《2022年初三数学圆的讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年初三数学圆的讲义（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 圆一圆的定义及相关概念考点 1：圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点 A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做 圆心 ，线段 OA叫做 半径 。考点 2：确定圆的条件：圆心和半径圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；不在同一条直线上的三点确定一个圆。考点 2： （圆的性质）圆的对称性 ：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。考点 3：弦：连结圆上任意两点的线段叫弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。（请务必
2、注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）考点 4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。考点 5 点和圆的位置关系设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系有三种。点在圆外dr ；点在圆上d=r；点在圆内 d r ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 24 页2 【典型例题】例 1 在ABC中，ACB=90,AC=2,BC=4，CM是AB边上的
3、中线， 以点C为圆心， 以5为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与C有怎样的位置关系，并说明你的理由。例 2已知，如图， CD是直径，84EOD，AE交 O于 B，且 AB=OC ，求 A的度数。例 3 O 平面内一点P 和 O 上一点的距离最小为3cm，最大为 8cm，则这圆的半径是_cm。例 4 在半径为5cm 的圆中，弦AB CD，AB=6cm ，CD=8cm ，则 AB 和 CD 的距离是多少？例 5 如图 , O的直径 AB和弦 CD相交于点E，已知 AE=6cm ， EB=2cm,30CEA，求 CD的长例 6. 已知： O的半径 0A=1，弦 AB 、AC的长分别为3,2，求BA
4、C的度数A B D C O E M A B CD O E B A C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 24 页3 二垂径定理及其推论考点 1 垂径定理 ：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧推论 1：平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧推论 2圆的两条平行弦所夹的弧相等垂径定理及推论1 中的三条可概括为：经过圆心；垂直于弦；平分弦( 不是直径 ) ；平分弦所对的优弧； 平分弦所对的劣
5、弧以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图：【典型例题】例 1 如图 AB、CD是 O的弦， M 、N分别是 AB 、CD的中点，且CNMAMN求证： AB=CDA B D C O N M 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 24 页4 例 2 已知，不过圆心的直线l交 O于 C、D两点，AB是 O的直径， AE l于 E，BFl于F。求证： CE=DF l?问题一图 1 OHFEDCBAl?问题一图
6、 2 OHFEDCBAl?问题一图3 OHFEDCBA（2014?北京） 21 （5 分）如图， AB 是 O 的直径， C 是的中点， O 的切线 BD 交AC 的延长线于点D，E 是 OB 的中点， CE 的延长线交切线BD 于点 F，AF 交O 于点H，连接 BH （1）求证： AC=CD ；（2）若 OB=2，求 BH 的长 （暂不做）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 24 页5 【考点速练 】1. 已知 O的半径为2cm，弦 AB长cm32，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为（）. A 1cm B.2cm
7、C.cm2 D.cm3cm 2. 有下列判断：直径是圆的对称轴；圆的对称轴是一条直径；直径平分弦与弦所对的弧；圆的对称轴有无数条. 其中正确的判断有（） A0 个 B.1个 C.2个 D.3个3如图 2，同心圆中， 大圆的弦交AB于 C、D若 AB=4 ，CD=2 ，圆心 O到 AB的距离等于1，那么两个同心圆的半径之比为（） A3:2 B.5:2 C.5:2 D.5:4 4. 如图, O 的直径为10, 弦 AB=8,P是弦 AB上的一个动点 , 那么 OP长的取值范围是 . 5. 如图 , 已知有一圆弧形拱桥, 拱的跨度 AB=16cm,拱高 CD=4cm, 那么拱形的半径是_ _m. 6
8、. 如图, O 的直径 AB长为 15，有一个定长为9 的动弦 CD在弧 AmB上滑动（ C与 A、D与 B均不重合），且 CE CD ，DF CD 。求证：（1）AE=BF （2）梯形 CDFE的面积是否会发生改变，请说明理由。7. 如图, O 的 AB长为 15, 动弦 CD=6,分别过 A、B作 AE CD 、BF CD ，垂足分别为E、F。问：当弦CD滑动时， A、B到直线 CD距离差的绝对值是否发生变化？说明理由。BPAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 24 页6 三圆周角与圆心角考点 1 圆心角 ：顶点在圆心
9、的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。Eg: 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。圆周角 ：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可Eg: 判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由考点 2 圆周角定理 ：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。Eg: 如下三图，请证明。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 24 页7 考点 3 4. 推论：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90
10、的圆周角所对的弦是直径如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形经典例题例 1：下图中是圆周角的有 .是圆心角的有。例 2：如图， A 是 O 的圆周角，且A35,则 OBC=_. 例 3：如图，圆心角AOB=100 ，则 ACB=例：如图，AB是 O 的直径，点CDE， ，都在 O 上，若CDE，则ABo BOCAO A B C 图ABCDEO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 24 页8 例 5 如图 2，O 的直径CD过弦EF的中点G，40EODo，则DCF例 6：已知 O中，30Co，2cmAB
11、，则 O的半径为cm四弧、弦、圆心角圆心角、弧、弦之间的关系定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等推论： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. （务必注意前提为：在同圆或等圆中）例 1如图所示，点O 是 EPF 的平分线上一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于A、 B 和 C、D，求证： AB=CD E F C D G O 图 2A B E F OPC12D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 24 页9 例2、已知：如图，AB 、CD
12、为 O的直径， AE/CD。求证 : 弧DE= 弧 DB 例 3如图所示，在ABC中， A=72， O截ABC的三条边长所得的三条弦等长，求 BOC. 例 4如图， AD=BC,AB与 CD交于点 E ，求证：（1）AB=与 CD （2）OE平分 BED 例 5如图所示，已知在O中， AE是直径， AFBC ，试比较弦BE与弦 CF的大小。O A B C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 24 页10 练习：1、过 O内一点 M的最长弦为10 cm ，最短弦长为8cm，则 OM的长为（）A9cm B6cm C3cm Dcm
13、412、在半径为5cm的圆中，弦AB CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则 AB和 CD的距离是 ( ) A7cm B1cm C5cm D7cm或 1cm 3、如图， MN 为半圆 O的直径，半径OA MN ，D为 OA中点，过D作弦 BCMN ，求证：四边形 ABOC 为菱形4、如图所示，已知在O中， AB是直径，弦CD AB ，点 P是弧 AC的中点 , 连接 AP 、BP 、AC,PB分别交 AC 、CD于 M 、N。求证： CMN 是等边三角形。5、已知： 如图，AB是 O的直径，C是 O上一点， CD AB ，垂足为点D，F是弧AC的中点，OF与AC相交于点E，AC8 cm，2
14、EFcm. 求AO的长；ABCDOEF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 24 页11 五圆内接四边形圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。圆内接梯形为等腰梯形，圆内接平行四边形为矩形。判断四点共圆的方法之一：圆内接四边形对角互补。【典型例题】例 1 （1）已知圆内接四边形ABCD 中， A:B:C=2:3:4 ，求 D的度数（2）已知圆内接四边形ABCD 中，如图所示， AB、BC 、CD 、AD的度数之比为1:2:3:4,求A、 B、 C、 D的度数例 2 四边形 ABCD 内接于 O ， 点 P在 CD的延长线上，
15、且 AP BD 求证：ADABBCPD例 3 如图所示，ABC是等边三角形，D是 BC上任一点求证：DB+DC=DAA D C B O P A B C D O A B C D O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 24 页12 六会用切线，能证切线考点 1 直线与圆的位置关系图形公共点个数d 与 r 的关系直线与圆的位置关系0 dr 相离1 d=r 相切2 dr相交考点 2 切线：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。符号语言 OA l 于 A， OA 为半径 l 为 O 的切线考点 3 判断直线是圆的切线的方
16、法：与圆只有一个交点的直线是圆的切线。圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线。经过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线。（请务必记住证明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就作垂直证半径）考点 4 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。（请务必记住切线重要用法：见切线就要连圆心和切点得到垂直）经典例题：lAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 24 页13 OPBAC例 1.如图， ABC 内接于 O， AB
17、是 O 的直径， CAD ABC ，判断直线AD 与 O 的位置关系，并说明理由。例 2.如图 ,OA=OB=13cm ，AB=24cm ， O 的半径为5cm，AB 与 O 相切吗？为什么? 例 3.如图 ,PA、PB 是 O 的切线，切点为A、B，C是 O 上一点，若P40，求 C 的度数。例 4如图所示，ABCRt中，90C，以 AC为直径作 O交 AB于 D，E为 BC中点。求证： DE是 O的切线中考链接1.如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，AB 经过圆心O，且与小圆相交于点A，与大圆相交于点B，小圆的切线AC 与大圆相交于点 D，且 CO 平分 ACB. 试判断 BC 所在直线与
18、小圆的位置关系，并说明理由。CADBOOABDOCABA B C E O D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 24 页14 2. 如图，在RtABC 中， C=90，点 O 在 AB 上，以 O 为圆心， OA 长为半径的圆与 AC 、AB 分别交于点D、E，且 CBD= A，判断 BD 与 O 的位置关系，并证明你的结论。七切线长定理考点 1 切线长 ：经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长切线长和切线的区别：切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间
19、的距离，可以度量考点 2 切线长定理 ：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角要注意 ：此定理包含两个结论，如图，PA 、PB切O于 A、B两点，PA=PB PO平分APB考点 3 两个结论：圆的外切四边形对边和相等；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长EOBCADAOCDBP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 24 页15 经典例题：例 1 已知 PA 、PB 、DE分别切 O于 A、B、C三点，若PO=13，PED的周长为24 ，求： O的半径；若40APB，EOD的度数例 2 如
20、图，O分别切ABC的三边 AB 、 BC、 CA于点 D、 E、 F， 若,BCa ACb ABc（1）求 AD 、BE 、 CF的长；（2）当90C，求内切圆半径r例 3如图，一圆内切四边形ABCD ，且 AB=16 ，CD=10 ，则四边形的周长为？A E P D B C O E F D C O A B E F D C O A B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 24 页16 考点速练1：1如图， O是ABC的内切圆， D、E、 F为切点，:4: 3: 2ABC，则DEFFEC2 直角三角形的两条直角边为5 、 1
21、2 ， 则此直角三角形的外接圆半径为，内切圆半径为3如图，直线AB 、BC 、CD分别与 O相切于点E、 F、G，且AB CD ，若 OB=6， OC=8，则BOC，O的半径 = ， BE+CG= 八三角形内切圆考点 1 概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心 ，这个三角形叫做圆的外切三角形概念推广：和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形 考点 2 三角形外接圆与内切圆比较：名称确定方法图形性质外心（三角形外接圆的圆心）三角形三边中垂线的交点（1）OA=OB=OC；（2）外心不一定在三角形的内部内心（三角形内切圆的圆心）三角
22、形三条角平分线的交点（1）到三边的距离相等；（2）OA 、OB 、OC分别平分 BAC 、ABC 、 ACB ；（3）内心在三角形内部A O C DBE F A O C DBE F G精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 24 页17 考点 3 求三角形的内切圆的半径1、直角三角形ABC内切圆 O的半径为2cbar. 2、一般三角形已知三边，求ABC内切圆 O的半径 r. cbaSr2（海伦公式S)cs)(bs)(as(s， 其中 s=2cba) 经典例题：例 1如图， ABC中， A=m （1）如图（ 1） ，当 O是 A
23、BC的内心时，求BOC的度数；（2）如图（ 2） ，当 O是 ABC的外心时，求BOC的度数；（3）如图（ 3） ，当 O是高线 BD与 CE的交点时，求BOC的度数例 2如图， Rt ABC中， AC=8 ，BC=6 ， C=90 ， I 分别切 AC ，BC，AB于 D，E，F，求 Rt ABC的内心 I 与外心 O之间的距离ABCOEDbcaABCOEFD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 24 页18 考点速练1：1如图1， O 内切于 ABC ，切点为D，E， F已知 B=50， C=60， ?连结 OE ，OF
24、，DE ，DF，那么 EDF等于（）A40 B55 C65 D 70图 1 图 2 图 3 2如图2， O 是 ABC的内切圆， D，E，F 是切点， A=50， C=60 ， ?则 DOE=（） A70 B 110 C120 D1303如图 3， ABC中， A=45， I 是内心，则 BIC=（） A112.5 B112 C125 D554下列命题正确的是（） A三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 B三角形的内心不一定在三角形的内部 C等边三角形的内心，外心重合 D一个圆一定有唯一一个外切三角形5在 RtABC中， C=90， AC=3 ，AB=5 ，则它的内切圆与外接圆半径分别为（）
25、 A1.5 ， 2.5 B2，5 C1，2.5 D2，2.5 6如图，在ABC中， AB=AC ，内切圆O与边 BC ，AC ，AB分别切于 D，E，F（1）求证： BF=CE ；（2）若 C=30 ， CE=23，求 AC的长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 24 页19 十圆与圆位置的关系：1. 圆和圆的位置关系（设两圆半径分别为R和 r ，圆心距为d）外离外切相交内切内含图形公共点0 个1 个2 个1 个0 个d、r、R的关系dRrdRrRrdRrdRrdRr外公切线2 条2 条2 条1 条0 条内公切线2 条1
26、条0 条0 条0 条2. 有关性质：（1）连心线：通过两圆圆心的直线。如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。（2）公共弦：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。（3）公切线：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。两个圆在公切线同旁两个圆在公切线两旁3相交两圆的性质定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。4相切两圆的性质定理：相切两圆的连心线经过切点外公切线内公切线O1O2O1O2O1O2O1O2O1O2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 24 页20 经典例题：例 1、如图， 已知1O与2O相交于 A、B两点， P
27、是1O上一点， PB的延长线交2O于点 C，PA交2O于点 D，CD的延长线交1O于为 N. （1）过点 A作 AE/CN 交1O于点 E.求证： PA=PE. （2）连接 PN ，若 PB=4 ，BC=2 ，求 PN的长 . 例2 如图，在ABC中，22,90ACABBAC，圆 A的半径为 1，若点 O 在BC边上运动（与点B、C不重合），设AOCxBO,的面积为 y. （1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）以点 O 为圆心， BO 长为半径作O，当圆 O与 A相切时，求AOC的面积 . P 2OA B C E N 1OD O B C A 精选学习资料 - - - - -
28、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 24 页21 【经典练习】一选择1. 已知O1与O2的半径分别为5cm和 3cm，圆心距020=7cm ，则两圆的位置关系为 A外离 B外切 C相交 D内切2. 已知两圆半径分别为2 和 3，圆心距为d，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是（）A01dB5dC01d或5dD 01d或5d3. 大圆半径为6，小圆半径为3，两圆圆心距为10，则这两圆的位置关系为（） A 外离 B外切相交 D内含4. 外切两圆的圆心距是7，其中一圆的半径是4，则另一圆的半径是A11 B7 C4 D3 5. 已知O1和O2的半径分别为1 和 4
29、，如果两圆的位置关系为相交，那么圆心距O1O2的取值范围在数轴上表示正确的是6. 若1O与2O相切，且125O O，1O的半径12r，则2O的半径2r是（）A 3 B 5 C 7 D 3 或 7 7. 如图，把O1向右平移 8 个单位长度得O2，两圆相交于A.B，且 O1AO2A，则图中阴影部分的面积是A.4 -8 B. 8 -16 C.16 - 16 D. 16 -32 8. 如图，两个同心圆的半径分别为3cm和 5cm ，弦AB与小圆相切于点C，则AB的长为（）A4cm B 5cm C6cm D8cm 9. 如图，两同心圆的圆心为O ，大圆的弦AB切小圆于P，两圆的半径分别为6， 3，则图
30、中阴影部分的面积是（）A9 3B6 3C9 33D6 32二填空1. 已知相交两圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长为6cm，则这两个圆的圆心距是_B3 1 0 2 4 5 D3 1 0 2 4 5 A3 1 0 2 4 5 C3 1 0 2 4 5 A B O C P O B A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 24 页22 2. 已知1O和2O的半径分别是一元二次方程120xx的两根，且122O O，则1O和2O的位置关系是3. 如图，A，B的半径分别为1cm， 2cm，圆心距AB为 5cm如果A由图示位置沿直线
31、AB向右平移3cm，则此时该圆与B的位置关系是_4已知ABC的三边分别是abc， ，两圆的半径12rarb，圆心距dc，则这两个圆的位置关系是十一.圆的有关计算【例题经典】有关弧长公式的应用例 1 如图， RtABC 的斜边 AB=35 ，AC=21 ，点 O 在 AB 边上， OB=20，一个以O 为圆心的圆，分别切两直角边边BC、AC 于 D、E 两点，求弧DE 的长度有关阴影部分面积的求法例 2如图所示，等腰直角三角形ABC的斜边4AB，O是AB的中点，以O为圆心的半圆分别与两腰相切于D、E求圆中阴影部分的面积C O A B D E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师
32、归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 24 页23 求曲面上最短距离例 3如图，底面半径为1，母线长为4 的圆锥，?一只小蚂蚁若从A 点出发，绕侧面一周又回到A 点，它爬行的最短路线长是（）A2B42C43D5 求圆锥的侧面积例 4如图 10， 这是一个由圆柱体材料加工而成的零件，?它是以圆柱体的上底面为底面，在其内部“ 掏取 ” 一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径AB=12cm ，高BC=8cm ，求这个零件的表面积（结果保留根号）【考点速练】一、基础训练1已知扇形的圆心角为120 ，半径为2cm，则扇形的弧长是_cm，扇形的面积是_cm22如图1，两个同心圆中，大
33、圆的半径OA=4cm ， AOB= BOC=60 ，则图中阴影部分的面积是 _cm2（1）（2）（3）（4）3如图 2，圆锥的底面半径为6cm，高为 8cm，那么这个圆锥的侧面积是_cm24如图3，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于120 ，则 r 与 R 之间的关系是 （ ?）AR=2r BR=r CR=3r DR=4r 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 24 页24 5如图 4，圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则它的侧面积是（）A6
34、0cm2B45cm2C30cm2D15cm2 6已知圆锥侧面展开图的圆心角为90 ，?则该圆锥的底面半径与母线长的比为（）A1： 2 B2：1 C1：4 D4：1 7 用半径为 30cm， 圆心角为 120 的扇形围成一个圆锥的侧面，?则圆锥的底面半径为 （）A10cm B30cm C45cm D300cm 8将直径为64cm 的圆形铁皮，做成四个相同圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗） ，那么每个圆锥容器的高为（）A815cm B817cm C163cm D 16cm 9如图 5，圆心角都是90 的扇形 OAB 与扇形 OCD 叠放在一起， ?OA=3，OC=1，分别连结 AC 、BC，则圆中阴影部分的面积为（）A12BC2D4（ 5）（6）（ 7）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 24 页
