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1、名师总结优秀知识点高考数学数列部分知识点梳理一数列的概念1） 数列的前n项和与通项的公式nnaaaS21；)2() 1(11nSSnSannn2）数列的分类：递增数列: 对于任何Nn, 均有nnaa1. 递减数列 : 对于任何Nn, 均有nnaa1. 摆动数列 : 例如 : ., 1,1 , 1, 1 ,1常数数列 : 例如:6,6,6,6,. 有界数列 : 存在正数M使NnMan,. 无界数列 : 对于任何正数M, 总有项na使得Man. 一、等差数列1）通 项 公 式dnaan)1(1，1a 为 首 项 ， d 为 公 差 。 前n项 和 公 式2)(1nnaanS或dnnnaSn)1(2
2、11. 2）等差中项：baA2。3）等差数列的判定方法： 定义法：daann 1（Nn，d 是常数）na是等差数列；中项法：212nnnaaa(Nn)na是等差数列 . 4）等差数列的性质：数列na是等差数列， 则数列pan、npa（p是常数）都是等差数列； 在 等 差 数 列na中 ，等 距 离 取 出 若 干 项 也 构成 一 个 等差 数 列 ，即,32knknknnaaaa为等差数列，公差为kd . dmnaamn)(；banan(a, b是常数 )；bnanSn2(a, b是常数，0a) 若),(Nqpnmqpnm，则qpnmaaaa；若等差数列na的前n项和nS，则nSn是等差数列
3、；当项数为)(2Nnn，则nnaaSSndSS1,奇偶奇偶；当项数为)( 12Nnn，则nnSSaSSn1,奇偶偶奇. (7)设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列； (8)设，则有； (9) 是等差数列的前项和，则； (10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页名师总结优秀知识点为等差数列，公差为；（即）为等差数列，公差；（即）为等差数列，公差为. 二、等比数列1）通项公式：11nnqaa，1a 为首项，q为公比 。前n项和公式：当1q时，1naSn当1q时
4、，qqaaqqaSnnn11)1(11. 2）等比中项：baG2。；3）等比数列的判定方法：定义法：qaann 1（Nn，0q是常数）na是等比数列；中项法：221nnnaaa(Nn)且0nana是等比数列 . 4）等比数列的性质：数列na是等比数列， 则数列npa、npa（0q是常数）都是等比数列；（2）),(Nmnqaamnmn（3）若),(Nqpnmqpnm，则qpnmaaaa；（4）若等比数列na的前n项和nS，则kS、kkSS2、kkSS23、kkSS34是等比数列 . （5）设，是等比数列，则也是等比数列。（6）设是等比数列，是等差数列，且则也是等比数列（即等比数列中等距离分离出的
5、子数列仍为等比数列）；（7）设是正项等比数列，则是等差数列；（8） 设，则有；（9）其他衍生等比数列：若已知等比数列，公比为，前项和为，则为等比数列，公比为；（即）为等比数列，公比为；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页名师总结优秀知识点三、解题技巧：A、数列求和的常用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。2、错项相减法：适用于差比数列（如果na等差，nb等比，那么nna b叫做差比数列）即把每一项都乘以nb的公比 q ，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。3、裂
6、项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于数列11nnaa和11nnaa（其中na等差） 。可裂项为：111111()nnnnaad aa，1111()nnnnaadaaB、等差数列前n项和的最值问题：1、若等差数列na的首项10a，公差0d，则前n项和nS有最大值。（）若已知通项na，则nS最大100nnaa；（）若已知2nSpnqn，则当n取最靠近2qp的非零自然数时nS最大；2、若等差数列na的首项10a，公差0d，则前n项和nS有最小值（）若已知通项na，则nS最小100nnaa；（）若已知2nSpnqn，则当n取最靠近2qp的非零自然数时nS最小；
7、C、根据递推公式求通项：1、构造法：1递推关系形如“qpaann 1” ，利用待定系数法求解【例题】已知数列na中，32, 111nnaaa，求数列na的通项公式 . 2递推关系形如“，两边同除1np或待定系数法求解【例题】nnnaaa32, 111，求数列na的通项公式 . 3递推已知数列na中，关系形如“nnnaqapa12” ，利用待定系数法求解【例题】已知数列na中，nnnaaaaa23,2, 11221，求数列na的通项精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页名师总结优秀知识点公式. 4递推关系形如 11nnnn
8、apaqa a （p,q0), 两边同除以1nna a【例题】已知数列na中，1122nnnnaaa a1（n2),a，求数列na的通项公式. 【例题】数列na中，)(42,211Nnaaaannn，求数列na的通项公式 . 2、迭代法：a、已知关系式)(1nfaann，可利用迭加法或迭代法；11232211)()()()(aaaaaaaaaannnnnnn【例题】已知数列na中，)2(12, 211nnaaann，求数列na的通项公式 b、已知关系式)(1nfaann，可利用迭乘法.1122332211aaaaaaaaaaaannnnnnn【例题】已知数列na满足：111(2),21nnan
9、naan，求求数列na的通项公式；3、给出关于nS和ma的关系【例题】设数列na的前n项和为nS，已知)(3,11NnSaaannn，设nnnSb3，求数列nb的通项公式五、典型例题：A、求值类的计算题（多关于等差等比数列）1）根据基本量求解（方程的思想）【例题】已知nS为等差数列na的前n项和，63, 6,994nSaa，求n；2）根据数列的性质求解（整体思想）【例题】已知nS为等比数列na前n项和，54nS，602nS， 则nS3 . B、求数列通项公式（参考前面根据递推公式求通项部分）C、证明数列是等差或等比数列1) 证明数列等差【例题】已知nS为等差数列na的前n项和，)(NnnSbn
10、n. 求证：数列nb是等差数列 . 2）证明数列等比【例题】数列 an的前 n 项和为 Sn，数列 bn 中，若 an+Sn=n.设 cn=an1，求证：数列cn 是等比数列；D、求数列的前 n 项和【例题 1】求数列n223n的前n项和nS. （拆项求和法）【例题 2】求和： S=1+n32113211211（裂项相消法）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页名师总结优秀知识点【例题 3】设221)(xxxf，求：)4()3()2()()()(213141ffffff；).2010()2009()2()()()()(21312009120101fffffff（倒序相加法）【例题 4】若数列na的通项nnna3)12(，求此数列的前n项和nS.（错位相减法）【例题 5】已知数列 an 的前 n 项和 Sn=12nn2，求数列 |an| 的前 n 项和 Tn. E、数列单调性最值问题【例题】数列na中，492nan， 当数列na的前n项和nS取得最小值时，n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页
