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1、问题提出问题提出对此你有什么困惑？对此你有什么困惑？ 由于实数的局限性，导致某些数学问题由于实数的局限性，导致某些数学问题出现矛盾的结果，数学家们预测，在实数出现矛盾的结果，数学家们预测，在实数范围外还有一类新数存在，还有比实数集范围外还有一类新数存在，还有比实数集更大的数系更大的数系. .问题提出问题提出 从社会生活来看为了满足生活和生产实践从社会生活来看为了满足生活和生产实践的需要，数的概念在不断地发展的需要，数的概念在不断地发展. . 从数学内部来看，数集是在按某种从数学内部来看，数集是在按某种 “规规则则”不断扩充的不断扩充的. .自然数自然数是是“数数”出来的，其历史最早可以追溯出来
2、的，其历史最早可以追溯到五万年前到五万年前. . 探究点探究点1 1 数系的扩充数系的扩充 负数负数是是“欠欠”出来的出来的. .它是由于借贷关系中量的它是由于借贷关系中量的不同意义而产生的不同意义而产生的. .我国我国三国时期数学家刘徽（公三国时期数学家刘徽（公元元250250年前后）首先给出年前后）首先给出了负数的定义、记法和加了负数的定义、记法和加减运算法则减运算法则. .刘徽（公元刘徽（公元250年前后）年前后）数集扩充到整数集数集扩充到整数集 分数（有理数）分数（有理数）是是“分分”出来的出来的. .早在古希腊时期，早在古希腊时期，人类已经对有理数有了非常人类已经对有理数有了非常清楚
3、的认识，而且他们认为清楚的认识，而且他们认为有理数就是所有的数有理数就是所有的数. .数集扩充到有理数集数集扩充到有理数集11边长为边长为1 1的正方形的对角线长度为多少？的正方形的对角线长度为多少？毕达哥拉斯毕达哥拉斯(约公元前约公元前560480年）年） 无理数无理数是是“推推”出来出来的的. .公元前六世纪，古希公元前六世纪，古希腊毕达哥拉斯学派利用毕腊毕达哥拉斯学派利用毕达哥拉斯定理，发现了达哥拉斯定理，发现了“无理数无理数”. . “无理数无理数”的的承认（公元前承认（公元前4 4世纪）是世纪）是数学发展史上的一个里程数学发展史上的一个里程碑碑. . 数集扩充到实数集数集扩充到实数集
4、正数与负数，正数与负数，有理数与无理数，有理数与无理数，都是具有都是具有“实际意义的量实际意义的量”，称之为称之为“实数实数”，构成实数系统，构成实数系统. .实数系统是一个没有缝隙的连续系统实数系统是一个没有缝隙的连续系统. .实数集能否继实数集能否继续扩充呢续扩充呢? ? 数系每次扩充的基本原则：数系每次扩充的基本原则： 第一、第一、增加新元素；增加新元素； 第二、第二、原有的运算性质仍然成立；原有的运算性质仍然成立； 第三、第三、新数系能解决旧数系中的矛盾新数系能解决旧数系中的矛盾. . 由由 得得 ，这与这与 矛盾的原因是什么？矛盾的原因是什么？ 方程方程x x2 2x x1 10 0
5、无实根无实根 方程方程x x2 2x x1 10 0无实根无实根的根本原的根本原因是什么？因是什么？1 1不能开平方不能开平方 问题探究问题探究 为了解决负数开平方问题，为了解决负数开平方问题，数学家大胆引入数学家大胆引入数学家大胆引入数学家大胆引入一个新数一个新数一个新数一个新数 i i ，把把把把 i i 叫做虚数单位，并且规定：叫做虚数单位，并且规定：叫做虚数单位，并且规定：叫做虚数单位，并且规定： (1)(1) i i 2 2 2 21 1 1 1； (2)(2)实数可以与实数可以与实数可以与实数可以与 i i 进行四则运算进行四则运算进行四则运算进行四则运算, , , ,在进行四则运
6、算时在进行四则运算时在进行四则运算时在进行四则运算时, , , ,原有的加法与乘法的运算律原有的加法与乘法的运算律原有的加法与乘法的运算律原有的加法与乘法的运算律( ( ( (包括交换律、结合律和分配包括交换律、结合律和分配包括交换律、结合律和分配包括交换律、结合律和分配律律律律) ) ) )仍然成立仍然成立仍然成立仍然成立. . . .问题解决问题解决:给出出“虚数虚数”这一名称的是一名称的是法国数学家笛卡法国数学家笛卡尔尔(15961650)，他在，他在几何学几何学(1637年年发表表)中使中使“虚的数虚的数”与与“实的数的数”相相对应，从此，从此，虚数才流虚数才流传开来开来.笛卡尔笛卡尔
7、(R.Descartes,15961650) 我们了引入一个新数我们了引入一个新数i i，这个数是，这个数是1 1的一个平方根，的一个平方根，思考：思考：方程方程x x2 2x x1 10 0的根是什么？的根是什么？1 1的还有其它平方根吗的还有其它平方根吗? ?-i-i思考：思考：若若x x4 41 1，则，则x x等于什么？等于什么？1 1，1 1，i i，i. i. 思考：思考： 满足满足i i2 21 1的新数的新数i i显然不是实数，显然不是实数，称为称为虚数单位，虚数单位，根据数系的扩充原则，根据数系的扩充原则，应规定虚数单位应规定虚数单位i i和实数之间的运算满和实数之间的运算满
8、足哪些运算律？足哪些运算律？乘法和加法都满足交换律、结合律，乘法和加法都满足交换律、结合律，乘法对加法满足分配律乘法对加法满足分配律. .思考：思考：1 1、虚数单位虚数单位i i与实数进行四则运算，与实数进行四则运算，可以形成哪种一般形式的数？可以形成哪种一般形式的数？ abi i（a，bRR）2 2、把形如把形如abi i（a，bRR）的数叫做）的数叫做复数，复数，全体复数所成的集合叫做全体复数所成的集合叫做复数集，复数集，记作记作C C，那么复数集如何用描述法表示那么复数集如何用描述法表示？ C C abi|i|a，bRR 问题探究问题探究3 3、复数通常用字母复数通常用字母z z表示，
9、即表示，即 z zabi i（a，bRR），这一表示形式），这一表示形式叫做复数的叫做复数的代数形式，代数形式，其中其中a与与b分别分别叫做复数叫做复数z z的的实部实部与与虚部，虚部，那么复数那么复数 z z 3i3i的实部和虚部分别是什么？的实部和虚部分别是什么？实部为实部为 , ,虚部为虚部为3.3.问题探究问题探究4 4、两个实数可以相等，两个复数也两个实数可以相等，两个复数也可以相等，并且规定：可以相等，并且规定：abi icdi i（a，b，c，dRR）的充要条件是的充要条件是ac且且bd，那么那么abi i0 0的充要条件是的充要条件是什么？什么？ ab0 0问题探究问题探究5
10、5、对于复数对于复数z zabi i（a，bRR）当当b b0 0时，时，z z为什么数？由此说明实为什么数？由此说明实数集与复数集的关系如何？数集与复数集的关系如何？当当b0 0时时z z为实数为实数. . 实数集实数集R R是复数集是复数集C C的真子集的真子集. . 问题探究问题探究6 6、对于复数对于复数z zabi i（a，bRR）当）当b00时，时，z z叫做叫做虚数，虚数，当当a0 0且且b00时，时，z z叫做叫做纯虚数，纯虚数，那么虚数集与纯虚数集那么虚数集与纯虚数集之间如何？之间如何？ 纯虚数集是虚数集的真子集纯虚数集是虚数集的真子集. . 问题探究问题探究实部实部实部实部
11、复数的代数形式：复数的代数形式：通常用字母通常用字母 z 表示，即表示，即虚部虚部虚部虚部其中其中 称为称为虚数单位虚数单位。复数集复数集C C和实数集和实数集R R之间有什么关系？之间有什么关系？讨论？讨论？复数复数a+bia+bi7 7、复数集、实数集、虚数集、纯虚复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系用韦恩图怎样表示数集之间的关系用韦恩图怎样表示？ 复数复数实数实数虚数虚数纯虚数纯虚数问题探究问题探究8 8、两个实数可以比较大小，一个实数与两个实数可以比较大小，一个实数与一个虚数或两个虚数可以比较大小吗？一个虚数或两个虚数可以比较大小吗？注意：注意：一般对两个不全是实数的复数只能说一
12、般对两个不全是实数的复数只能说相等或不相等；相等或不相等；不能比较大小不能比较大小。例例1.说明下列数是否是虚数，并说明下列数是否是虚数，并说明各数的实部与虚部说明各数的实部与虚部例例2. 实数实数m 取什么值时，复数取什么值时，复数 z=(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i (1) 是实数？是实数？(2)纯虚数？纯虚数？ (3)零？零？ 解：解：(1)当当m2-5m-6=0时，时，即即m=6或或m=-1时，时，z为实数为实数(2)当当 时，时，m2-3m-4=0m2-5m-6 0即即m=4时，时， z为为纯虚数纯虚数(3)当当 时，时，m2-3m-4=0m2-5m-6=0即即m=-1时，
13、时， z为零为零1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。5 +8，0 02 2、判断下列命题是否正确：判断下列命题是否正确：（1 1）若）若a a、b b为实数，则为实数，则Z=Z=a+bia+bi为虚数为虚数（2 2）若）若b b为实数，则为实数，则Z=biZ=bi必为纯虚数必为纯虚数（3 3）若）若a a为实数，则为实数，则Z= aZ= a一定不是虚数一定不是虚数-121 1、（广东卷）下列、（广东卷）下列、（广东卷）下列、（广东卷）下列n n的取值中，使的取值中，使的取值中
14、，使的取值中，使 i in n =1 (=1 (i i是虚数单位）是虚数单位）是虚数单位）是虚数单位）的是（的是（的是（的是（ ）A A、n n=6 B=6 B、n n=7 C=7 C、n n=8 D=8 D、n n=9=92 2、（湖南卷）复数、（湖南卷）复数、（湖南卷）复数、（湖南卷）复数Z=Z=i i+ +i i2 2+ +i i3 3+ +i i4 4的值是（的值是（的值是（的值是（ ）A A、- - B B、0 C0 C、1 1 、i i3 3、（福建卷）复数（福建卷）复数i6(1+i)的实部是的实部是_。CB-14 4、（四川卷）复数（四川卷）复数i7(1+i)的实部是的实部是_。1
