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1、1 正弦、余弦定理知识回忆:1、直角三角形中,角与边的等式关系:在RtABC中,设 BC =a,AC =b,AB =c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义,有sinaAc,sinbBc,又sin1cCc,从而在直角三角形 ABC中,sinsinsinabcABC2、 当ABC是锐角三角形时, 设边 AB上的高是 CD ,根据任意角三角函数的定义,有 CD =sinsinaBbA,则sinsinabAB,同理可得sinsincbCB,从而sinsinabABsincC3、正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的的比相等,即sinsinabABsincC4、理解定理1正弦定理说明同一三角形中,边与
2、其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k 使sinakA,sinckC;2sinsinabABsincC等价于,sinsincbCB,sinaAsincC3正弦定理的基本作用为: 已 知 三 角 形 的 任 意 两 角 及 其 一 边 可 以 求 其 他 边 , 如sinsinbAaB;b已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如sinsinaABb;sinC4 一般地,已知三角形的某些边和角, 求其它的边和角的过程叫作解三角形 5、知识拓展sinsinabAB2sincRC,其中2R为外接圆直径 . 6、勾股定理:7、余弦定理:三角形中平方等于减去的两倍,即2
3、a;2b;2c。8、余弦定理的推论:Acos;Bcos;Ccos。9、在,反之成立;则中,若,222cbaABC,反之成立;则中,若,222cbaABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 16 页2 ,反之成立;则中,若,222cbaABC典型例题:例 1、在ABC中,已知45A,60B,42acm ,解三角形例 2、1在 ABC中,已知a=2, b=2, c=3 1求 cosB. 2在 ABC中,已知a=3 3, c=2 、B=1500求 b. 3在 ABC中,已知a=8, b=4 2、B=300求 c.例 3、在CAac
4、BbABC, 1,60,30和求中,解:21360sin1sinsin,sinsin0bBcCCcBb00090,30,60,BCCBCBcb为锐角,222cba例 4、CBbaAcABC,2,45,60和求中,解:23245sin6sinsin,sinsin0aAcCCcAa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 16 页3 0012060,sin或CcaAc1360sin75sin6sinsin,75600000CBcbBC时,当,1360sin15sin6sinsin,151200000CBcbBC时,当或0060,75,
5、 13CBb00120,15, 13CBb例5、 在ABC 中,求证:)coscos(aAbBcabba证明:将acbcaB2cos222,bcacbA2cos222代入右边得右边2222222222()222acbbcaabcabcabcab22abababba左边,)coscos(aAbBcabba例6、 在锐角 ABC 中,求证:CBACBAcoscoscossinsinsin证明: ABC 是锐角三角形,,2AB即022ABsinsin()2AB,即sincosAB;同理sincosBC;sincosCACBACBAcoscoscossinsinsin例7、 在ABC 中,求证:2co
6、s2cos2cos4sinsinsinCBACBA。证明:sinsinsin2sincossin()22ABABABCAB2sincos2sincos2222ABABABAB2sin(coscos)222ABABAB2cos2coscos222CAB4coscoscos222ABC2cos2cos2cos4sinsinsinCBACBA例8、 在ABC 中,假设0120BA,则求证:1cabcba。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 16 页4 证明:要证1cabcba,只要证2221aacbbcabbcacc,即222ab
7、cab而0120 ,AB060C2222220cos,2cos602abcCabcababab原式成立。例 9、在ABC中,假设223coscos222CAbac,则求证:2acb证明:223coscos222CAbac1cos1cos3sinsinsin222CABAC即sinsincossinsincos3sinAACCCABsinsinsin()3sinACACB即sinsin2sinACB,2acb例 10、在ABC中,假设)sin()()sin()(2222BAbaBAba,请判断三角形的形状。解:22222222sin()sincossin,sin()cossinsinabABaA
8、BAabABbABBcossin,sin 2sin2 ,222cossinBAABABABAB或2等腰或直角三角形例 11、中,abc、 、分别为内角ABC、 、的对边,且2 sin(2)sin(2)sinaAbcBcbC求A的大小;假设sinsin1BC,试判断ABC的形状 . 解: 由已知,根据正弦定理得cbcbcba)2()2(22即bccba222由余弦定理得Abccbacos2222故120,21cosAA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 16 页5 由得.sinsinsinsinsin222CBCBA又1sin
9、sinCB,得21sinsinCB因为900 ,900CB,故BC所以ABC是等腰的钝角三角形。例12、 在 ABC 内接于半径为R的圆,且,sin)2()sin(sin222BbaCAR求ABC 的面积的最大值。解: 2sinsin2sinsin( 2)sin,RAARCCabB222sinsin( 2)sin,2,aAcCabB acabb222222022,cos,4522abcabcabCCab2222 ,2sin2 ,22,sincR cRCR abRabC22222222,22RRababab ab21222sin,24422RSabCab2max212RS例13、 ABC的三边c
10、ba且2,2CAbca,求:a b c解:sinsin2sin,2sincos4sincos2222ACACACACACB12147sincos,cos,sin2sincos222424224BACBBBB3,24242BBACACB AC33371sinsin()sincoscossin4444ABBB71sinsin()sincoscossin4444CBBB:sin:sin:sina b cABC)77(:7:)77(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 16 页6 例 14、C中,BC= a, AC=b, a, b 是
11、方程02322xx的两个根,且2cos(A+B)=1 求1角 C的度数2AB的长度3ABC 的面积解: 1cosC=cos(A+B)=cos(A+B)=21C=1202由题设:232babaAB2=AC2+BC22AC ?BC ?osC120cos222abbaabba22102)32()(22abba即 AB= 103SABC=2323221120sin21sin21abCab课后小结:1. 正弦定理:sinsinabABsincC2. 正弦定理的证明方法:三角函数的定义,还有 等积法,外接圆法,向量法. 3应用正弦定理解三角形:已知两角和一边;已知两边和其中一边的对角课后练习:一、选择题1
12、在 ABC 中,假设0030,6,90BaC,则bc等于A1 B 1 C 32 D 322假设A为ABC 的内角,则以下函数中一定取正值的是AAsin BAcosCAtan DAtan13在 ABC 中,角,A B均为锐角,且,sincosBA则ABC 的形状是A直角三角形 B锐角三角形 C 钝角三角形 D等腰三角形4等腰三角形一腰上的高是3 ,这条高与底边的夹角为060,则底边长为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 16 页7 A2 B 23 C 3 D 325在ABC中,假设Babsin2,则A等于A006030 或 B
13、006045 或 C 0060120 或 D 0015030 或6边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是 A 090 B0120C0135 D 0150二、填空题1在RtABC中,090C,则BAsinsin的最大值是 _ 。2在 ABC 中,假设Acbcba则,222_。3在 ABC 中,假设aCBb则,135,30, 200_。4在 ABC 中,假设sin Asin Bsin C7813,则C_ 。5在 ABC 中,,26AB030C,则ACBC的最大值是 _。三、解答题15在 ABC 中,已知2b,c=1,45B,求 a,A,C16在 ABC 中,a+b=1,A=600,B=45
14、0,求 a,b 17. 在ABC 中,12 3ABCS,48ac,2ac,求 b. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 16 页8 18. 如图,在四边形 ABCD 中,AC平分 DAB ,ABC=600,AC=7 ,AD=6 , SADC=2315,求 AB的长. 19、BC中,AB 5,AC 3,D为 BC中点,且 AD 4,求 BC边长解:设 BC边为,则由 D为 BC中点,可得 BD DC 2x,在ADB 中,cosADB ,2425)2(42222222xxBDADABBDAD在ADC中,cosADC.2423)2
15、(42222222xxDCADACDCAD又ADB ADC 180cosADB cos180 ADC cosADC2423)2(42425)2(4222222xxxx解得, 2, 所以, BC边长为 2一、选择题1.C 00tan30 ,tan302 3,24 4,2 3bbacbcba6002 1 D C B A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 16 页9 2.A 0,sin0AA3.C cossin()sin,22AABA B都是锐角,则,222AB ABC4.D 作出图形5.D 012 sin,sin2sinsin
16、,sin,302baBBABAA或01506.B 设中间角为,则22200005871cos,60 ,1806012025 82为所求二、填空题1.1211sinsinsincossin 222ABAAA2.012022201cos,12022bcaAAbc3.2600sin6215 ,4sin4sin154sinsinsin4abbAAaAABB4. 0120ab csin Asin BsinC7813,令7 ,8 ,13ak bk ck22201cos,12022abcCCab5. 4,sinsinsinsinsinsinACBCABACBCABBACBACACBC2(62)(sinsin
17、)4(62)sincos22ABABABmax4cos4,()42ABACBC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 16 页10 第二讲正弦、余弦定理的应用例 1、在某点 B处测得建筑物 AE的顶端 A的仰角为,沿 BE方向前进 30m ,至点 C处测得顶端 A的仰角为 2,再继续前进 103m至 D点,测得顶端 A的仰角为 4,求的大小和建筑物 AE的高。解法一: 用正弦定理求解由已知可得在ACD 中, AC=BC=30, AD=DC=103,ADC =180 -4,2sin310=)4180sin(30。因为 sin4=2
18、sin2cos2cos2=23, 得 2=30=15 ,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 16 页11 在 RtADE 中,AE=ADsin60 =15 答:所求角为 15 ,建筑物高度为 15m 解法二: 设方程来求解设DE= x,AE=h 在 RtACE中,(103+ x)2 + h2=302在 RtADE中,x2+h2=(103)2两式相减,得 x=53,h=15 在 RtACE中,tan2=xh310=332=30 ,=15答:所求角为 15 ,建筑物高度为 15m 解法三: 用倍角公式求解设建筑物高为AE=8
19、,由题意,得BAC= ,CAD=2 ,AC = BC =30m , AD = CD =103m 在 RtACE 中,sin2=30x在 RtADE 中,sin4=3104, 得 cos2=23,2=30 ,=15 ,AE=ADsin60 =15 答:所求角为 15 ,建筑物高度为 15m 例 2、某巡逻艇在 A处发现北偏东 45 相距 9 海里的 C处有一艘走私船,正沿南偏东 75的方向以 10 海里/ 小时的速度向我海岸行驶,巡逻艇立即以14 海里/小时的速度沿着直线方向追去, 问巡逻艇应该沿什么方向去追?需要多少时间才追赶上该走私船?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归
20、纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 16 页12 解:如图,设该巡逻艇沿AB方向经过 x 小时后在 B处追上走私船,则CB=10x, AB=14x,AC=9, ACB=75+45=120(14x) 2= 92+ (10x) 2 -29 10xcos120化简得 32x2-30x-27=0 ,即 x=23, 或 x=-169( 舍去) 所以 BC = 10x =15,AB =14x =21, 又因为 sinBAC =ABBC120sin=211523=1435BAC =3831, 或BAC =14174钝角不合题意,舍去 ,3831+45=8331答:巡逻艇应该沿北偏东8331方
21、向去追,经过 1.4 小时才追赶上该走私船 . 例 3、 07宁夏,海南如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个侧点C与D现测得BCDBDCCDs,并在点C测得塔顶A的仰角为,求塔高AB解:在BCD中,CBD由正弦定理得sinsinBCCDBDCCBD所以sinsinsinsin()CDBDCsBCCBD在ABC中tansintansin()sABBCACB例 4、 08 湖南在一个特定时段内,以点E为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域 . 点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东45且与点 A相距 402 海
22、里的位置 B,经过 40分钟又测精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 16 页13 得该船已行驶到点A 北偏东45+( 其中 sin=2626,090) 且与点 A 相距 10 13 海里的位置C. I 求该船的行驶速度单位:海里/ 小时 ; II 假设该船不改变航行方向继续行驶. 判断它是否会进入警戒水域,并说明理由. 解: I 如图, AB =40 2 ,AC=10 13,26,sin.26BAC由于090, 所以 cos=2265 261().2626由余弦定理得 BC=222cos10 5.ABACAB AC所以船的
23、行驶速度为10 515 523海里 / 小时 . II 解法一如下图,以 A为原点建立平面直角坐标系,设点 B、C的坐标分别是 B x1,y2, C x1,y2, BC与 x 轴的交点为 D.由题设有, x1=y1=22AB=40, x2=AC cos10 13cos(45)30CAD, y2=AC sin10 13sin(45)20.CAD所以过点B、C的直线l的斜率k=20210, 直线 l 的方程为 y=2x-40. 又点 E0,-55到直线 l 的距离 d=|05540|3 57.14所以船会进入警戒水域 . 解法二 : 如下图,设直线AE与 BC的延长线相交于点Q . 在ABC 中,
24、由余弦定理得,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 16 页14 222cos2ABBCACABCAB BC=2224021051013240 210 5=3 1010. 从而2910sin1cos1.1010ABCABC在ABQ中,由正弦定理得,AQ=1040 2sin1040.sin(45)22 10210ABABCABC由于 AE =5540= AQ ,所以点 Q位于点 A和点 E之间,且 QE=AE-AQ=15. 过点 E作 EP BC于点 P,则 EP为点 E到直线 BC的距离 .在 RtQPE中,PE =QE s
25、insinsin(45)PQEQEAQCQEABC=5153 57.5所以船会进入警戒水域 . 课后练习:1、 07山东如图 , 甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方向航行, 乙船按固定方向匀速直线航行 , 当甲船位于1A 处时, 乙船位于甲船的北偏西105的方向1B2A处时, 乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B 处, 此时两船相距 10 2 海里, 问乙船每小时航行多少海里? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 16 页15 解:如图,连结12A B,2210 2A B,122030 210260A A,122
26、A A B 是等边三角形,1121056045B A B,在121AB B 中,由余弦定理得2221211121112222cos45220(10 2)220 10 22002B BA BA BA BA B,1210 2.B B因此乙船的速度的大小为10 260302.20答:乙船每小时航行 30 2 海里. 2、某一时刻,一架飞机在海面上空C点处观测到一人在海岸A 点处钓鱼。从 C点处测得 A的俯角为 45o; 同一时刻,从 A点处测得飞机在水中影子的俯角为60o。已知海岸的高度为4 米,求此时钓鱼的人和飞机之间的距离结果保留整数。3、人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时,发现在其所处
27、位置O点的正北方向 10 海里处的 A点有一涉嫌走私船只正以24 海里/ 小时的速度向正东方向航行。为迅速实验检查,巡逻艇调整好航向,以26 海里/ 小时的速度追赶,在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下,问1需要几小时才能追上?点B为追上时的位置2确定巡逻艇的追赶方向精确到01 . 如图 4解:在中,Rt ABCBCAB tan45在中,Rt ABGBGAB tan60ABABtantan60458AB443AC424 6精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 16 页16 图 4 参考数据:sin.cos.sin.cos.si
28、n.cos.sin.cos.6680919166803939674092316740384668409298684036817060943270603322,分析: 1由图可知ABO是直角三角形,于是由勾股定理可求。2利用三角函数的概念即求。解:设需要 t 小时才能追上。则ABtOBt2426,1在Rt AOB中,OBOAAB222,()()261024222tt则t1负值舍去故需要1 小时才能追上。2在Rt AOB中sin.AOBABOBtt24260 9231AOB67 4 .即巡逻艇沿北偏东67 4 .方向追赶。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 16 页