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1、高等数学高等数学( (下下) ) 总复习总复习1. 求过点(4, -1, 3)且平行于直线x3yz 1的直线方程。215x2y4z 7=0,2. 求过点(2, 0, -3) 且与直线垂直的平面方程。3x5y2z1 03. 求过点(0, 2, 4)且与两平面x2z线方程。1和y3z 2平行的直4. 求过点(-1,0, 4), 且平行于平面3x4y z10 0,又与直线x1y 3z相交的直线的方程。1122z x sin2y的偏导数。5. 求22z2z z6. 求下列函数的2,:2和xyxyyxz arctanz yz x y 4x y(1);(2);(3)x44227. 设u f (x, y,
2、z) ex2y2z2uu,而z x sin y.求和.yx2w2w8. 设w f (x y z, xyz),f具有二阶连续偏导数, 求及xxz9. 求下列函数的一阶偏导数(其中f具有一阶连续偏导数) :。xyu f (,);u f (x, xy, xyz)u f (x y ,e );(1)(2)(3)yz22xy10. 设z f (x y ),其中f z2z11. 求下列函数的2,xyx2222z2z具有二阶导数, 求2,xyx2z,2(其中y2z,2。yf具有二阶连续偏导数) :x);y(1)z f ( xy, y);(2)z f ( x,22xy(3)z f (xy , x y);(4)z
3、 f (sin x, cos y, e)2 zz12. 设e xyz 0,求2。x2 z3313. 设z 3xyz a,求。xy14. 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数:u f (ux, v y),(1)设其中f,g具有一阶连续偏导数,2v g(u x, v y),uv求,。xxuuvux e usinv,(2)设求,uyxxy e ucosv,v,y。15. 求曲线x t1t,y 1t,zt t2在对应于t01的点处的切线及法平面方程。2316. 求出曲线x t, y t , z t上的点,使在该点的切线平行于平面x2y z 4。17.z求曲面e z xy 3在点(2, 1, 0)处
4、的切平面与法线方程。18. 求函数u xyz在附加条件1111xyza下的极值。(x 0, y 0, z 0, a 0)19. 求函数f (x, y) 4(x y) x2 y2的极值。 20. 求函数f (x, y) (6x x2)(4y y2)的极值。 21. 求函数z xy在适合附加条件x y 1下的极大值。 22. 求下列函数的一阶与二阶偏导数.2z ln(x y ) (2)z xy (1)23.设z f (u, x, y), u xey,其中f具有连续的二阶偏导数,2z求xy.zz24. 设x e cosv, y e sinv, z uv.试求和xyuu。 25. 计算xyd,其中D是
5、由直线y 1, x 2及y x所围D成的闭区域。2226. 计算y 1 x y d,其中D是由直线y x, x 1和Dy 1所围成的闭区域。27. 计算xydD,其中D是由抛物线y2 x及直线y x2所围成的闭区域。28.求球体x2 y2 z2 4a2被圆柱面x2 y2 2axa 0所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积。 29. 改换下列二次积分的积分次序:(1)0dy0f (x, y)dx(2)(3)(5)1ydy02122yy2f (x, y)dxf (x, y)dydy011y2 1y2ln xf (x, y)dx(4)dx2xx22xe1dx0f (x, y)dy(6)0dxsin
6、xf (x, y)dy2sinx30. 求由平面x 0, y 0, x y 1所围成的柱体被平面z 0及抛物面x2 y2 6 z截得的立体的体积。31. 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分:(1)0dx0f (x, y)dy(2)0dxx(3)1123xf ( x2 y2)dydx02a11x21xf (x, y)dy(4)dx01x20f (x, y)dy32. 把下列积分化为极坐标形式,并计算积分值:(1)0dx01x2axx2(x y )dy(2)21222a0adxx0x2 y2dy(x2 y2)dx(3)0dxx2(x y )dy(4)0dy033. 利用极坐标计算:(1)eD2a
7、2y2Dx2y222d,其中D是由圆周x y 4所围成的闭区域;(3)arctanydx,其中D是由圆周x2 y2 4,x2 y21及直线y 0, y x所围成的在第一象限内的闭区域。34. 计算三重积分xdxdydz,其中为三个坐标面及平面x2y z 1所围成的闭区域。 35. 利用柱面坐标计算三重积分zdv,其中为曲面22z 2 x2 y2及z x y所围成的闭区域。222 36. 利用球面坐标计算三重积分(x y z )dv,其中是由球222面x y z 1所围成的闭区域。 37. 选用适当的坐标计算下列三重积分:(1)22x y 1及平面z 1,z 0,xydv, 其中为柱面x 0,
8、y 0所围成的在第一卦限内的闭区域;22(x y )dv,其中是由曲面4z2 25(x2 y2)及平(2)面z 5所围成的闭区域。2 38. 计算二重积分:(y 3x6y9)d,其中DD (x, y)| x2 y2 R2。 39证明:a0dye0ym(ax)f (x)dx (a x)em(ax)f (x)dx0a 40. 设f (x, y)在闭区域D (x, y)| x2 y2 y, x 0上连续,且f (x, y) 1 x y 22f (x, y)dxdy,求f (x, y)。D8 41.计算下列对弧长的曲线积分。(1)L(x y ) ds,其中L为圆周x acost, y asint (0
9、t 2)。(2)22n(x y)ds,其中L为连接(1,0)及(0,1)的直线段。L(3)Lxds,其中L为由直线y x及抛物线y x2所围成区域的整个边界。2x(4)Lyzds,其中L为折线 ABCD, 这里 A, B, C, D 依次为点(0,0, 0),(0,0, 2),(1,0, 2),(1,3, 2)。42. 计算Ly2dx,其中L为(1)半径为 a,圆心为原点, 按逆时针方向绕行的上半圆周;(2)从点 A(a, 0)沿 x 轴到点 B(-a, 0)的直线段。 43.计算下列对坐标的曲线积分:222(1)L(x y )dx,其中L是抛物线y x上从点(0,0)到点(2, 4)的一段弧
10、;(2)Lydx xdy,其中L为圆周x Rcost, y Rsint上对应t从 0 到的一段弧;2(x y)dx(x y)dy(3)Lx2 y2,其中L为圆周x2 y2 a2(按逆时针方向绕行) 。44. 计算L(x y)dx(yx)dy,其中L是:2(1)抛物线y x上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧;(2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段;(3)先沿直线从点(1,1)到点(1,2) ,然后再沿直线到点(4, 2)的折线;(4)曲线x 2t2t 1, y t21上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧。 45.证明下列曲线积分在整个xoy面内与路径无关, 并计算积分值:(2)(1,2
11、)(6xy2 y3)dx(6x2y3xy2)dy;(3)(3, 4)(2, 1)(1,0)(2xy2 y43)dx(x24xy3)dy.46.利用格林公式,计算下列曲线积分:(1)L(2x y4)dx(5y3x6)dy,其中L为三顶点分别为 (0,0) , (3,0)和(3,2)的三角形正向边界;3222(3)L(2xy y cosx)dx(12ysin x3x y )dy,其中L为在抛物线2x y上由点(0,0)到(,1)的一段弧;2247. 验证下列P(x, y)dxQ(x, y)dy在整个xoy平面内是某一函数u(x, y)的全微分,并求这样的一个u(x, y):(1)4sin xsin
12、3 ycosxdx3cos3 ycos2xdy;(2)(3x2y 8xy2)dx(x38x2y 12yey)dyy2cosx)dx(2ysin x x2sin y)dy(3)(2xcos y 22(x y )dS,其中是: 48. 计算22(1) 锥面z x y及平面z 1所围成的区域的整个边界曲面;(2)锥面z2 3(x2 y2)被平面z 0和z 3所截得的部分。49. 计算下列对面积的曲面积分:4xyz(1)(z 2xy)dS,其中为平面1在第一卦限中3234的部分;2(2)(2xy2x x z)dS,其中为平面2x2y z 6在第一卦限中的部分。50. 计算下列对坐标的曲面积分:2222
13、22x(1)y zdxdy,其中是球面x y z R的下半部分的下侧;(2)zdxdy xdydz ydzdx,其中是柱面x2 y21被平面z 0及z 3所截得的在第一卦限内的部分的前侧。51. 利用高斯公式计算曲面积分(x y)dxdy(y z)xdydz,其中是柱面x2 y21及平面z 0, z 3所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧。52. 利用高斯公式计算曲面积分:x2dydz y2dzdx z2dxdy,其中是平面x 0, y 0, z 0, x a, y a, z a所围成的立体的表面的外侧。xx 53. 计算曲线积分:L(e sin y2y)dx(e cos y2)dy,其中L
14、为上半圆周(xa)2 y2 a2, y 0沿逆时针方向。54. 计算下列曲面积分:dS(1)x2 y2 z2,其中是界于平面z 0及z H之间222的圆柱面x y R;222xdydz ydzdx zdxdyz R x y,其中为半球面(3)的上侧。55、判断下列级数是否收敛(n!)(1)(2)2(3)2nn nn1n1n112ncos22nn3(4)n1nsin24nn32nnn1n3 sin2 sinn(7)(5)(8)3nn(6)73n1n1n1n1n(n2)2nn!n(9)(10)nn11n( n1n)(11)21nn1n156、讨论下列级数的绝对收敛与条件收敛n1p(2)(1)(1)nn1(1)n1n1n3n157、把下列函数展成x的幂级数(1)f (x) (1 x)ln(1 x)(2)ln(xx 1)211(3)(4)(a 0的常数)(2x)2(a x)2158、把f (x) 2展开成(x1)的幂级数。x 4x359、把f (x) 1展开成(x4)的幂级数。x23x260.求下列级数的和函数4n1xx2n1n1(1)nx(2)(3)4n12n1n1n1n1