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1、- 1 - 相交线与平行线专题总结一、知识点填空1.两直线相交所成的四个角中，有一条公共边， 它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为_. 2.对顶角的性质可概括为：3.两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互_. 4.垂线的性质：过一点_ 一条直线与已知直线垂直连接直线外一点与直线上各点的所在线段中，5.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做6.两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中:如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做_ ；如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧
2、，具有这种关系的一对角叫做_ ；如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做 _. 7.在同一平面内，不相交的两条直线互相_. 同一平面内的两条直线的位置关系只有_ 与_ 两种 . 8.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线_. 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_. 9.平行线的判定：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 .简单说成： _.两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：_. 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：_. 10.在同一平面内
3、， 如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_ . 11.平行线的性质：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成： 两 条 平 行 直 线 被 第 三 条 直 线 所 截 ， 内 错 角 相 等 . 简 单 说 成 ：_.两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补 .简单说成： _ . 12.判断一件事情的语句，叫做_. 命题由 _ 和 _ 两部分组成.题设是已知事项，结论是_.命题常可以写成“如果那么”的形式，这时“如果”后接的部分是， “那么”后接的部分是 _. 如果题设成立， 那么结论一定成立.像这样的命题叫做_. 如果题设成立时，不能保证结论一定成立，像这样的命题叫做_
4、. 定理都是真命题. 13.把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新图形，图形的这种移动，叫做平移变换，简称_. 图形平移的方向不一定是水平的. 14.平移的性质：把一个图形整体平移得到的新图形与原图形的形状与大小完全_ _.新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点.连接各组对应点的线段_. 二：典型题型训练15.如图，,8,6,10,BCAC CBcm ACcm ABcm那么点A到BC的距离是 _ ，点B到AC的距离是_ ，点A、B两点的距离是 _ ，点C到AB的距离是 _ 16.设a、b、c为平面上三条不同直线，若/,/ab bc，则a与c的位置关系是_ ；
5、 若,ab bc， 则a与c的位置关系是_ ； 若/ab，bc，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页- 2 - 则a与c的位置关系是_ 17.如图，已知AB、CD、EF相交于点O，ABCD，OG平分AOE，FOD28 ，求COE、AOE、AOG的度数18.如图，AOC与BOC是邻补角，OD、OE分别是AOC与BOC的平分线，试判断OD与OE的位置关系，并说明理由19.如图，ABDE，试问B、E、BCE有什么关系解：BEBCE过点C作CFAB，则B_ （）又ABDE，ABCF， _ （）E_ （）BE12 即BEBCE
6、20.如图，已知 12 求证：ab直线/ab，求证：1221.阅读理解并在括号内填注理由：如图，已知ABCD，12，试说明EPFQ证明：ABCD，MEBMFD（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页- 3 - 又 12，MEB1MFD2，即MEP_ EP_ （）22.已知DBFGEC，A是FG上一点，ABD60，ACE36 ，AP平分BAC，求：BAC的大小；PAG的大小 . 23.如图，已知ABC，ADBC于D，E为AB上一点，EFBC于F，/DGBA交 CA 于G. 求证1224.已知：如图 1= 2，C= D，
7、问A与F相等吗？试说明理由三：兴趣拓展平行线问题： 平行线是我们日常生活中非常常见的图形练习本每一页中的横线、直尺的上下两边、人行横道上的“斑马线”以及黑板框的对边、桌面的对边、教室墙壁的对边等等均是互相平行的线段正因为平行线在生活中的广泛应用，因此有关它的基本知识及性质成为中学几何的基本知识正因为平行线在几何理论中的基础性，平行线成为古往今来很多数学家非常重视的研究对象历史上关于平行公理的三种假设，产生了三种不同的几何(罗巴切夫斯基几何、黎曼几何及欧几里得几何 )，它们在使人们认识宇宙空间中起着非常重要的作用现行中学中所学的几何是属于欧几里得几何，它是建立在这样一个公理基础之上的：“在平面中
8、，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”在此基础上，我们学习了两条平行线的判定定理及性质定理下面我们举例说明这些知识的应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页- 4 - 例 1 如图 118 ，直线 a b，直线 AB 交 a 与 b 于 A，B，CA 平分 1，CB 平分 2，求证：C=90 例 2 如图 121 所示， AA1 BA2求A1= B1+ A2例 3 如图 126 所示 AEBD， 1=3 2，2=25 ，求C例 4 求证：三角形内角之和等于180 例 5 求证：四边形内角和等于360 例
9、6 如图 129 所示直线 l 的同侧有三点 A，B，C，且 AB l，BCl求证： A，B，C 三点在同一条直线上例 7 如图 130 所示1= 2， D=90 ， EFCD求证：3= B四，课后思考题1如图 131 所示已知 AB CD，B=100 ， EF平分BEC，EGEF求BEG 和 DEG精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页- 5 - 2如图 132 所示 CD 是ACB 的平分线，ACB=40 ， B=70 ，DE BC求EDC 和BDC 的度数3如图 133 所示AB CD， BAE=30 ， DCE
10、=60 ， EF，EG 三等分AEC问： EF与 EG 中有没有与 AB 平行的直线，为什么？4证明：五边形内角和等于540 5如图 134 所示已知 CD 平分ACB，且 DE ACCD EF求证：EF平分DEB参考答案一：1.邻补角2.对顶角，对顶角相等3.垂直有且只有垂线段最短4.点到直线的距离5.同位角内错角同旁内角6.平行相交平行7.平行这两直线互相平行8.同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行 .9.平行10.两直线平行同位角相等； 两直线平行内错角相等； 两直线平行同旁内角互补 .11.命题题设结论由已知事项推出的事项题设结论真命题假命题12.平移相同
11、平行且相等13.6cm 8cm 10cm 4.8cm.14.平行平行垂直15.281185916. ODOE理由略17. 1（两直线平行，内错角相等）DECF（平行于同一直线的两条直线平行）2（两直线平行，内错角相等）.18. 1 2，又 2 3（对顶角相等） ， 1 3ab（同位角相等两直线平行）ab 1 3(两直线平行，同位角相等)又 2 3（对顶角相等） 1 2.19. 两直线平行，同位角相等MFQFQ同位角相等两直线平行20.96， 12.21.,ADBC FEBCQ90EFBADBo/EFAD23/,31DGBAQ12.22. AF. 1 DGF（对顶角相等） 又 1 2 DGF 2
12、DBEC（同位角相等，两直线平行） DBA C（两直线平行，同位角相等）又 C D DBA DDFAC（内错角相等，两直线平行）A F(两直线平行 ,内错角相等 ). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页- 6 - 三例 1 如图 1 18，直线 ab，直线 AB交 a 与 b 于 A，B，CA平分 1，CB平分 2 ，求证： C=90 分析 由于 ab，1，2 是两个同侧内角，因此 1+2= 过 C点作直线 l ，使 l a(或 b) 即可通过平行线的性质实现等角转移证 过 C点作直线 l ，使 l a(图 119
13、)因为 ab，所以 bl ，所以 1+2=180(同侧内角互补 ) 因为 AC平分 1，BC平分 2，所以又3=CAE ，4=CBF( 内错角相等 ) ，所以 3+4=CAE+ CBF 说明 做完此题不妨想一想这个问题的“反问题”是否成立，即“两条直线 a，b 被直线 AB所截(如图 120 所示) ，CA ，CB分别是 BAE与ABF的平分线，若 C=90 ，问直线 a 与直线 b 是否一定平行？”由于这个问题与上述问题非常相似( 将条件与结论交换位置 )，因此，不妨模仿原问题的解决方法来试解例 2 如图 121 所示， AA1BA2求A1-B1+A2分析 本题对 A1，A2，B1的大小并没
14、有给出特定的数值，因此，答案显然与所给的三个角的大小无关也就是说，不管A1，A2，B1的大小如何，答案应是确定的我们从图形直观，有理由猜想答案大概是零，即 A1+A2=B1 猜想，常常受到直观的启发，但猜想必须经过严格的证明式给我们一种启发，能不能将 B1一分为二使其每一部分分别等于A1与A2 这就引发我们过 B1点引 AA1( 从而也是 BA2)的平行线，它将 B1一分为二精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页- 7 - 证 过 B1引 B1EAA1，它将 A1B1A2分成两个角： 1，2(如图 122 所示) 因为
15、 AA1BA2， 所以 B1EBA2从而 1=A1， 2=A2( 内错角相等 )，所以 B1=1+2=A1+A2，即 A1-B1+A2=0说明(1) 从证题的过程可以发现，问题的实质在于AA1BA2，它与连接A1，A2两点之间的折线段的数目无关，如图123 所示连接 A1，A2之间的折线段增加到 4 条：A1B1，B1A2，A2B2，B2A3，仍然有A1+A2+A3=B1+B2 ( 即那些向右凸出的角的和 =向左凸的角的和 ) 即A1-B1+A2-B2+A3=0进一步可以推广为 A1-B1+A2-B2-Bn-1+An=0这时，连结 A1，An之间的折线段共有 n 段 A1B1，B1A2，Bn-
16、1An( 当然，仍要保持 AA1BAn)推广是一种发展自己思考能力的方法，有些简单的问题， 如果抓住了问题的本质，那么，在本质不变的情况下， 可以将问题推广到复杂的情况(2) 这个问题也可以将条件与结论对换一下，变成一个新问题问题 1 如图 124 所示 A1+A2=B1，问 AA1与 BA2是否平行？问题 2 如图 125 所示若A1+A2+An=B1+B2+Bn-1，问 AA1与 BAn是否平行？这两个问题请同学加以思考例 3 如图 126 所示 AE BD ，1=32，2=25，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10
17、 页- 8 - 求C 分析 利用平行线的性质，可以将角“转移”到新的位置，如1=DFC或AFB 若能将 1，2，C “集中”到一个顶点处，这是最理想不过的了，过 F 点作 BC的平行线恰能实现这个目标解 过 F 到 FGCB ，交 AB 于 G ，则C= AFG( 同位角相等 ) ，2=BFG( 内错角相等 ) 因为 AEBD ，所以 1=BFA(内错角相等 ) ，所以 C= AFG= BFA -BFG= 1-2=32-2=22=50说明(1) 运用平行线的性质， 将角集中到适当位置， 是添加辅助线 (平行线) 的常用技巧 (2) 在学过“三角形内角和”知识后，可有以下较为简便的解法： 1=D
18、FC= C+ 2，即 C=1-2=22=50例 4 求证：三角形内角之和等于180分析 平角为 180若能运用平行线的性质，将三角形三个内角集中到同一顶点，并得到一个平角，问题即可解决，下面方法是最简单的一种证 如图 127 所示，在 ABC中，过 A引 l BC ，则B=1，C= 2( 内错角相等 ) 显然 1+BAC+ 2=平角，所以 A+B+C=180 说明 事实上，我们可以运用平行线的性质，通过添加与三角形三条边平行的直线，将三角形的三个内角“转移”到任意一点得到平角的结论如将平角的顶点设在某一边内，或干脆不在三角形的边上的其他任何一点处，不过，解法将较为麻烦同学们不妨试一试这种较为麻
19、烦的证法例 5 求证：四边形内角和等于360分析 应用例 3 类似的方法，添加适当的平行线，将这四个角“聚合”在一起使它们之和恰为一个周角在添加平行线中， 尽可能利用原来的内角及边，应能减少推理过程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页- 9 - 证 如图 128 所示，四边形 ABCD 中，过顶点 B引 BE AD ，BF CD ，并延长 AB，CB到 H，G 则有 A=2(同位角相等 )，D= 1(内错角相等) ，1=3(同位角相等 ) C= 4(同位角相等 )，又 ABC( 即B)=GBH( 对顶角相等 ) 由于
20、 2+3+4+GBH=360 ，所以A+B+C+ D=360 说明(1) 同例 3，周角的顶点可以取在平面内的任意位置，证明的本质不变(2) 总结例 3、例 4，并将结论的叙述形式变化，可将结论加以推广：三角形内角和 =180=(3-2) 180，四边形内角和 =360=2180=(4-2)180人们不禁会猜想：五边形内角和=(5-2) 180=540， n 边形内角和 =(n-2)180这个猜想是正确的， 它们的证明在学过三角形内角和之后，证明将非常简单 (3) 在解题过程中，将一些表面并不相同的问题，从形式上加以适当变形，找到它们本质上的共同之处，将问题加以推广或一般化，这是发展人的思维能
21、力的一种重要方法例 6 如图 129所示直线 l 的同侧有三点 A，B，C，且 AB l ，BC l 求证： A，B，C三点在同一条直线上分析 A，B，C三点在同一条直线上可以理解为ABC为平角，即只要证明射线 BA与 BC所夹的角为 180即可，考虑到以直线l 上任意一点为顶点，该点分直线所成的两条射线为边所成的角均为平角，结合所给平行条件，过 B作与 l 相交的直线，就可将l 上的平角转换到顶点B处证 过 B作直线 BD，交 l 于 D因为 AB l ，CB l ，所以1=ABD ，2=CBD( 内错角相等 )又 1+2=180，所以 ABD+ CBD=180 ，即 ABC=180 =平角
22、 A，B，C三点共线 思考 若将问题加以推广：在 l 的同侧有 n 个点 A1， A2， ，An-1， An， 且有 AiAi+1 l(i=1 ， 2， ，n-1) 是否还有同样的结论？例 7 如图 130 所示 1=2，D=90 ，EF CD 求证： 3=B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页- 10 - 分析 如果 3=B，则应需 EF BC 又知1=2，则有 BCAD 从而，应有 EFAD 这一点从条件 EF CD及D=90 不难获得证 因为 1=2，所以AD BC(内错角相等，两直线平行 ) 因为 D=90 及 EF CD ，所以AD EF(同位角相等，两直线平行 ) 所以 BCEF(平行公理 ) ，所以3=B(两直线平行，同位角相等)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页
