《2022年导数的定义及可导条件教案》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年导数的定义及可导条件教案(8页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载导数一、导数的相关概念1、导数的定义:xxfxxfxfx)()(lim)(0000/例 1、用导数的定义求下列函数的导数(1)1)(xf(2)xxfx2)(22、单侧导数(左、右导数):(1) 、左导数:xxfxxffxx)()(0lim)(000/(2) 、右导数:xxfxxffxx)()(0lim)(000/例 2、求函数)1(14)1(2)(2xxxxxfx在点1x处的左导数和右导数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页学习必备欢迎下载3、 函 数)(xfy在 点xx0处 可 导 的 充 要 条
2、件 : 左 、 右 导 数 均 存 在 且 相 等 , 即)()(0/0/xxff例 3、已知函数xxf)(,试判定)(xf在0x是否可导?若可导,求出其导数值;若不可导数,请说明理由。4、导数的几何意义:曲线)(xfy上点()(,00xfx)处的切线的斜率。因此,如果)(xfy在点0x可导,则曲线)(xfy在点()(,00xfx)处的切线方程为)()(00/0xxxfxfy例 3、求函数1)(2xxf在点3x处的切线方程。注意:导数与导函数都称为导数,这要加以区分:求一个函数的导数,就是求导函数;求一个函数在给定点的导数,就是求导函数值,它们之间的关系是函数)(xfy在点0x处的导数就是导函
3、数)(/xf在点0x的函数值,通常记作xxy0或)(0xf。例 5、求函数xxf1)(的导数及其在1x处的导数值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页学习必备欢迎下载5、可导与连续的关系如果函数)(xfy在点xx0处可导,那么函数)(xfy在点x0处连续,反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件,而不是充分条件;即函数在某一点可导则在该点一定连续,但函数在某点连续不一定可导。例 4、已知函数)0(0(xxxxxy),试判断)(xfy在0x处的连续性和可导性。6、求函数)(xfy导数的一般方法:(1) 、求
4、函数的改变量)()(xfxxfy;(2) 、求平均变化率xxfxxfxy)()(;(3) 、取极限,得导数/y)(xfxyx0lim。例 5、求xy2的导数及其在点1x处的导数值。例 6、 已知123xxy,求y,2xy。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页学习必备欢迎下载二、几种常见函数的导数1、0C(C 为常数 ) 例如:求下列函数的导数:( 1)0y; (2))(Raay2、1)(nnnxx()Qn例如:求下列函数的导数:(1)xy2;(2)xy3;(3)xy3、xxcos)(sin4、xxsin)(cos5、x
5、x1)(ln6、axxaln1)(log例如:求下列函数的导数:(1)xylog37、eexx)(8、axaaxln)(例如:求下列函数的导数:(1)3xy; (2))21(xy三、函数的和、差、积、商的导数1、法 则 1 两个函数的和( 或差 ) 的导数,等于这两个函数的导数的和(或差 ),即)(vuvu2、法则 2 两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即)(uvvuuv3、法则3两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方,即2(0)uu vuvvvv例 7、求下列函数的导数(1)xyxsi
6、n3(2)324xyxx(3)453223xyxx(4))23)(32(2xyx(5)xxyxcos32(6)9cos2sin510xxxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页学习必备欢迎下载(7)xyxsin2(8)xxycos1(9)xycot(10)yxx31(11)yxxsin12四、复合函数的导数1、复合函数:由几个函数复合而成的函数,叫复合函数。由函数)(ufy与)(xu复合而成的函数一般形式是)(xfy,其中 u 称为中间变量。2、复合函数的导数:设函数 u=(x)在点 x 处有导数ux=(x),函数y
7、=f(u)在点 x 的对应点 u 处有导数yu=f(u),则复合函数y=f(x)在点 x 处也有导数,且xuxuyy或fx(x)=f(u) (x)。例 8、试说明下列函数是怎样复合而成32)2(xy;2sinxy;)4cos(xy;) 13sin(lnxy例 9、写出由下列函数复合而成的函数uycos,21xu;uyln,xuln例 10、求下列函数的导数(1)yxxxcos423(2)) 132ln(2xxy(3)21lgxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页学习必备欢迎下载(4)xyx1ln2(5)xylnlnl
8、n(6)xyln(7)xay21log(8)5)12( xy(9)xxf2sin)((10))32(sin2xy(11)32cbxaxy(12)y=51xx(13)2sin1yx(14)xxy221)32((15)52215113xyxx(16)xyxx3sin2232(17)xxynln(18)xyex3cos2(19)axy5(20)exysin;(21)21lnxy(22)exy22;(23)1ln22eexxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页学习必备欢迎下载(24)10sin2xy;(25)3ln2xexy
9、(26)exxy3sin2(27)xyex3sin2(28)xxysin(29)xxy2cos1lg32(30)xxy2(31))100)(100()3)(2)(1(xxxxxy(32))4)(3(2)(1(xxxxy例 11、利用导数证明2132132nnnnnnnnCCCC,其中Nn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页学习必备欢迎下载同步练习1、数xfy在xx0处可导是它在xx0处连续的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2、在曲线122xy的图象上取一点) 1 , 1(及邻
10、近一点yx 1 ,1,则xy等于()A.)(242xxB.x24C)(42xxD.x43、已知命题:p函数)(xfy的导函数是常数函数;命题:q函数)(xfy是一次函数,则命题p是命题q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4、设函数)(xf在x0处可导,则hhxfhxx000)(lim等于()A.)(0xfB.0C. )(20xfD. )(20xf5、设xxxf1,则)0(f等于()A.0B.1C.1D.不存在6、若曲线上每一点处的切线都平行于x轴,则此曲线的函数必是_。7、曲线xy3在点) 8, 2(P处的切线方程是_。8、曲线xxxf3)(2在点)10, 2(A处的切线斜率k_。9、两曲线12xy与xy23在交点处的两切线的夹角为_。10、设)(xf在点x处可导,ba,为常数,则xxbxfxaxfx)()(lim0_。11、已知函数)0()0(1)(2xbaxxxxfx,试确定ba,的值,使)(xf在0x处可导。12、设)()2)(1()()2)(1()(nxxxnxxxxf,求) 1(f。13、利用导数的定义求函数)0(xxy的导数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页