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1、导数的简单应用一、主干知一、主干知识识1.1.导导数的几何意数的几何意义义: :(1)(1)函数函数y=y=f(xf(x) )在在x=xx=x0 0处处的的导导数数f(xf(x0 0) )就是曲就是曲线线y=y=f(xf(x) )在点在点(x(x0 0,f(x,f(x0 0)处处的切的切线线的斜率的斜率, ,即即_._.(2)(2)曲曲线线y=y=f(xf(x) )在点在点P(xP(x0 0,f(x,f(x0 0)处处的切的切线线方程方程为为_._.k=f(xk=f(x0 0) )y-f(xy-f(x0 0)=f(x)=f(x0 0)(x-x)(x-x0 0) )2.2.函数的函数的单调单调性
2、与性与导导数的关系数的关系: :若函数若函数y=y=f(xf(x) )在某区在某区间间内可内可导导, ,则则(1)f(x)0(1)f(x)0f(x)f(x)为为_._.(2)f(x)0(2)f(x)00，B=xR|2xB=xR|2x2 2- -3(1+a)x+6a03(1+a)x+6a0，D=AB.D=AB.(1)(1)求集合求集合D(D(用区间表示用区间表示).).(2)(2)求函数求函数f(xf(x)=2x)=2x3 3-3(1+a)x-3(1+a)x2 2+6ax+6ax在在D D内的极值点内的极值点. .【解题探究解题探究】(1)(1)集合集合B B的求解思路：的求解思路：方程方程2x
3、2x2 2-3(1+a)x+6a=0-3(1+a)x+6a=0的判别式的判别式=_. .集合集合B B中的不等式含参数中的不等式含参数a a，应分类讨论，如何确定分类标准，应分类讨论，如何确定分类标准？提示：提示：根据判别式化简后的结果确定分类标准根据判别式化简后的结果确定分类标准. .(2)(2)求函数极值的两个关键：求函数极值的两个关键：求导：求导：f(xf(x)=)=_. .判断：判断判断：判断f(xf(x) )在某点取得极大值或极小值在某点取得极大值或极小值. .3(a-3)(3a-1)3(a-3)(3a-1)6(x-1)(x-a)6(x-1)(x-a)【解析解析】(1)(1)对于方程
4、对于方程2x2x2 2-3(1+a)x+6a=0-3(1+a)x+6a=0，判别式判别式=9(1+a)=9(1+a)2 2-48a=3(a-3)(3a-1).-48a=3(a-3)(3a-1).因为因为0a10a1，所以，所以a-30.a-30.当当 时，时，000，设方程设方程2x2x2 2-3(1+a)x+6a=0-3(1+a)x+6a=0的两根为的两根为x x1 1,x,x2 2且且x x1 1xx2 2，则则x x2 2= =B=x|xxB=x|xxxx2 2,所以所以x x1 10,x0,x2 200，此时，此时，D=(0,xD=(0,x1 1)(x)(x2 2,+)=,+)=综上可
5、知，当综上可知，当0a 0a 时，时，当当 时，时，D=(0,+).D=(0,+).(2)f(x)=6x(2)f(x)=6x2 2-6(1+a)x+6a=6(x-1)(x-a)(0a1),-6(1+a)x+6a=6(x-1)(x-a)(0a1),由由f(x)0f(x)0 ax1,ax0)0 xax1,x1,所以函数所以函数f(xf(x) )在区间在区间(-,a)(-,a)和和(1,+)(1,+)上单调递增，在区间上单调递增，在区间(a,1)(a,1)上单调递减上单调递减. .当当 时，因为时，因为D=(0,+)D=(0,+)，所以，所以f(xf(x) )在在D D内有极大值点内有极大值点x=a
6、x=a和极小值点和极小值点x=1x=1；当当 时，时，D=(0,1)(1,+)D=(0,1)(1,+)，所以，所以f(xf(x) )在在D D内有极大值点内有极大值点当当 时，时，因为因为所以所以f(xf(x) )在在D D内有极大值点内有极大值点x=a.x=a.综上可知：当综上可知：当 时，时，f(xf(x) )在在D D内有一个极大值点内有一个极大值点x=a,x=a,没有没有极小值点；极小值点；当当 时，时，f(xf(x) )在在D D内有一个极大值点内有一个极大值点x=ax=a和一个极小值点和一个极小值点x=1.x=1.【方法总结方法总结】1.1.函数函数f(xf(x) )在在x=xx=
7、x0 0处取得极值的判断方法处取得极值的判断方法求得导数求得导数f(xf(x) )后，检验后，检验f(xf(x) )在在x=xx=x0 0左右的符号：左右的符号：(1)(1)左正右负左正右负f(xf(x) )在在x=xx=x0 0处取极大值处取极大值. .(2)(2)左负右正左负右正f(xf(x) )在在x=xx=x0 0处取极小值处取极小值. .2.2.求函数求函数y=y=f(xf(x) )在区间在区间a,ba,b上的最大值与最小值的步骤上的最大值与最小值的步骤第一步：求函数第一步：求函数y=y=f(xf(x) )在区间在区间( (a,ba,b) )内的极值内的极值( (极大值或极小值极大值
8、或极小值) )；第二步：将第二步：将y=y=f(xf(x) )的各极值与的各极值与f(af(a) )、f(bf(b) )进行比较，其中最大进行比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值的一个为最大值，最小的一个为最小值. .【变式训练变式训练】已知函数已知函数f(xf(x)=)=(1)(1)若若f(xf(x) )在在x=1x=1处取得极大值，求实数处取得极大值，求实数a a的值的值. .(2)(2)若若a a-1-1，求，求f(xf(x) )在区间在区间0 0，1 1上的最大值上的最大值. .【解析解析】(1)(1)因为因为f(xf(x)=x)=x2 2-(2a+1)x+(a-(2a+1
9、)x+(a2 2+a)=(x-a)x-(a+1),+a)=(x-a)x-(a+1),令令f(xf(x)=0)=0得得x x1 1=a+1,x=a+1,x2 2=a=a，所以所以f(xf(x) )，f(xf(x) )随随x x的变化情况如下表：的变化情况如下表：所以所以a=1.a=1.x x(-,a)(-,a)a a(a,a+1)(a,a+1)a+1a+1(a+1,+)(a+1,+)f(xf(x) )+ +0 0- -0 0+ +f(xf(x) )极大值极大值极小值极小值(2)(2)因为因为a a-1-1，所以，所以a+1a+10 0，当当a1a1时，时，f(x)0f(x)0对对xx0,10,1
10、恒成立恒成立, ,所以当所以当x=1x=1时，时，f(xf(x) )取得最大值取得最大值f(1)=f(1)=当当0 0a a1 1时，在时，在x(0,a)x(0,a)时，时，f(xf(x) )0 0，f(xf(x) )单调递增单调递增. .当当x(a,1)x(a,1)时，时，f(xf(x) ) 0 0，f(xf(x) )单调递减单调递减. .所以当所以当x=ax=a时，时，f(xf(x) )取得最大值取得最大值f(af(a)=)=当当a=0a=0时，在时，在x(0,1)x(0,1)时，时，f(xf(x) ) 0 0，f(xf(x) )单调递减单调递减. .所以当所以当x=0x=0时，时，f(x
11、f(x) )取得最大值取得最大值f(0)=0.f(0)=0.当当-1-1a a0 0时，在时，在x(0,a+1)x(0,a+1)时，时，f(xf(x) )0 0，f(xf(x) )单调递减单调递减. .在在x(a+1,1)x(a+1,1)时，时，f(xf(x) ) 0 0，f(xf(x) )单调递增单调递增. .又又f(0)=0f(0)=0，f(1)=f(1)=当当-1-1a a 时，时，f(xf(x) )在在x=1x=1处取得最大值处取得最大值当当 a a0 0时，时，f(xf(x) )在在x=0x=0处取得最大值处取得最大值f(0)=0, f(0)=0, 当当 时，时，f(xf(x) )在
12、在x=0,x=1x=0,x=1处都取得最大值处都取得最大值0. 0. 综上所述，综上所述，当当a1a1或或-1-1a a 时，时，f(xf(x) )取得最大值取得最大值f(1)=f(1)=当当0 0a a1 1时，时，f(xf(x) )取得最大值取得最大值f(af(a)=)=当当 时，时，f(xf(x) )在在x=0,x=1x=0,x=1处都取得最大值处都取得最大值0.0.当当 a0a0时，时，f(xf(x) )在在x=0x=0处取得最大值处取得最大值f(0)=0.f(0)=0.【典例典例】已知某厂生产已知某厂生产x x件产品的成本为件产品的成本为c c25 00025 000200x200x
13、(1)(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)(2)若产品以每件若产品以每件500500元售出，要使利润最大，应生产多少件产元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？品？导数在实际问题中的应用导数在实际问题中的应用【解题探究解题探究】(1)(1)平均成本指的是什么？平均成本指的是什么？提示：提示：平均成本平均成本= =总成本总成本产品件数产品件数. .(2)(2)利润和销售件数有什么关系？利润和销售件数有什么关系？提示：提示：利润利润= =每件产品的利润每件产品的利润销售件数销售件数. .利润、收入、成本三者之间有什么关系？利润、收入、成本三者之间有什
14、么关系？提示：提示：利润收入利润收入- -成本成本. .【解析解析】(1)(1)设平均成本为设平均成本为y y元，则元，则y yyy令令yy0 0，得，得x x1 11 0001 000，x x2 21 000(1 000(舍去舍去).).当当0x1 0000x1 000时，时，y0y1 000x1 000时，时，y0y0；故当故当x x1 0001 000时，时，y y取得极小值取得极小值. .由于函数只有一个极小值点，那么函数在该点取得最小值，因由于函数只有一个极小值点，那么函数在该点取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产此要使平均成本最低，应生产1 0001 000件产品件产品. .(
15、2)(2)利润函数为利润函数为L L300x300x25 00025 000所以所以LL300300令令LL0 0，得，得x x6 000.6 000.当当x6 000x0L0；当；当x6 000x6 000时，时，L0L0，故当，故当x x6 0006 000时，时，L L取得极大值取得极大值. .由于函数只有一个使由于函数只有一个使LL0 0的点，且函数在该点有极大值，那的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大值么函数在该点取得最大值. .因此，要使利润最大，应生产因此，要使利润最大，应生产6 0006 000件产品件产品. .【方法总结方法总结】经济生活中优化问题的解题思路经济
16、生活中优化问题的解题思路经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动分析、研究、指导生产活动. .【变式备选变式备选】某工厂每天生产某种产品最多不超过某工厂每天生产某种产品最多不超过4040件，并且件，并且在生产过程中产品的正品率在生产过程中产品的正品率P P与每日生产量与每日生产量x(xNx(xN* *) )件之间的件之间的关系为关系为 每生产一件正品盈利每生产一件正品盈利4 0004 000元，每
17、出现一元，每出现一件次品亏损件次品亏损2 0002 000元元.(.(注：正品率产品中的正品件数注：正品率产品中的正品件数产品产品总件数总件数100%)100%)(1)(1)将日利润将日利润y(y(元元) )表示成日产量表示成日产量x(x(件件) )的函数的函数. .(2)(2)求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值的最大值. .【解析解析】(1)(1)由题意得由题意得y y3 600x3 600x所以所求的函数关系式是所以所求的函数关系式是(2)(2)显然显然yy3 6003 6004x4x2 2. .令令yy0 0，解得
18、，解得x x30.30.所以当所以当1x301x0y0；当；当30x4030x40时，时，y0.y0a0时，由时，由f(x)0f(x)0)0，得，得x-ax-a或或此时此时f(xf(x) )的单调递减区间为的单调递减区间为 单调递增区间为单调递增区间为(-,-a)(-,-a)和和当当a0a0时，由时，由f(xf(x)0)0)0，得，得 或或x-a.x-a.此时此时f(xf(x) )的单调递减区间为的单调递减区间为 单调递增区间为单调递增区间为和和(-a,+).(-a,+).综上：当综上：当a0a0时，时，f(xf(x) )的单调递减区间为的单调递减区间为单调递增区间为单调递增区间为(-,-a)(-,-a)和和当当a0a0时，时，f(xf(x) )的单调递减区间为的单调递减区间为单调递增区间为单调递增区间为
