识点高考数学数列部分知识点梳理一数列的概念1) 数列的前n项和与通项的公式nnaaaS21;)2() 1(11nSSnSannn2)数列的分类:递增数列: 对于任何Nn, 均有nnaa1. 递减数列 : 对于任何Nn, 均有nnaa1. 摆动数列 : 例如 : ., 1,1 , 1, 1 ,1常数数列 : 例如:6,6,6,6,. 有界数列 : 存在正数M使NnMan,. 无界数列 : 对于任何正数M, 总有项na使得Man. 一、等差数列1)通 项 公 式dnaan)1(1,1a 为 首 项 , d 为 公 差 。 前n项 和 公 式2)(1nnaanS或dnnnaSn)1(2
2、11. 2)等差中项:baA2。3)等差数列的判定方法: 定义法:daann 1(Nn,d 是常数)na是等差数列;中项法:212nnnaaa(Nn)na是等差数列 . 4)等差数列的性质:数列na是等差数列, 则数列pan、npa(p是常数)都是等差数列; 在 等 差 数 列na中 ,等 距 离 取 出 若 干 项 也 构成 一 个 等差 数 列 ,即,32knknknnaaaa为等差数列,公差为kd . dmnaamn)(;banan(a, b是常数 );bnanSn2(a, b是常数,0a) 若),(Nqpnmqpnm,则qpnmaaaa;若等差数列na的前n项和nS,则nSn是等差数列
3、;当项数为)(2Nnn,则nnaaSSndSS1,奇偶奇偶;当项数为)( 12Nnn,则nnSSaSSn1,奇偶偶奇. (7)设是等差数列,则(是常数)是公差为的等差数列; (8)设,则有; (9) 是等差数列的前项和,则; (10)其他衍生等差数列:若已知等差数列,公差为,前项和为,则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页名师总结优秀知识点为等差数列,公差为;(即)为等差数列,公差;(即)为等差数列,公差为. 二、等比数列1)通项公式:11nnqaa,1a 为首项,q为公比 。前n项和公式:当1q时,1naSn当1q时
4、,qqaaqqaSnnn11)1(11. 2)等比中项:baG2。;3)等比数列的判定方法:定义法:qaann 1(Nn,0q是常数)na是等比数列;中项法:221nnnaaa(Nn)且0nana是等比数列 . 4)等比数列的性质:数列na是等比数列, 则数列npa、npa(0q是常数)都是等比数列;(2)),(Nmnqaamnmn(3)若),(Nqpnmqpnm,则qpnmaaaa;(4)若等比数列na的前n项和nS,则kS、kkSS2、kkSS23、kkSS34是等比数列 . (5)设,是等比数列,则也是等比数列。(6)设是等比数列,是等差数列,且则也是等比数列(即等比数列中等距离分离出的
5、子数列仍为等比数列);(7)设是正项等比数列,则是等差数列;(8) 设,则有;(9)其他衍生等比数列:若已知等比数列,公比为,前项和为,则为等比数列,公比为;(即)为等比数列,公比为;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页名师总结优秀知识点三、解题技巧:A、数列求和的常用方法:1、拆项分组法:即把每一项拆成几项,重新组合分成几组,转化为特殊数列求和。2、错项相减法:适用于差比数列(如果na等差,nb等比,那么nna b叫做差比数列)即把每一项都乘以nb的公比 q ,向后错一项,再对应同次项相减,转化为等比数列求和。3、裂
6、项相消法:即把每一项都拆成正负两项,使其正负抵消,只余有限几项,可求和。适用于数列11nnaa和11nnaa(其中na等差) 。可裂项为:111111()nnnnaad aa,1111()nnnnaadaaB、等差数列前n项和的最值问题:1、若等差数列na的首项10a,公差0d,则前n项和nS有最大值。()若已知通项na,则nS最大100nnaa;()若已知2nSpnqn,则当n取最靠近2qp的非零自然数时nS最大;2、若等差数列na的首项10a,公差0d,则前n项和nS有最小值()若已知通项na,则nS最小100nnaa;()若已知2nSpnqn,则当n取最靠近2qp的非零自然数时nS最小;
7、C、根据递推公式求通项:1、构造法:1递推关系形如“qpaann 1” ,利用待定系数法求解【例题】已知数列na中,32, 111nnaaa,求数列na的通项公式 . 2递推关系形如“,两边同除1np或待定系数法求解【例题】nnnaaa32, 111,求数列na的通项公式 . 3递推已知数列na中,关系形如“nnnaqapa12” ,利用待定系数法求解【例题】已知数列na中,nnnaaaaa23,2, 11221,求数列na的通项精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页名师总结优秀知识点公式. 4递推关系形如 11nnnn
8、apaqa a (p,q0), 两边同除以1nna a【例题】已知数列na中,1122nnnnaaa a1(n2),a,求数列na的通项公式. 【例题】数列na中,)(42,211Nnaaaannn,求数列na的通项公式 . 2、迭代法:a、已知关系式)(1nfaann,可利用迭加法或迭代法;11232211)()()()(aaaaaaaaaannnnnnn【例题】已知数列na中,)2(12, 211nnaaann,求数列na的通项公式 b、已知关系式)(1nfaann,可利用迭乘法.1122332211aaaaaaaaaaaannnnnnn【例题】已知数列na满足:111(2),21nnan
9、naan,求求数列na的通项公式;3、给出关于nS和ma的关系【例题】设数列na的前n项和为nS,已知)(3,11NnSaaannn,设nnnSb3,求数列nb的通项公式五、典型例题:A、求值类的计算题(多关于等差等比数列)1)根据基本量求解(方程的思想)【例题】已知nS为等差数列na的前n项和,63, 6,994nSaa,求n;2)根据数列的性质求解(整体思想)【例题】已知nS为等比数列na前n项和,54nS,602nS, 则nS3 . B、求数列通项公式(参考前面根据递推公式求通项部分)C、证明数列是等差或等比数列1) 证明数列等差【例题】已知nS为等差数列na的前n项和,)(NnnSbn
10、n. 求证:数列nb是等差数列 . 2)证明数列等比【例题】数列 an的前 n 项和为 Sn,数列 bn 中,若 an+Sn=n.设 cn=an1,求证:数列cn 是等比数列;D、求数列的前 n 项和【例题 1】求数列n223n的前n项和nS. (拆项求和法)【例题 2】求和: S=1+n32113211211(裂项相消法)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页名师总结优秀知识点【例题 3】设221)(xxxf,求:)4()3()2()()()(213141ffffff;).2010()2009()2()()()()(21312009120101fffffff(倒序相加法)【例题 4】若数列na的通项nnna3)12(,求此数列的前n项和nS.(错位相减法)【例题 5】已知数列 an 的前 n 项和 Sn=12nn2,求数列 |an| 的前 n 项和 Tn. E、数列单调性最值问题【例题】数列na中,492nan, 当数列na的前n项和nS取得最小值时,n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页