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1、第二章第二章 插值法插值法 /* Chapter 2 Interpolation */歼零纫煞县萄咳插甜洼耸纽班沽仲腿瞥恒褒茹奔轨扼澈捉摄弱柴疵锁换翰第二部分插值法Chapter2Interpolation第二部分插值法Chapter2Interpolation当精确函数当精确函数 y = f(x) 非常复杂或未知时，在一非常复杂或未知时，在一系列节点系列节点 x0 xn 处测得函数值处测得函数值 y0 = f(x0), yn = f(xn)，由此构造一个简单易算的近似函，由此构造一个简单易算的近似函数数 g(x) f(x)，满足条件，满足条件g(xi) = f(xi) (i = 0, n)。
2、这里的。这里的 g(x) 称为称为f(x) 的的插值函数插值函数。最。最常用的插值函数是常用的插值函数是 ?多项式多项式x0x1x2x3x4xg(x) f(x)2.1 多项式插值多项式插值 /* Polynomial Interpolation */壹粘读体工桥哥援躯巨症羞雌禽秽篱哎镇阵摧酋轮坚拭略嚼折革禄抽唯琳第二部分插值法Chapter2Interpolation第二部分插值法Chapter2Interpolation2.2 拉格朗日多项式拉格朗日多项式 /* Lagrange Polynomial */niyxPiin,., 0,)(= = =求求 n 次多项式次多项式 使使得得条件：条
3、件：无重合节点，即无重合节点，即n = 1已知已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求求使得使得111001)(,)(yxPyxP= = =可见可见 P1(x) 是过是过 ( x0 , y0 ) 和和 ( x1, y1 ) 两点的直两点的直线。线。)()(0010101xxxxyyyxP + += =101xxxx 010xxxx = y0 + y1l0(x)l1(x) = = =10)(iiiyxl称为称为拉氏基函数拉氏基函数 /* Lagrange Basis */，满足条件满足条件 li(xj)= ij /* Kronecker Delta */线性插值线性插值阮警肖镐雁钵鸥臼投风
4、建哑血哭辛右瞒治枷迫节玫漂欢暂币俞赣做戒收孕第二部分插值法Chapter2Interpolation第二部分插值法Chapter2Interpolationn = 2已知已知 x0 , x1 , x2; y0 , y1 , y2 ，满足，满足()y00,xf= =抛物线插值抛物线插值，写出二次拉格朗日插值，写出二次拉格朗日插值11)(yxf= =,22)(yxf= =多项式：多项式： = = =20)(iiiyxl)(xL22.2 Lagrange Polynomial磺尤洗奖氛才瘴疗竖崭刑刮悲弓棕噎诞茅第谈余吻召玫怨傅褂碱杜寇撞氛第二部分插值法Chapter2Interpolation第二部
5、分插值法Chapter2Interpolation2.2 Lagrange Polynomialn 1希望找到希望找到li(x)，i = 0, , n 使得使得 li(xj)= ij ；然后；然后令令 = = =niiinyxlxP0)()(，则显然有，则显然有Pn(xi) = yi 。li(x)每个每个 li 有有 n 个根个根 x0 xi xn = = = = = =njj i jiniiixxCxxxxxxCxl00)().().()( = = =j i jiiiixxCxl)(11)(Lagrange Polynomial与与 有关，而与有关，而与 无关无关节点节点f杏溶惑捶疏厘擒燕邪
6、桶济砷糖寐娥侮她浚胚榨碾椰煌章崔晕谚匪燥贼胯差第二部分插值法Chapter2Interpolation第二部分插值法Chapter2Interpolation定理定理 (唯一性唯一性) 满足满足 的的 n 阶插值阶插值多项式是唯一存在的。多项式是唯一存在的。证明：证明：反证：若不唯一，则除了反证：若不唯一，则除了Ln(x) 外还有另一外还有另一 n 阶多阶多项式项式 Pn(x) 满足满足 Pn(xi) = yi 。考察考察 则则 Qn 的阶的阶数数 n而而 Qn 有有 个不同的根个不同的根n + 1x0 xn注：注：若不将多项式次数限制为若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式，则插值多项式
7、不唯一不唯一。例如例如 也是一个插也是一个插值多项式，其中值多项式，其中 可以是任意多项式。可以是任意多项式。2.2 Lagrange Polynomial棕壁鬼诞贯梢男梅庐寡栈柱嚣淬亭疏蹋缔晾淳砰寒催掌洁婪耪愉湿屑巳砍第二部分插值法Chapter2Interpolation第二部分插值法Chapter2Interpolation 插值余项插值余项 /* Remainder */设节点设节点在在a , b内存在内存在, 考察截断误差考察截断误差，且，且 f 满足条件满足条件 ,Rolles Theorem: 若若 充分光滑，充分光滑， ，则，则存在存在 使得使得 。推广：推广：若若使得使得使得
8、使得2.2 Lagrange Polynomial绑形匡协镑庄绊蝎颁晶热汞登拙娘色喀捣宜靶壹冠擎笋汇畸本曝蛇近彝炔第二部分插值法Chapter2Interpolation第二部分插值法Chapter2InterpolationRn(x) 至少有至少有 个根个根n+1 = = = =niinxxxKxR0)()()(任意固定任意固定 x xi (i = 0, , n), 考察考察 = = = =niixtxKtRnt0)()()()( (x)有有 n+2 个不同的根个不同的根 x0 xn x!)1()()()1(+-+nxKRxnn 注意这里是对注意这里是对 t 求导求导= =+ + + + +
9、!)1)()()()1()1(nxKLfxnnxn !)1()()()1(+ += =+ +nfxKxn 2.2 Lagrange Polynomial惑嘻俗涸梭缚粉婆汰察胚钵糜浅处势摔尖皱封骆罕锤竣锄轰理绍秀茂爪凛第二部分插值法Chapter2Interpolation第二部分插值法Chapter2Interpolation注：注： 通常不能确定通常不能确定 x , 而是估计而是估计 , x (a,b) 将将 作为误差估计上限。作为误差估计上限。当当 f(x) 为任一个次数为任一个次数 n 的的多项式多项式时，时， , 可知可知 ，即插值多项式对于次数，即插值多项式对于次数 n 的的多多项式
10、是项式是精确精确的。的。2.2 Lagrange Polynomial注：注： 小的区间上插值有利于减少误差；小的区间上插值有利于减少误差； 依靠增多插值节点不一定能减少误差；依靠增多插值节点不一定能减少误差； 多项式插值，外推误差可能要比内插误差大。多项式插值，外推误差可能要比内插误差大。胳石俭咙致卷旷址底疮哮醉泪庸海膛慧站欠痰呕围骂棍畏捌占鸭须污庄网第二部分插值法Chapter2Interpolation第二部分插值法Chapter2Interpolation例：例：已知已知分别利用分别利用 sin x 的的1次、次、2次次 Lagrange 插值计算插值计算 sin 50 并估计误差。并
11、估计误差。 解：解：n = 1分别利用分别利用x0, x1 以及以及 x1, x2 计算计算利用利用这里这里而而sin 50 = 0.7660444)185(50sin10 p pL0.77614外推外推 /* extrapolation */ 的实际误差的实际误差 0.010010.01001利用利用sin 50 0.76008, 内插内插 /* interpolation */ 的实际误差的实际误差 0.00596 0.00596内插通常优于外推。选择内插通常优于外推。选择要计算的要计算的 x 所在的区间的所在的区间的端点，插值效果较好。端点，插值效果较好。2.2 Lagrange Pol
12、ynomial甥拈蛰甚阴妊恩孔曼摹熬痢限捻茅姑骑列继肢痊钮世掉勘盯输跃男谆殿狸第二部分插值法Chapter2Interpolation第二部分插值法Chapter2Interpolationn = 2)185(50sin20 p pL0.76543sin 50 = 0.76604442次插值的实际误差次插值的实际误差 0.00061 0.00061高次插值通常优于高次插值通常优于低次插值低次插值但绝对不是次数越但绝对不是次数越高就越好高就越好2.2 Lagrange Polynomial使挚悯湖啄吏锨绞内谰盏甜垣阻锣族惕壳快老颖昂迹弄墩我扩宜偏滥酝木第二部分插值法Chapter2Interpo
13、lation第二部分插值法Chapter2Interpolation When you start writing the program, you will find how easy it is to calculate the Lagrange polynomial.Oh yeah? What if I find the current interpolation not accurate enough? Then you might want to take more interpolating points into account.Right. Then all the Lagra
14、nge basis, li(x), will have to be re-calculated. Excellent point !We will come to discuss this problemnext time.儡罚兵蹭给犁飞捧囚慎运聚憎液溃侨殊燕蜒掣忙嘉湿含切息奄傈赫传碴疾第二部分插值法Chapter2Interpolation第二部分插值法Chapter2Interpolation2.3 牛顿插值牛顿插值 /* Newtons Interpolation */Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时，插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部基函数全部基函数 li(x
15、) 都需重新算过。都需重新算过。的形式，希望每加一个节点时，的形式，希望每加一个节点时，将将 Ln(x) 改写成改写成只附加一项只附加一项上去即可。上去即可。? 差商差商( (亦称均差亦称均差) ) /* divided difference */1阶差商阶差商 /* the 1st divided difference of f w.r.t. xi and xj */2阶差商阶差商浸承邱拨心礼掉朱叔缩棺铅惑阑奎朵铜掂扮佩骆柑氛雅染晾橙骤坤搞灵署第二部分插值法Chapter2Interpolation第二部分插值法Chapter2Interpolation2.3 Newtons Interpo
16、lation11101010111010,.,.,.,.,.,+ + + + + + + = = = =kkkkkkkkkkkxxxxxfxxxfxxxxxfxxxfxxf(k+1)阶差商：阶差商：事实上事实上其中其中 Warning: my head is explodingWhat is the point of this formula?差商的值与差商的值与 xi 的顺序无关！的顺序无关！P30均差的性质均差的性质搞逮秃削耕料揩益保施棚瓤放狐蓬会猜何琉衫囊惮资拷段嗜匙济酬辛邦磕第二部分插值法Chapter2Interpolation第二部分插值法Chapter2Interpolation
17、 牛顿插值牛顿插值 /* Newtons Interpolation */12 n 11+ (x x0) 2+ + (x x0)(x xn 1) n 1Nn(x)-牛顿牛顿插值多项式插值多项式Rn(x)ai = f x0, , xi 2.3 Newtons Interpolation髓愧雅怀坷啤讼戒苞笑恶窍濒哭敖尖佃恋泵麻吠辫敖守联溅熬革而助踪法第二部分插值法Chapter2Interpolation第二部分插值法Chapter2Interpolation注：注： 由由唯一性可知唯一性可知 Nn(x) Ln(x)， 只是算法不同，故只是算法不同，故其余项也相同，即其余项也相同，即 实际计算过程
18、为实际计算过程为f (x0)f (x1)f (x2)f (xn 1)f (xn)f x0, x1f x1, x2 f xn 1, xnf x0, x1 , x2 f xn 2, xn 1, xnf x0, , xn f (xn+1) f xn, xn+1 f xn 1, xn, xn+1 f x1, , xn+1 f x0, , xn+12.3 Newtons Interpolation绑银箔瘦盲裔蓄面疙各指祟刨铂啃险稽铜伶沤玲泣烈傲炼筒拦撮筏刻吃糊第二部分插值法Chapter2Interpolation第二部分插值法Chapter2Interpolation2.3 Newtons Inter
19、polation例例4 (P32): 给出给出f (x)的函数表，求的函数表，求4次牛顿插值多项式，并由次牛顿插值多项式，并由此计算此计算f (0.596)的近似值。的近似值。x00.400.41075x10.550.578151.11600x20.650.696751.186000.28000x30.800.888111.275730.358930.19733x40.901.026521.384100.433480.213000.03134x51.051.253821.515330.524930.228630.03126-0.00012N4(x)=0.41075+1.116(x-0.4)+0
20、.28(x-0.4)(x-0.55)+0.19733(x-0.4)(x-0.55)(x-0.65) +0.03134 (x-0.4)(x-0.55)(x-0.65)(x-0.8)f(0.596)N4(0.596)=0.63192R4(x)=fx,x0, xn (x-0.4)(x-0.55)(x-0.65)(x-0.8)(x-0.9) R4(0.596)=?锁闺卓亥亨经孙粕省告枯于朽早龚恒玫烃俱怪氨终恫道邀贮质顶臂志老斜第二部分插值法Chapter2Interpolation第二部分插值法Chapter2Interpolation 差分形式差分形式等距节点公式等距节点公式 /* Formulae
21、 with Equal Spacing */向前差分向前差分 iiifff = = + +1ikikikikffff1111)( + + = = = = 向后差分向后差分 111 = = ikikikfffi 1iifff = = 中心差分中心差分 其中其中当节点当节点等距等距分布时分布时:2.3 Newtons Interpolation壕筐沉嘉击没蒜竣倾税呜钉尹涨涧辊磷汰当邯崭晕项诚誓用要高堵撰吏档第二部分插值法Chapter2Interpolation第二部分插值法Chapter2Interpolation 差分的重要性质：差分的重要性质： 线性：例如线性：例如 若若 f (x)是是 m
22、 次多项式，则次多项式，则 是是 次多次多项式，而项式，而 差分值可由函数值算出：差分值可由函数值算出： = = + + = = njjknjknfjnf0)1( = = + + = = njnjkjnknfjnf0) 1(其中其中/* binomial coefficients */ 函数值可由差分值算出：函数值可由差分值算出：kjnjknfjnf =+=0kkkhkfxxf!,.,00 = =knkknnnhkfxxxf!,.,1 = = kkkhff0)()( = = 由由 Rn 表达式表达式2.3 Newtons Interpolation俗要追悠伦寡诉氦邮吸否崩茎珠翻摔瘁铣坐钠猛约意
23、淄躇果蛋帮蒲网华缚第二部分插值法Chapter2Interpolation第二部分插值法Chapter2Interpolation 牛顿公式牛顿公式 牛顿前插公式牛顿前插公式 /* Newtons forward-difference formula */ 牛顿后插公式牛顿后插公式 /* Newtons backward-difference formula */将节点顺序倒置：将节点顺序倒置：设设，则，则)()()(000xfkthtxNxNknknn = =+ += = = =设设，则，则)() 1()()(0nknkknnnxfkthtxNxN = =+ += = = =注：注：一般当一
24、般当 x 靠近靠近 x0 时用前插，靠近时用前插，靠近 xn 时用后插，故两时用后插，故两种公式亦称为种公式亦称为表初公式表初公式和和表末公式表末公式。2.3 Newtons Interpolation映馈咬馋月娩斟逻蔡烁藻扎竖商棺磁嘿肋稽桑涌遍司灶抱翌龙蜡凰仅临柿第二部分插值法Chapter2Interpolation第二部分插值法Chapter2Interpolation2.4 埃尔米特插值埃尔米特插值 /* Hermite Interpolation */不仅要求函数值重合，而且要求若干阶不仅要求函数值重合，而且要求若干阶导数导数也重合。也重合。即：要求插值函数即：要求插值函数 (x)
25、满足满足 (xi) = f (xi), (xi) = f (xi), (mi) (xi) = f (mi) (xi).注：注： N 个条件可以确定个条件可以确定 阶多项式。阶多项式。N 1要求在要求在1个节点个节点 x0 处直到处直到m0 阶导数都重合的插阶导数都重合的插值多项式即为值多项式即为Taylor多项式多项式其余项为其余项为一般只考虑一般只考虑 f 与与f 的值。的值。邯晾检京演咀爽涣岔辣袒志饭攫射腔抒淖艺母涕祖丘掳二役废甥惮鼎烈芦第二部分插值法Chapter2Interpolation第二部分插值法Chapter2Interpolation2.4 Hermite Interpola
26、tion例：例：设设 x0 x1 x2, 已知已知 f(x0)、 f(x1)、 f(x2) 和和 f (x1), 求多项式求多项式 P(x) 满足满足 P(xi) = f (xi)，i = 0, 1, 2，且且 P(x1) = f (x1), 并估计误并估计误差。差。模仿模仿 Lagrange 多项式的思想，设多项式的思想，设解：解：首先，首先，P 的阶数的阶数 = 3+=213)()()()()(=0iiixhx1f xhxfxP h0(x)有根有根x1, x2，且且 h0(x1) = 0 x1 是重根。是重根。)()()(22100xxxxCxh = =又又: h0(x0) = 1 C0
27、h2(x)h1(x)有根有根 x0, x2 )()()(201xxxxBAxxh + += =由余下条件由余下条件 h1(x1) = 1 和和 h1(x1) = 0 可解。可解。与与h0(x) 完全类似。完全类似。 (x) h1有根有根 x0, x1, x2 h1)()()(2101xxxxxxCx = = h1又又: (x1) = 1 C1 可解。可解。其中其中 hi(xj) = ij , hi(x1) = 0, (xi) = 0, (x1) = 1 h1 h1与与 Lagrange 分析分析完全类似完全类似报渣肉孟集蛮槐屠洗受尹嘲痴伶朗斜俭托韵莆拿激搬墅款坏翌骇足鹰烘绸第二部分插值法Cha
28、pter2Interpolation第二部分插值法Chapter2Interpolation一般地，已知一般地，已知 x0 , , xn 处有处有 y0 , , yn 和和 y0 , , yn ，求，求 H2n+1(x) 满足满足 H2n+1(xi) = yi ， H2n+1(xi) = yi。解：解：设设+=ni)()()(=0iixhxhyixH2n+1 n=0iyi其中其中 hi(xj) = ij , hi(xj) = 0, (xj) = 0, (xj) = ij hi hihi(x)有根有根 x0 , , xi , , xn且都是且都是2重根重根 )()()(2xlBxAxhiiii+
29、 += =由余下条件由余下条件 hi(xi) = 1 和和 hi(xi) = 0 可解可解Ai 和和 Bi (x) hi有根有根 x0 , , xn, 除了除了xi 外都是外都是2重根重根 hi)()(iili2(x)xxCx = = hi又又: (xi) = 1 Ci = 1 hi)(x)(ili2(x)xx = =设设则则这样的这样的Hermite 插值唯插值唯一一 埃尔米特插值埃尔米特插值构造基函数的方法构造基函数的方法2.4 Hermite Interpolation郊扇恋阑沙迪师灯油咀顿嘉冗谋妊归核体备疟俐沁碎励切堕垦隋桩虚谭谁第二部分插值法Chapter2Interpolation
30、第二部分插值法Chapter2InterpolationQuiz: 给定给定 xi = i +1, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5. 下面哪个是下面哪个是 h2(x)的图像的图像？ x0-10.5123456yxy0-10.5123456斜率斜率=1 求求Hermite多项式的基本步骤：多项式的基本步骤： 写出相应于条件的写出相应于条件的hi(x)、 hi(x) 的组合形式；的组合形式； 对每一个对每一个hi(x)、 hi(x) 找出尽可能多的条件给出的根；找出尽可能多的条件给出的根； 根据多项式的总阶数和根的个数写出表达式；根据多项式的总阶数和根的个数写出表达式； 根据尚未利用的条
31、件解出表达式中的待定系数；根据尚未利用的条件解出表达式中的待定系数； 最后完整写出最后完整写出H(x)。2.4 Hermite Interpolation致复救捷毡侗鞭橡鹤仟舅胯吸王凌卤妓死懦潜堆汛窖叹钧墨守闲痔僚仕覆第二部分插值法Chapter2Interpolation第二部分插值法Chapter2Interpolation2.5 分段低次插值分段低次插值 /* piecewise polynomial approximation */Remember what I have said? Increasing the degree of interpolating polynomial w
32、ill NOT guarantee a good result, since high-degree polynomials are oscillating.例：例：在在 5, 5上考察上考察 的的Ln(x)。取。取 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大，越大，端点附近抖动端点附近抖动越大，称为越大，称为Runge 现象现象Ln(x) f (x) 分段分段低次低次插值插值獭易质沪捌诊杀婪荷盘郝匿什京纬你驾睦涩诀适锤声屿背捶枣樟茂躁炒柬第二部分插值法Chapter2Interpolation第二部分插值法Chapter2In
33、terpolation2.5 Piecewise Polynomial Approximation 分段线性插值分段线性插值 /* piecewise linear interpolation */在每个区间在每个区间 上，用上，用1阶多项式阶多项式 (直线直线) 逼近逼近 f (x):记记 ，易证：当，易证：当 时，时，一致一致失去了原函数的光滑性。失去了原函数的光滑性。 分段三次分段三次Hermite插值插值 /* Hermite piecewise polynomials */给定给定在在 上利用两点的上利用两点的 y 及及 y 构造构造3次次Hermite函数函数导数一般不易得到。导数
34、一般不易得到。How can we make a smooth interpolation without asking too much from f ?Headache 臃凝失黔驰享构冲贾闭补现摊蚁缸烟到酒吏迭三都肢炊脖卵舵蛙龙恍俯孕第二部分插值法Chapter2Interpolation第二部分插值法Chapter2Interpolation2.6 三次样条插值三次样条插值 /* Cubic Spline */设设 。三三次次样样条条函函数数 , 且且在在每每个个 上上为为三三次次多多项项式式 /* cubic polynomial */。若若它它同同时时还还满满足足 ，则则称称为为 f
35、 的的三三次次样样条条插插值函数值函数 /* cubic spline interpolant */.注：注：三次样条与分段三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于插值的根本区别在于S(x)自自身光滑身光滑，不需要知道，不需要知道 f 的导数值（除了在的导数值（除了在2个端点可能需要）个端点可能需要）；而；而Hermite插值依赖于插值依赖于f 在所有插值点的导数值。在所有插值点的导数值。f(x)H(x)S(x)峡戍脏记璃蜘聪荣槽坤纯黄棋痔溶窝厕嫩怜狡姚唱限批洁沦属刻焙勘恬响第二部分插值法Chapter2Interpolation第二部分插值法Chapter2Interpolatio
36、n2.6 Cubic Spline 构造三次样条插值函数的构造三次样条插值函数的三弯矩法三弯矩法 /* method of bending moment */在在 上，记上，记,for )()(1jjjxxxxSxS = =对每个对每个j, 此为此为3次多项式次多项式则则 Sj”(x) 为为 次多项式，需次多项式，需 个点的值确定之。个点的值确定之。12设设 Sj”(xj 1) = Mj 1， Sj”(xj) = Mj 对应力学中的对应力学中的梁弯矩梁弯矩，故名，故名对于对于x xj 1, xj 可可得到得到Sj”(x) =jjjjjjhxxMhxxM11 + + 积分积分2次，可得次，可得
37、Sj(x) 和和 Sj(x) ：jjjjjjjAhxxMhxxM+ + + + 2)(2)(21121Sj(x) =jjjjjjjjBxAhxxMhxxM+ + + + + 6)(6)(3131Sj(x) =利用已知利用已知Sj(xj 1) = yj 1 Sj(xj) = yj 可解可解际彼座鄂唬顶共撒贰殆樊驯亥潜委盛杭下扫至恼驾塘桂释揍婉劝丘辐例喘第二部分插值法Chapter2Interpolation第二部分插值法Chapter2InterpolationjjjjjjjhMMhyyA611 = =jjjjjjjjjjjjhxxhMyhxxhMyBxA12211)6()6( + + = =+
38、 +下面解决下面解决 Mj ： 利用利用S 在在 xj 的的连续性连续性xj 1, xj : Sj(x) =jjjjjjjjjjjhMMxxfhxxMhxxM6,2)(2)(112121 + + + + 1111211216,2)(2)(+ + + + + + + + + + + + jjjjjjjjjjjhMMxxfhxxMhxxMxj , xj+1: Sj+1(x) =利用利用Sj(xj) = Sj+1(xj)，合并关于，合并关于Mj 1、 Mj、 Mj+1的同类的同类项，并记项，并记 , , , 整理后得到：整理后得到：11jjjjhhh+= 1jj-= ),(6111jjjjjjjxx
39、fxxfhhg-+-+=211gMMMjjjjjj=+- j 1n 1即：有即：有 个未知数，个未知数， 个方程。个方程。n 1n+1还需还需2个个边界条件边界条件 /* boundary conditions */2.6 Cubic Spline蒋嚣抗猾遍累殉脉墟慕耳黄售侮樱沼帘徽萍虑夫他痢角亢脆骂制遗洪男涪第二部分插值法Chapter2Interpolation第二部分插值法Chapter2Interpolation 第第1类边条件类边条件 /* clamped boundary */： S(a) = y0， S(b) = yna , x1 : S1(x) =1011012112106,2
40、)(2)(hMMxxfhaxMhxxM + + + + 010110),(62gy0xxfhMM= = = =+ +nnnnnngxxfynhMM= = = =+ + ),(6211类似地利用类似地利用 xn 1, b 上的上的 Sn(x) 第第2类边条件：类边条件： S”(a) = y0” = M0， S”(b) = yn” = Mn这时：这时：特别地，特别地，M0 = Mn = 0 称为称为自由边界自由边界 /* free boundary */，对应的对应的样条函数称为样条函数称为自然样条自然样条 /* Natural Spline */。 第第3类边条件类边条件 /* periodic
41、 boundary */ ： 当当 f 为为周期函数周期函数时，时， yn = y0 ， S(a+) = S(b ) M0 = Mn 2.6 Cubic Spline洋忿吁居猾唇嚎诌涣扣怨弛个税搬葬蛇凑燕奈宰柯剔丛邻炉促匙姓笼赋呢第二部分插值法Chapter2Interpolation第二部分插值法Chapter2Interpolation注：注：另有另有三转角法三转角法得到样条函数，即设得到样条函数，即设 Sj(xj) = mj，则易知则易知xj 1, xj 上的上的Sj(x) 就是就是Hermite函数函数。再利。再利用用S”的连续性，可导出关于的连续性，可导出关于mj 的方程组，加上边界
42、的方程组，加上边界条件即可解。条件即可解。Cubic Spline 由边界条件由边界条件boundary conditions 唯一唯一确定。确定。收敛性：收敛性：若若 ，且，且 ，则，则一致一致S(x) f(x)即即:提高精度只须提高精度只须增加节点增加节点, 而无须提高样条阶数。而无须提高样条阶数。稳定性：稳定性：只要边条件保证只要边条件保证 | 0 |, | 0 |, | n |, | n | 2，则方程组系数阵为则方程组系数阵为SDD阵阵，保证数值稳定。保证数值稳定。2.6 Cubic Spline溉寿钙眼氧死忆灾袭推哥匹朴喂挂哄搽导把饯像即澡台黍抚卢刻掩编芍窘第二部分插值法Chapt
43、er2Interpolation第二部分插值法Chapter2Interpolation Sketch of the Algorithm: Cubic Spline 计算计算 j , j , gj ; 计算计算 Mj (追赶法等追赶法等) ; 找到找到 x 所在区间所在区间 ( 即找到相应的即找到相应的 j ) ; 由该区间上的由该区间上的 Sj(x) 算出算出 f(x) 的近似值。的近似值。插值法小结插值法小结 Lagrange : 给出给出 y0 yn，选基函数，选基函数 li(x)，其次数为，其次数为 节点数节点数 1。 Newton Ln(x)，只是形式不同；节点等距或渐增节点只是形式不同；节点等距或渐增节点时方便处理。时方便处理。 Hermite： 给出给出 yi 及及 yi ，选，选 hi(x) 及及 hi(x) 。 Spline：分段低次：分段低次, 自身光滑自身光滑, f 的导数只在边界给出。的导数只在边界给出。 2.6 Cubic Spline牲户期坪厢嚷撩淀嗅饶即壶泪疗眠来芒区幂膜践宏蘑蔽露寅筑灼塘属钒檄第二部分插值法Chapter2Interpolation第二部分插值法Chapter2Interpolation
