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1、“割之弥细，所失割之弥细，所失弥少，割之又割，弥少，割之又割，以至于不可以至于不可(bk)割，则与圆周合体割，则与圆周合体而无所失矣而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：播放播放(b fn)刘徽刘徽一、概念(ginin)的引入第1页/共54页第一页，共55页。正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积第2页/共54页第二页，共55页。2 2、截丈问题、截丈问题(wnt)(wnt)：“一尺一尺(y ch)之棰，日截其半，万世不竭之棰，日截其半，万世不竭”第4页/共54页第四页，共55页。二、数列(shli)的定义例如例如(lr)第5页/共54页第五页，共5
2、5页。注意注意(zh y)：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取2.数列是整标函数数列是整标函数第6页/共54页第六页，共55页。播放播放(b fn)三、数列三、数列(shli)的极限的极限第7页/共54页第七页，共55页。问题问题(wnt):当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?问题问题(wnt):“无限无限(wxin)接近接近”意味着什么意味着什么?如何用如何用数学语言刻划它数学语言刻划它.通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:第8
3、页/共54页第八页，共55页。第9页/共54页第九页，共55页。如果数列(shli)没有极限,就说数列(shli)是发散的.注意注意(zh y)：第10页/共54页第十页，共55页。几何几何(j h)解释解释:其中其中(qzhng)第11页/共54页第十一页，共55页。具体方法：具体方法：思考：如何根据极限思考：如何根据极限(jxin)(jxin)定义验证数列极限定义验证数列极限(jxin)(jxin)？用定义验证数列极限用定义验证数列极限(jxin),(jxin),关键是如何由任意给定的关键是如何由任意给定的0 0 ，寻找，寻找N N！注：该定义并未提供注：该定义并未提供(tgng)(tgn
4、g)如何求数列极限，但可以去验证数列的极如何求数列极限，但可以去验证数列的极限！限！第12页/共54页第十二页，共55页。例例1证证所以所以(suy),第13页/共54页第十三页，共55页。例例2证证所以所以(suy),说明说明(shumng):常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.小结小结(xioji):用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N.第14页/共54页第十四页，共55页。例例3证证第15页/共54页第十五页，共55页。注注: :放大放大(fngd)(fngd)的的原则：原则：第16页/共
5、54页第十六页，共55页。例例4 4证证第17页/共54页第十七页，共55页。1.唯一性唯一性定理定理(dngl)1 (dngl)1 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限. .证证由定义由定义(dngy),故收敛数列极限故收敛数列极限(jxin)唯一唯一.四、四、数列极限的性质数列极限的性质第18页/共54页第十八页，共55页。例例5证证由定义由定义(dngy),区间区间(q jin)长度长度为为1.不可能不可能(knng)同时位于长度为同时位于长度为1的的区间内区间内.第19页/共54页第十九页，共55页。2.有界性有界性例如例如(lr),有界有界无界无界第20页/共54页第
6、二十页，共55页。定理定理2 2 收敛的数列收敛的数列(shli)(shli)必定必定有界有界. .证证由定义由定义(dngy),注意注意(zh y)：有界性是数列收敛的必要条件：有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .第21页/共54页第二十一页，共55页。定理定理(dngl)3 (dngl)3 （保号性）（保号性） 证证推论推论(tul(tuln) n) 第22页/共54页第二十二页，共55页。 子数列子数列子数列子数列(shli)(shli)(shli)(shli)的概念的概念的概念的概念定义定义(dng(dngy) y) 第23页/共54页第二十三页
7、，共55页。定理定理(dngl(dngl)4)4证证推论推论(tul(tuln) n) 此推论常用于证明某个数列是发散此推论常用于证明某个数列是发散(fsn)(fsn)的！例如数列的！例如数列第24页/共54页第二十四页，共55页。四、数列极限的运算四、数列极限的运算(yn sun)法则法则 注：前两项可推广注：前两项可推广(tugung)(tugung)到有限个收敛数列的情形！到有限个收敛数列的情形！第25页/共54页第二十五页，共55页。无穷多个无穷多个(du )(du )收敛数收敛数列列 这是错误这是错误(cuw)(cuw)的的. . 例例6 6第26页/共54页第二十六页，共55页。五
8、.小结(xioji)数列数列(shli):(shli):研究其变化规律研究其变化规律; ;数列数列(shli)(shli)极限极限: :极限思想极限思想, ,精确定义精确定义, ,几何意几何意义义; ;收敛数列的性质收敛数列的性质: :有界性唯一性保号性有界性唯一性保号性.第27页/共54页第二十七页，共55页。思考题思考题证明证明(zhngmng)要使要使只要只要(zhyo)使使从而从而(cng r)由由得得取取当当 时，必有时，必有 成立成立第28页/共54页第二十八页，共55页。思考题解答思考题解答(jid)（等价（等价(dngji)）证明证明(zhngmng)中所采用的中所采用的实际上
9、就是不等式实际上就是不等式即证明中没有采用即证明中没有采用“适当放大适当放大” 的值的值第29页/共54页第二十九页，共55页。从而从而 时，时，仅有仅有 成立，成立，但不是但不是 的充分条件的充分条件反而缩小为第30页/共54页第三十页，共55页。练练 习习 题题第31页/共54页第三十一页，共55页。感谢您的欣赏(xnshng)第54页/共54页第五十四页，共55页。内容(nirng)总结“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。刘徽。正 形的面积。“一尺之棰，日截其半，万世不竭”。1.数列(shli)对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取。当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值。定理1 每个收敛的数列(shli)只有一个极限.。定理2 收敛的数列(shli)必定有界.。推论 无界数列(shli)必定发散.。练 习 题。第53页/共54页。感谢您的欣赏第五十五页，共55页。
