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1、1 圆一圆的定义及相关概念考点 1:圆的定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点 A所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做 圆心 ,线段 OA叫做 半径 。考点 2:确定圆的条件:圆心和半径圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小;不在同一条直线上的三点确定一个圆。考点 2: (圆的性质)圆的对称性 :圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。考点 3:弦:连结圆上任意两点的线段叫弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。弦心距:圆心到弦的距离叫做弦心距。弧:圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆,优弧、劣弧三种。(请务必
2、注意区分等弧,等弦,等圆的概念)弓形:弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。弓高:弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。(请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形,对应两个弓高)考点 4:三角形的外接圆:锐角三角形的外心在,直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。考点 5 点和圆的位置关系设圆的半径为r ,点到圆心的距离为d,则点与圆的位置关系有三种。点在圆外dr ;点在圆上d=r;点在圆内 d r ;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 24 页2 【典型例题】例 1 在ABC中,ACB=90,AC=2,BC=4,CM是AB边上的
3、中线, 以点C为圆心, 以5为半径作圆,试确定A,B,M三点分别与C有怎样的位置关系,并说明你的理由。例 2已知,如图, CD是直径,84EOD,AE交 O于 B,且 AB=OC ,求 A的度数。例 3 O 平面内一点P 和 O 上一点的距离最小为3cm,最大为 8cm,则这圆的半径是_cm。例 4 在半径为5cm 的圆中,弦AB CD,AB=6cm ,CD=8cm ,则 AB 和 CD 的距离是多少?例 5 如图 , O的直径 AB和弦 CD相交于点E,已知 AE=6cm , EB=2cm,30CEA,求 CD的长例 6. 已知: O的半径 0A=1,弦 AB 、AC的长分别为3,2,求BA
4、C的度数A B D C O E M A B CD O E B A C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 24 页3 二垂径定理及其推论考点 1 垂径定理 :垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧推论 1:平分弦(不是直径)的直径重直于弦,并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧推论 2圆的两条平行弦所夹的弧相等垂径定理及推论1 中的三条可概括为:经过圆心;垂直于弦;平分弦( 不是直径 ) ;平分弦所对的优弧; 平分弦所对的劣
5、弧以上五点已知其中的任意两点,都可以推得其它两点固定的已经不能再固定的方法:求弦心距,弦长,弓高,半径时通常要做弦心距,并连接圆心和弦的一个端点,得到直角三角形。如下图:【典型例题】例 1 如图 AB、CD是 O的弦, M 、N分别是 AB 、CD的中点,且CNMAMN求证: AB=CDA B D C O N M 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 24 页4 例 2 已知,不过圆心的直线l交 O于 C、D两点,AB是 O的直径, AE l于 E,BFl于F。求证: CE=DF l?问题一图 1 OHFEDCBAl?问题一图
6、 2 OHFEDCBAl?问题一图3 OHFEDCBA(2014?北京) 21 (5 分)如图, AB 是 O 的直径, C 是的中点, O 的切线 BD 交AC 的延长线于点D,E 是 OB 的中点, CE 的延长线交切线BD 于点 F,AF 交O 于点H,连接 BH (1)求证: AC=CD ;(2)若 OB=2,求 BH 的长 (暂不做)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 24 页5 【考点速练 】1. 已知 O的半径为2cm,弦 AB长cm32,则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为(). A 1cm B.2cm
7、C.cm2 D.cm3cm 2. 有下列判断:直径是圆的对称轴;圆的对称轴是一条直径;直径平分弦与弦所对的弧;圆的对称轴有无数条. 其中正确的判断有() A0 个 B.1个 C.2个 D.3个3如图 2,同心圆中, 大圆的弦交AB于 C、D若 AB=4 ,CD=2 ,圆心 O到 AB的距离等于1,那么两个同心圆的半径之比为() A3:2 B.5:2 C.5:2 D.5:4 4. 如图, O 的直径为10, 弦 AB=8,P是弦 AB上的一个动点 , 那么 OP长的取值范围是 . 5. 如图 , 已知有一圆弧形拱桥, 拱的跨度 AB=16cm,拱高 CD=4cm, 那么拱形的半径是_ _m. 6
8、. 如图, O 的直径 AB长为 15,有一个定长为9 的动弦 CD在弧 AmB上滑动( C与 A、D与 B均不重合),且 CE CD ,DF CD 。求证:(1)AE=BF (2)梯形 CDFE的面积是否会发生改变,请说明理由。7. 如图, O 的 AB长为 15, 动弦 CD=6,分别过 A、B作 AE CD 、BF CD ,垂足分别为E、F。问:当弦CD滑动时, A、B到直线 CD距离差的绝对值是否发生变化?说明理由。BPAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 24 页6 三圆周角与圆心角考点 1 圆心角 :顶点在圆心
9、的角叫圆心角,圆心角的度数等于它所对的弧的度数。Eg: 判别下列各图中的角是不是圆心角,并说明理由。圆周角 :顶点在圆周上,角两边和圆相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可Eg: 判断下列图示中,各图形中的角是不是圆周角,并说明理由考点 2 圆周角定理 :在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半。Eg: 如下三图,请证明。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 24 页7 考点 3 4. 推论:同弧或等弧所对的圆周角相等,同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90
10、的圆周角所对的弦是直径如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形经典例题例 1:下图中是圆周角的有 .是圆心角的有。例 2:如图, A 是 O 的圆周角,且A35,则 OBC=_. 例 3:如图,圆心角AOB=100 ,则 ACB=例:如图,AB是 O 的直径,点CDE, ,都在 O 上,若CDE,则ABo BOCAO A B C 图ABCDEO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 24 页8 例 5 如图 2,O 的直径CD过弦EF的中点G,40EODo,则DCF例 6:已知 O中,30Co,2cmAB
11、,则 O的半径为cm四弧、弦、圆心角圆心角、弧、弦之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. (务必注意前提为:在同圆或等圆中)例 1如图所示,点O 是 EPF 的平分线上一点,以O 为圆心的圆和角的两边分别交于A、 B 和 C、D,求证: AB=CD E F C D G O 图 2A B E F OPC12D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 24 页9 例2、已知:如图,AB 、CD
12、为 O的直径, AE/CD。求证 : 弧DE= 弧 DB 例 3如图所示,在ABC中, A=72, O截ABC的三条边长所得的三条弦等长,求 BOC. 例 4如图, AD=BC,AB与 CD交于点 E ,求证:(1)AB=与 CD (2)OE平分 BED 例 5如图所示,已知在O中, AE是直径, AFBC ,试比较弦BE与弦 CF的大小。O A B C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 24 页10 练习:1、过 O内一点 M的最长弦为10 cm ,最短弦长为8cm,则 OM的长为()A9cm B6cm C3cm Dcm
13、412、在半径为5cm的圆中,弦AB CD ,AB=6cm ,CD=8cm ,则 AB和 CD的距离是 ( ) A7cm B1cm C5cm D7cm或 1cm 3、如图, MN 为半圆 O的直径,半径OA MN ,D为 OA中点,过D作弦 BCMN ,求证:四边形 ABOC 为菱形4、如图所示,已知在O中, AB是直径,弦CD AB ,点 P是弧 AC的中点 , 连接 AP 、BP 、AC,PB分别交 AC 、CD于 M 、N。求证: CMN 是等边三角形。5、已知: 如图,AB是 O的直径,C是 O上一点, CD AB ,垂足为点D,F是弧AC的中点,OF与AC相交于点E,AC8 cm,2
14、EFcm. 求AO的长;ABCDOEF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 24 页11 五圆内接四边形圆内接四边形对角互补,外角等于内对角。圆内接梯形为等腰梯形,圆内接平行四边形为矩形。判断四点共圆的方法之一:圆内接四边形对角互补。【典型例题】例 1 (1)已知圆内接四边形ABCD 中, A:B:C=2:3:4 ,求 D的度数(2)已知圆内接四边形ABCD 中,如图所示, AB、BC 、CD 、AD的度数之比为1:2:3:4,求A、 B、 C、 D的度数例 2 四边形 ABCD 内接于 O , 点 P在 CD的延长线上,
15、且 AP BD 求证:ADABBCPD例 3 如图所示,ABC是等边三角形,D是 BC上任一点求证:DB+DC=DAA D C B O P A B C D O A B C D O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 24 页12 六会用切线,能证切线考点 1 直线与圆的位置关系图形公共点个数d 与 r 的关系直线与圆的位置关系0 dr 相离1 d=r 相切2 dr相交考点 2 切线:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。符号语言 OA l 于 A, OA 为半径 l 为 O 的切线考点 3 判断直线是圆的切线的方
16、法:与圆只有一个交点的直线是圆的切线。圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线。经过半径外端,垂直于这条半径的直线是圆的切线。(请务必记住证明切线方法:有交点就连半径证垂直;无交点就作垂直证半径)考点 4 切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。推论 1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。推论 2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。(请务必记住切线重要用法:见切线就要连圆心和切点得到垂直)经典例题:lAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 24 页13 OPBAC例 1.如图, ABC 内接于 O, AB
17、是 O 的直径, CAD ABC ,判断直线AD 与 O 的位置关系,并说明理由。例 2.如图 ,OA=OB=13cm ,AB=24cm , O 的半径为5cm,AB 与 O 相切吗?为什么? 例 3.如图 ,PA、PB 是 O 的切线,切点为A、B,C是 O 上一点,若P40,求 C 的度数。例 4如图所示,ABCRt中,90C,以 AC为直径作 O交 AB于 D,E为 BC中点。求证: DE是 O的切线中考链接1.如图,在以O 为圆心的两个同心圆中,AB 经过圆心O,且与小圆相交于点A,与大圆相交于点B,小圆的切线AC 与大圆相交于点 D,且 CO 平分 ACB. 试判断 BC 所在直线与
18、小圆的位置关系,并说明理由。CADBOOABDOCABA B C E O D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 24 页14 2. 如图,在RtABC 中, C=90,点 O 在 AB 上,以 O 为圆心, OA 长为半径的圆与 AC 、AB 分别交于点D、E,且 CBD= A,判断 BD 与 O 的位置关系,并证明你的结论。七切线长定理考点 1 切线长 :经过圆外一点做圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长切线长和切线的区别:切线是直线,不可度量;而切线长是切线上一条线段的长,而圆外一已知点到切点之间
19、的距离,可以度量考点 2 切线长定理 :从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角要注意 :此定理包含两个结论,如图,PA 、PB切O于 A、B两点,PA=PB PO平分APB考点 3 两个结论:圆的外切四边形对边和相等;圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长EOBCADAOCDBP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 24 页15 经典例题:例 1 已知 PA 、PB 、DE分别切 O于 A、B、C三点,若PO=13,PED的周长为24 ,求: O的半径;若40APB,EOD的度数例 2 如
20、图,O分别切ABC的三边 AB 、 BC、 CA于点 D、 E、 F, 若,BCa ACb ABc(1)求 AD 、BE 、 CF的长;(2)当90C,求内切圆半径r例 3如图,一圆内切四边形ABCD ,且 AB=16 ,CD=10 ,则四边形的周长为?A E P D B C O E F D C O A B E F D C O A B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 24 页16 考点速练1:1如图, O是ABC的内切圆, D、E、 F为切点,:4: 3: 2ABC,则DEFFEC2 直角三角形的两条直角边为5 、 1
21、2 , 则此直角三角形的外接圆半径为,内切圆半径为3如图,直线AB 、BC 、CD分别与 O相切于点E、 F、G,且AB CD ,若 OB=6, OC=8,则BOC,O的半径 = , BE+CG= 八三角形内切圆考点 1 概念:和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心 ,这个三角形叫做圆的外切三角形概念推广:和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆,这个多边形叫做圆的外切多边形 考点 2 三角形外接圆与内切圆比较:名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC;(2)外心不一定在三角形的内部内心(三角形内切圆的圆心)三角
22、形三条角平分线的交点(1)到三边的距离相等;(2)OA 、OB 、OC分别平分 BAC 、ABC 、 ACB ;(3)内心在三角形内部A O C DBE F A O C DBE F G精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 24 页17 考点 3 求三角形的内切圆的半径1、直角三角形ABC内切圆 O的半径为2cbar. 2、一般三角形已知三边,求ABC内切圆 O的半径 r. cbaSr2(海伦公式S)cs)(bs)(as(s, 其中 s=2cba) 经典例题:例 1如图, ABC中, A=m (1)如图( 1) ,当 O是 A
23、BC的内心时,求BOC的度数;(2)如图( 2) ,当 O是 ABC的外心时,求BOC的度数;(3)如图( 3) ,当 O是高线 BD与 CE的交点时,求BOC的度数例 2如图, Rt ABC中, AC=8 ,BC=6 , C=90 , I 分别切 AC ,BC,AB于 D,E,F,求 Rt ABC的内心 I 与外心 O之间的距离ABCOEDbcaABCOEFD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 24 页18 考点速练1:1如图1, O 内切于 ABC ,切点为D,E, F已知 B=50, C=60, ?连结 OE ,OF
24、,DE ,DF,那么 EDF等于()A40 B55 C65 D 70图 1 图 2 图 3 2如图2, O 是 ABC的内切圆, D,E,F 是切点, A=50, C=60 , ?则 DOE=() A70 B 110 C120 D1303如图 3, ABC中, A=45, I 是内心,则 BIC=() A112.5 B112 C125 D554下列命题正确的是() A三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 B三角形的内心不一定在三角形的内部 C等边三角形的内心,外心重合 D一个圆一定有唯一一个外切三角形5在 RtABC中, C=90, AC=3 ,AB=5 ,则它的内切圆与外接圆半径分别为()
25、 A1.5 , 2.5 B2,5 C1,2.5 D2,2.5 6如图,在ABC中, AB=AC ,内切圆O与边 BC ,AC ,AB分别切于 D,E,F(1)求证: BF=CE ;(2)若 C=30 , CE=23,求 AC的长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 24 页19 十圆与圆位置的关系:1. 圆和圆的位置关系(设两圆半径分别为R和 r ,圆心距为d)外离外切相交内切内含图形公共点0 个1 个2 个1 个0 个d、r、R的关系dRrdRrRrdRrdRrdRr外公切线2 条2 条2 条1 条0 条内公切线2 条1
26、条0 条0 条0 条2. 有关性质:(1)连心线:通过两圆圆心的直线。如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上。(2)公共弦:相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。(3)公切线:和两个圆都相切的直线,叫做两圆的公切线。两个圆在公切线同旁两个圆在公切线两旁3相交两圆的性质定理:相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。4相切两圆的性质定理:相切两圆的连心线经过切点外公切线内公切线O1O2O1O2O1O2O1O2O1O2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 24 页20 经典例题:例 1、如图, 已知1O与2O相交于 A、B两点, P
27、是1O上一点, PB的延长线交2O于点 C,PA交2O于点 D,CD的延长线交1O于为 N. (1)过点 A作 AE/CN 交1O于点 E.求证: PA=PE. (2)连接 PN ,若 PB=4 ,BC=2 ,求 PN的长 . 例2 如图,在ABC中,22,90ACABBAC,圆 A的半径为 1,若点 O 在BC边上运动(与点B、C不重合),设AOCxBO,的面积为 y. (1)求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;(2)以点 O 为圆心, BO 长为半径作O,当圆 O与 A相切时,求AOC的面积 . P 2OA B C E N 1OD O B C A 精选学习资料 - - - - -
28、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 24 页21 【经典练习】一选择1. 已知O1与O2的半径分别为5cm和 3cm,圆心距020=7cm ,则两圆的位置关系为 A外离 B外切 C相交 D内切2. 已知两圆半径分别为2 和 3,圆心距为d,若两圆没有公共点,则下列结论正确的是()A01dB5dC01d或5dD 01d或5d3. 大圆半径为6,小圆半径为3,两圆圆心距为10,则这两圆的位置关系为() A 外离 B外切相交 D内含4. 外切两圆的圆心距是7,其中一圆的半径是4,则另一圆的半径是A11 B7 C4 D3 5. 已知O1和O2的半径分别为1 和 4
29、,如果两圆的位置关系为相交,那么圆心距O1O2的取值范围在数轴上表示正确的是6. 若1O与2O相切,且125O O,1O的半径12r,则2O的半径2r是()A 3 B 5 C 7 D 3 或 7 7. 如图,把O1向右平移 8 个单位长度得O2,两圆相交于A.B,且 O1AO2A,则图中阴影部分的面积是A.4 -8 B. 8 -16 C.16 - 16 D. 16 -32 8. 如图,两个同心圆的半径分别为3cm和 5cm ,弦AB与小圆相切于点C,则AB的长为()A4cm B 5cm C6cm D8cm 9. 如图,两同心圆的圆心为O ,大圆的弦AB切小圆于P,两圆的半径分别为6, 3,则图
30、中阴影部分的面积是()A9 3B6 3C9 33D6 32二填空1. 已知相交两圆的半径分别为5cm和4cm,公共弦长为6cm,则这两个圆的圆心距是_B3 1 0 2 4 5 D3 1 0 2 4 5 A3 1 0 2 4 5 C3 1 0 2 4 5 A B O C P O B A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 24 页22 2. 已知1O和2O的半径分别是一元二次方程120xx的两根,且122O O,则1O和2O的位置关系是3. 如图,A,B的半径分别为1cm, 2cm,圆心距AB为 5cm如果A由图示位置沿直线
31、AB向右平移3cm,则此时该圆与B的位置关系是_4已知ABC的三边分别是abc, ,两圆的半径12rarb,圆心距dc,则这两个圆的位置关系是十一.圆的有关计算【例题经典】有关弧长公式的应用例 1 如图, RtABC 的斜边 AB=35 ,AC=21 ,点 O 在 AB 边上, OB=20,一个以O 为圆心的圆,分别切两直角边边BC、AC 于 D、E 两点,求弧DE 的长度有关阴影部分面积的求法例 2如图所示,等腰直角三角形ABC的斜边4AB,O是AB的中点,以O为圆心的半圆分别与两腰相切于D、E求圆中阴影部分的面积C O A B D E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师
32、归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 24 页23 求曲面上最短距离例 3如图,底面半径为1,母线长为4 的圆锥,?一只小蚂蚁若从A 点出发,绕侧面一周又回到A 点,它爬行的最短路线长是()A2B42C43D5 求圆锥的侧面积例 4如图 10, 这是一个由圆柱体材料加工而成的零件,?它是以圆柱体的上底面为底面,在其内部“ 掏取 ” 一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的,其底面直径AB=12cm ,高BC=8cm ,求这个零件的表面积(结果保留根号)【考点速练】一、基础训练1已知扇形的圆心角为120 ,半径为2cm,则扇形的弧长是_cm,扇形的面积是_cm22如图1,两个同心圆中,大
33、圆的半径OA=4cm , AOB= BOC=60 ,则图中阴影部分的面积是 _cm2(1)(2)(3)(4)3如图 2,圆锥的底面半径为6cm,高为 8cm,那么这个圆锥的侧面积是_cm24如图3,在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片,使之恰好能围成一个圆锥模型,若圆的半径为r,扇形的半径为R,扇形的圆心角等于120 ,则 r 与 R 之间的关系是 ( ?)AR=2r BR=r CR=3r DR=4r 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页,共 24 页24 5如图 4,圆锥的底面半径为3cm,母线长为5cm,则它的侧面积是()A6
34、0cm2B45cm2C30cm2D15cm2 6已知圆锥侧面展开图的圆心角为90 ,?则该圆锥的底面半径与母线长的比为()A1: 2 B2:1 C1:4 D4:1 7 用半径为 30cm, 圆心角为 120 的扇形围成一个圆锥的侧面,?则圆锥的底面半径为 ()A10cm B30cm C45cm D300cm 8将直径为64cm 的圆形铁皮,做成四个相同圆锥容器的侧面(不浪费材料,不计接缝处的材料损耗) ,那么每个圆锥容器的高为()A815cm B817cm C163cm D 16cm 9如图 5,圆心角都是90 的扇形 OAB 与扇形 OCD 叠放在一起, ?OA=3,OC=1,分别连结 AC 、BC,则圆中阴影部分的面积为()A12BC2D4( 5)(6)( 7)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页,共 24 页