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1、高等数学高等数学( (下下) ) 总复习总复习1. 求过点（4, -1, 3）且平行于直线x3yz 1的直线方程。215x2y4z 7=0,2. 求过点(2, 0, -3) 且与直线垂直的平面方程。3x5y2z1 03. 求过点（0, 2, 4）且与两平面x2z线方程。1和y3z 2平行的直4. 求过点（-1，0, 4）, 且平行于平面3x4y z10 0，又与直线x1y 3z相交的直线的方程。1122z x sin2y的偏导数。5. 求22z2z z6. 求下列函数的2,:2和xyxyyxz arctanz yz x y 4x y（1）；（2）；（3）x44227. 设u f (x, y,
2、z) ex2y2z2uu，而z x sin y.求和.yx2w2w8. 设w f (x y z, xyz)，f具有二阶连续偏导数， 求及xxz9. 求下列函数的一阶偏导数（其中f具有一阶连续偏导数） ：。xyu f (,)；u f (x, xy, xyz)u f (x y ,e )；（1）（2）（3）yz22xy10. 设z f (x y )，其中f z2z11. 求下列函数的2，xyx2222z2z具有二阶导数， 求2，xyx2z，2（其中y2z，2。yf具有二阶连续偏导数） ：x)；y（1）z f ( xy, y)；（2）z f ( x,22xy（3）z f (xy , x y)；（4）z
3、 f (sin x, cos y, e)2 zz12. 设e xyz 0，求2。x2 z3313. 设z 3xyz a，求。xy14. 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：u f (ux, v y),（1）设其中f，g具有一阶连续偏导数，2v g(u x, v y),uv求，。xxuuvux e usinv,（2）设求，uyxxy e ucosv,v，y。15. 求曲线x t1t，y 1t，zt t2在对应于t01的点处的切线及法平面方程。2316. 求出曲线x t, y t , z t上的点，使在该点的切线平行于平面x2y z 4。17.z求曲面e z xy 3在点(2, 1, 0)处
4、的切平面与法线方程。18. 求函数u xyz在附加条件1111xyza下的极值。(x 0, y 0, z 0, a 0)19. 求函数f (x, y) 4(x y) x2 y2的极值。 20. 求函数f (x, y) (6x x2)(4y y2)的极值。 21. 求函数z xy在适合附加条件x y 1下的极大值。 22. 求下列函数的一阶与二阶偏导数.2z ln(x y ) (2)z xy (1)23.设z f (u, x, y), u xey，其中f具有连续的二阶偏导数，2z求xy.zz24. 设x e cosv, y e sinv, z uv.试求和xyuu。 25. 计算xyd，其中D是
5、由直线y 1, x 2及y x所围D成的闭区域。2226. 计算y 1 x y d，其中D是由直线y x, x 1和Dy 1所围成的闭区域。27. 计算xydD，其中D是由抛物线y2 x及直线y x2所围成的闭区域。28.求球体x2 y2 z2 4a2被圆柱面x2 y2 2axa 0所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。 29. 改换下列二次积分的积分次序：（1）0dy0f (x, y)dx（2）（3）（5）1ydy02122yy2f (x, y)dxf (x, y)dydy011y2 1y2ln xf (x, y)dx（4）dx2xx22xe1dx0f (x, y)dy（6）0dxsin
6、xf (x, y)dy2sinx30. 求由平面x 0, y 0, x y 1所围成的柱体被平面z 0及抛物面x2 y2 6 z截得的立体的体积。31. 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：（1）0dx0f (x, y)dy（2）0dxx（3）1123xf ( x2 y2)dydx02a11x21xf (x, y)dy（4）dx01x20f (x, y)dy32. 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：（1）0dx01x2axx2(x y )dy（2）21222a0adxx0x2 y2dy(x2 y2)dx（3）0dxx2(x y )dy（4）0dy033. 利用极坐标计算：（1）eD2a
7、2y2Dx2y222d，其中D是由圆周x y 4所围成的闭区域；（3）arctanydx，其中D是由圆周x2 y2 4，x2 y21及直线y 0, y x所围成的在第一象限内的闭区域。34. 计算三重积分xdxdydz，其中为三个坐标面及平面x2y z 1所围成的闭区域。 35. 利用柱面坐标计算三重积分zdv，其中为曲面22z 2 x2 y2及z x y所围成的闭区域。222 36. 利用球面坐标计算三重积分(x y z )dv，其中是由球222面x y z 1所围成的闭区域。 37. 选用适当的坐标计算下列三重积分：（1）22x y 1及平面z 1，z 0，xydv， 其中为柱面x 0,
8、y 0所围成的在第一卦限内的闭区域；22(x y )dv，其中是由曲面4z2 25(x2 y2)及平（2）面z 5所围成的闭区域。2 38. 计算二重积分：(y 3x6y9)d，其中DD (x, y)| x2 y2 R2。 39证明：a0dye0ym(ax)f (x)dx (a x)em(ax)f (x)dx0a 40. 设f (x, y)在闭区域D (x, y)| x2 y2 y, x 0上连续，且f (x, y) 1 x y 22f (x, y)dxdy,求f (x, y)。D8 41.计算下列对弧长的曲线积分。（1）L(x y ) ds，其中L为圆周x acost, y asint (0
9、t 2)。（2）22n(x y)ds，其中L为连接(1,0)及(0,1)的直线段。L（3）Lxds，其中L为由直线y x及抛物线y x2所围成区域的整个边界。2x（4）Lyzds，其中L为折线 ABCD, 这里 A, B, C, D 依次为点(0,0, 0)，(0,0, 2)，(1,0, 2)，(1,3, 2)。42. 计算Ly2dx，其中L为（1）半径为 a，圆心为原点， 按逆时针方向绕行的上半圆周；（2）从点 A（a, 0）沿 x 轴到点 B（-a, 0）的直线段。 43.计算下列对坐标的曲线积分：222（1）L(x y )dx，其中L是抛物线y x上从点（0，0）到点（2， 4）的一段弧
10、；（2）Lydx xdy，其中L为圆周x Rcost, y Rsint上对应t从 0 到的一段弧；2(x y)dx(x y)dy（3）Lx2 y2，其中L为圆周x2 y2 a2（按逆时针方向绕行） 。44. 计算L(x y)dx(yx)dy，其中L是：2（1）抛物线y x上从点（1，1）到点（4，2）的一段弧；（2）从点（1，1）到点（4，2）的直线段；（3）先沿直线从点（1,1）到点（1，2） ，然后再沿直线到点（4， 2）的折线；（4）曲线x 2t2t 1, y t21上从点（1，1）到点（4，2）的一段弧。 45.证明下列曲线积分在整个xoy面内与路径无关， 并计算积分值：（2）(1,2
11、)(6xy2 y3)dx(6x2y3xy2)dy；（3）(3, 4)(2, 1)(1,0)(2xy2 y43)dx(x24xy3)dy.46.利用格林公式，计算下列曲线积分：（1）L(2x y4)dx(5y3x6)dy，其中L为三顶点分别为 （0,0） ， （3，0）和（3，2）的三角形正向边界；3222（3）L(2xy y cosx)dx(12ysin x3x y )dy，其中L为在抛物线2x y上由点（0，0）到(,1)的一段弧；2247. 验证下列P(x, y)dxQ(x, y)dy在整个xoy平面内是某一函数u(x, y)的全微分，并求这样的一个u(x, y)：（1）4sin xsin
12、3 ycosxdx3cos3 ycos2xdy;（2）(3x2y 8xy2)dx(x38x2y 12yey)dyy2cosx)dx(2ysin x x2sin y)dy（3）(2xcos y 22(x y )dS,其中是： 48. 计算22（1） 锥面z x y及平面z 1所围成的区域的整个边界曲面；（2）锥面z2 3(x2 y2)被平面z 0和z 3所截得的部分。49. 计算下列对面积的曲面积分：4xyz（1）(z 2xy)dS，其中为平面1在第一卦限中3234的部分；2（2）(2xy2x x z)dS，其中为平面2x2y z 6在第一卦限中的部分。50. 计算下列对坐标的曲面积分：2222
13、22x（1）y zdxdy，其中是球面x y z R的下半部分的下侧；（2）zdxdy xdydz ydzdx，其中是柱面x2 y21被平面z 0及z 3所截得的在第一卦限内的部分的前侧。51. 利用高斯公式计算曲面积分(x y)dxdy(y z)xdydz，其中是柱面x2 y21及平面z 0, z 3所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧。52. 利用高斯公式计算曲面积分：x2dydz y2dzdx z2dxdy，其中是平面x 0, y 0, z 0, x a, y a, z a所围成的立体的表面的外侧。xx 53. 计算曲线积分：L(e sin y2y)dx(e cos y2)dy，其中L
14、为上半圆周(xa)2 y2 a2, y 0沿逆时针方向。54. 计算下列曲面积分：dS（1）x2 y2 z2，其中是界于平面z 0及z H之间222的圆柱面x y R；222xdydz ydzdx zdxdyz R x y，其中为半球面（3）的上侧。55、判断下列级数是否收敛(n!)（1）（2）2（3）2nn nn1n1n112ncos22nn3（4）n1nsin24nn32nnn1n3 sin2 sinn（7）（5）（8）3nn（6）73n1n1n1n1n(n2)2nn!n(9)(10)nn11n( n1n)(11)21nn1n156、讨论下列级数的绝对收敛与条件收敛n1p（2）（1）(1)nn1(1)n1n1n3n157、把下列函数展成x的幂级数（1）f (x) (1 x)ln(1 x)（2）ln(xx 1)211（3）（4）（a 0的常数）(2x)2(a x)2158、把f (x) 2展开成(x1)的幂级数。x 4x359、把f (x) 1展开成(x4)的幂级数。x23x260.求下列级数的和函数4n1xx2n1n1（1）nx（2）（3）4n12n1n1n1n1
