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1、2.2函数的单调性与最值-2-3-知识梳理考点自测1.函数的单调性(1)单调函数的定义f(x1)f(x2) 上升的 下降的 -4-知识梳理考点自测(2)单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间D上是或,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,叫做函数y=f(x)的单调区间.增函数 减函数 区间D -5-知识梳理考点自测2.函数的最值 f(x)M f(x0)=M f(x)M f(x0)=M -6-知识梳理考点自测1.函数单调性的常用结论: 上升 大于 小于 -7-知识梳理考点自测-8-知识梳理考点自测 -9-知识梳理考点自测2.下列函数中,在区间(-1,1)内为减函数的是()A.
2、B.y=cos xC.y=ln(x+1)D.y=2-xD-10-知识梳理考点自测3.(2017全国,文8)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是()A.(-,-2)B.(-,1)C.(1,+)D.(4,+)D解析解析:由题意可知x2-2x-80,解得x4.故定义域为(-,-2)(4,+),易知t=x2-2x-8在(-,-2)内单调递减,在(4,+)内单调递增.因为y=ln t在t(0,+)内单调递增,依据复合函数单调性的同增异减原则,可得函数f(x)的单调递增区间为(4,+).故选D.-11-知识梳理考点自测22 -12-考点一考点二考点三证证明或判断函数的明或判断函数的单调单调
3、性性例1讨论函数f(x)=x+ (a0)在(0,+)内的单调性.-13-考点一考点二考点三-14-考点一考点二考点三思考判断函数单调性的基本方法有哪些?解题心得1.判断函数单调性的四种方法:(1)定义法;(2)图象法;(3)利用已知函数的单调性;(4)导数法.2.证明函数在某区间上的单调性有两种方法:(1)定义法:基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断.(2)可导函数可以利用导数证明.3.复合函数单调性的判断方法:复合函数y=f(g(x)的单调性,应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.-15-考点一考点二考点三因为-1x1x20,x1-10,x2
4、-10时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),即函数f(x)在(-1,1)内是减函数;当a0时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),即函数f(x)在(-1,1)内是增函数.-16-考点一考点二考点三求函数的求函数的单调单调区区间间例2求下列函数的单调区间:(1)y=-x2+2|x|+1;(2)y= (x2-3x+2);(3)函数f(x)=(3-x2)ex.画出函数图象如图所示,由图知函数的单调递增区间为(-,-1和0,1,单调递减区间为-1,0和1,+).-17-考点一考点二考点三-18-考点一考点二考点三思考求函数的单调区间有哪些方法?解题心得求函数的单调区间与确
5、定函数单调性的方法一致,常用以下方法:(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间.(2)定义法:先求定义域,再利用单调性的定义.(3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间.(4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间.-19-考点一考点二考点三B CB -20-考点一考点二考点三(2)f(x)=ln x+ln(2-x)=ln(-x2+2x),x(0,2).令g(x)=-x2+2x,当x(0,1)时,g(x)单调递增,y=ln x单调递增,所以f(x)单调递增;当x(1,2)时,g(x)单调递减,
6、y=ln x单调递增,所以f(x)单调递减.故f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,2)内单调递减,排除选项A,B;因为f(2-x)=ln(2-x)+ln2-(2-x)=ln(2-x)+ln x=f(x),所以y=f(x)的图象关于直线x=1对称,故排除选项D,选C.-21-考点一考点二考点三-22-考点一考点二考点三函数函数单调单调性的性的应应用用(多考向多考向)考向1利用函数的单调性求函数的值域或最值例3(2017福建厦门质检)函数 在区间-1,1上的最大值为.3思考函数最值的几何意义是什么?如何利用函数的单调性求函数的值域或最值?-23-考点一考点二考点三考向2利用函数的单调性比较大小
7、 A思考如何利用函数的单调性比较大小? -24-考点一考点二考点三考向3利用函数的单调性解不等式例5已知f(x)是定义在R上的增函数,若f(1-ax-x2)f(2-a)对任意a-1,1恒成立,则x的取值范围为.(-,-10,+) 答案答案:因为f(x)是R上的增函数,所以1-ax-x22-a,a-1,1. (*)(*)式可化为(x-1)a+x2+10对a-1,1恒成立.令g(a)=(x-1)a+x2+1,思考如何解与函数有关的不等式? -25-考点一考点二考点三考向4利用函数的单调性求参数的值(或范围)例6(2017北京西城区5月模拟)已知函数f(x)=x|x|,若存在x1,+),使得f(x-
8、2k)-k0,则k的取值范围是()D思考如何利用函数的单调性求参数的值或范围?-26-考点一考点二考点三解题心得1.函数最值的几何意义:函数的最大值对应图象最高点的纵坐标,函数的最小值对应图象最低点的纵坐标.利用单调性求解最值问题,应先确定函数的单调性,再由单调性求解.2.比较函数值的大小,应先将自变量转化到同一个单调区间内,再利用函数的单调性解决.3.求解含“f”的不等式,应先将不等式转化为f(m)f(n)的形式,再根据函数的单调性去掉“f”,应注意m,n应在定义域内取值.4.利用单调性求参数时,应根据问题的具体情况,确定函数的单调区间,列出与参数有关的不等式,或把参数分离出来求解.-27-
9、考点一考点二考点三DCB-28-考点一考点二考点三-29-考点一考点二考点三-30-考点一考点二考点三1.函数单调性判定的常用方法:图象法、定义法、导数法、利用已知函数的单调性.2.求函数值域或最值的常用方法:(1)先确定函数的单调性,再由单调性求值域或最值.(2)图象法:先作出函数在给定区间上的图象,再观察其最高点、最低点,求出值域或最值.(3)配方法:对于二次函数或可化为二次函数形式的函数,可用配方法求解.(4)换元法:对比较复杂的函数,可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求值域或最值.(5)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正、二定、三相等”的条件后,再用基本不等式求出值域或最值.-31-考点一考点二考点三(6)导数法:首先求导,然后求在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出值域或最值.3.复合函数的单调性可依据“同增异减”的规律求解.4.解决分段函数的单调性问题时,要高度关注:(1)抓住对变量所在区间的讨论.(2)保证各段上同增(减)时,要注意上段、下段的端点值之间的大小关系.(3)弄清最终结果取并还是取交.-32-考点一考点二考点三1.求函数的单调区间,应先确定函数的定义域,脱离定义域研究函数的单调性是常见的错误.2.不同的单调区间之间不能用符号“”连接.
