《2022年阳逻三中八年级数学下册第十八章《勾股定理》集体备课教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年阳逻三中八年级数学下册第十八章《勾股定理》集体备课教案（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载阳逻三中八年级数学下册集体备课教案第十八章勾股定理教材分析及教学建议本章主要内容是勾股定理及其逆定理。首先让学生通过观察得出直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理，然后运用勾股定理解决问题。在此基础上，引入勾股定理的逆定理，并结合此项内容介绍逆命题、逆定理的概念。本章教学时间约需8 课时，具体安排如下：181 勾股定理 4 课时182 勾股定理的逆定理 3课时数学活动小结 1课时一、教科书内容和课程学习目标本章知识结构框图：直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多重要的性质，如两个锐角互余，30的角所对的直角边等于斜边的一半。本章所研究的勾股
2、定理，也是直角三角形的性质，而且是一条非常重要的性质。勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大。它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用。目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。据说我国著名数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种“语言”的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义，发现勾股定理，尤其在2000 多年前，是非常了不起
3、的成就。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 25 页学习必备欢迎下载在第一节中，教科书让学生通过观察计算一些直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积，从而发现勾股定理。勾股定理的证明方法很多，教科书正文中介绍的是一种面积证法。其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。在教科书中，图18.1 3（1）中的图形经过割补拼接后得到图18.1 3（ 3）中的图形。由此就证明了勾股定理。通过推理证实命题
4、1 的正确性后，教科书顺势指出什么是定理。由勾股定理可知，已知两条直角边的长a,b ，就可以求出斜边c 的长。由勾股定理可得或，由此可知，已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长。也就是说，在直角三角形中，已知两条边的长，就可以求出第三条边的长。教科书相应安排了三个探究栏目，让学生运用勾股定理解决问题。在第二节中，教科书让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角形是直角三角形。从而猜想如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。这个猜想可以利用全等三角形证明，得到勾股定理的逆定理。勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直
5、角三角形的方法。教科书安排了两个例题，让学生学会运用这种方法。这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它通过代数运算“算”出来。实际上利用计算证明几何问题学生已经见过，计算在几何里也是很重要的。从这个意义上讲，勾股定理的逆定理的学习，对开阔学生眼界，进一步体会数学中的各种方法有很大的意义。几何中有许多互逆的命题，互逆的定理，它们从正反两个方面揭示了图形的特征性质，所以互逆命题和互逆定理是几何中的重要概念。学生已见过一些互逆命题（定理），例如：“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”；“全等三角形的对应边相等”与“对应边相等的三角形是全等三角形”等，都是互逆命题。勾股定理与勾股定理的
6、逆定理也是互逆的命题，而且这两个命题的题设和结论都比较简单。因此，教科书在前面已有感性认识的基础上，在第二节中，结合勾股定理的逆定理的内容的展开，穿插介绍了逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不一定成立。为巩固这些内容，相应配备了一些练习与习题。本章学习目标如下：1体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；2会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；3通过具体的例子，了解定理的含义，了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成立。二、本章编写特点（一）让学生体验勾股定理的探索和运用过程勾股定理的发现从传说故事讲起，从故事中可以发现等腰直角三角形有这样的性质：以等
7、腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。再看一些其他直角三角形，发现也有上述性质。因而猜想所有直角三角形都有这个性质，即如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么（教科书把这个猜想记作命题1，把下节“如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形”记作命题2，便于引出互逆命题）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 25 页学习必备欢迎下载教科书让学生用勾股定理探究三个问题。探究1 是木板进门问题。按照已知数据，木板横着、竖着都不能进门，只能斜着试试。由此想到求长方形门框的对角
8、线的长，而这个问题可以用勾股定理解决。探究2是梯子滑动问题：梯子顶端滑动一段距离，梯子的底端是否也滑动相同的距离。这个问题可以转化为已知斜边与一条直角边的长求另一条直角边的长的问题，这也可以用勾股定理解决。探究 3 是在数轴上画出表示的点。分以下四步引导学生：（1）将在数轴上画出表示的点的问题转化为画出长为的线段的问题。（2）由长为的线段是直角边都为1 的直角三角形的斜边，联想到长为的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边。（3）通过尝试发现，长为的线段是直角边为2,3 的直角三角形的斜边。（4）画出长为的线段，从而在数轴上画出表示的点。（二）结合具体例子介绍抽象概念在本章中，结合勾股定理
9、、勾股定理的逆定理介绍了定理、逆命题、逆定理的内容。在勾股定理一节中，先让学生通过观察得出命题1，然后通过面积变形证明命题1。由此说明，经过证明被确认正确的命题叫做定理。在勾股定理的逆定理一节中，从古埃及人画直角的方法谈起，然后让学生画一些三角形（已知三边，并且两边的平方和等于第三边的平方），可以发现画出的三角形是直角三角形。因而猜想如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形，即教科书中的命题2。把命题2 的条件、结论与上节命题1 的条件、结论作比较，引出逆命题的概念。接着探究证明命题2 的思路。用三角形全等证明命题 2 后，顺势引出逆定理的概念。命题 1，命题 2 属于原命题成立，逆
10、命题也成立的情况。为了防止学生由此误以为原命题成立，逆命题一定成立，教科书特别举例说明有的原命题成立，逆命题不成立。（三）注重介绍数学文化我国古代的学者们对勾股定理的研究有许多重要成就，不仅在很久以前独立地发现了勾股定理，而且使用了许多巧妙的方法证明了它，尤其在勾股定理的应用方面，对其他国家的影响很大，这些都是我国人民对人类的重要贡献。本章介绍了我国古代的有关研究成果。在引言中介绍我国古算书周髀算经的记载“如果勾是三、股是四、那么弦是五”。有很多方法可以证明勾股定理。教科书为了弘扬我国古代数学成就，介绍了我国古人赵爽的证法。首先介绍赵爽弦图，然后介绍赵爽利用弦图证明命题1 的基本思路。“赵爽弦
11、图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲。正因为此，这个图案被选为20XX年在北京召开的世界数学家大会的会徽。还在习题中安排我国古代数学著作九章算术中的问题，展现我国古人在勾股定理应用研究方面的成果。本章也介绍了国外的有关研究成果。如勾股定理的发现是从与毕达哥拉斯有关传说故事引入的。又如勾股定理的逆定理从古埃及人画直角的方法引入。再如介绍古希腊哲学家柏拉图关于勾股数的结论。三、几个值得关注的问题（一）让学生获得更多与勾股定理有关的背景知识精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 25 页学习必备欢迎下载
12、与勾股定理有关的背景知识丰富，除正文介绍的有关内容外，教科书在 “阅读与思考勾股定理的证明”中介绍了另外几种证明勾股定理的方法，还安排了一个数学活动，让学生收集一些证明勾股定理的方法，并与同学交流。在教学中，应注意展现与勾股定理有关的背景知识，使学生对勾股定理的发展过程有所了解，感受勾股定理的丰富文化内涵，激发学生的学习兴趣。特别应通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感，同时教育学生发奋图强，努力学习，为将来担负起振兴中华的重任打下基础。（二）适当总结与定理、逆定理有关的内容本章中给出了定理、逆定理的概念，可以在小结中
13、回顾已学的一些结论。例如，在第七章“三角形”中，“三角形的内角和等于180”是由平行线的性质与平角的定义推出的，这个结论也称为三角形内角和定理。又如，在第十三章“全等三角形”中，都是利用三角形全等证明的，前一个结论也称为角的平分线的性质定理，而后一个结论是角的平分线的性质定理的逆定理。这样就可以从定理、逆定理的角度认识已学的一些结论，明确其中一些结论之间的关系。互逆命题、互逆定理的概念，学生接受它们困难不大，对于那些不是以“如果那么”形式给出的命题，叙述它们的逆命题困难较大，是教学中的一个难点。解决这个难点的方法是，适当复习命题的有关内容，学会把一个命题变为“如果那么”的形式。注意这些概念是第
14、一次学习，不要要求过高。四、教学建议本章内容的重点与难点是勾股定理及其应用，勾股定理的逆定理及其应用。勾股定理是解几何题中有关线段计算问题的重要依据，也是以后学习解直角三角形的主要依据之一。本章的难点是掌握勾股定理并能熟练的运用勾股定理。要注意：在直角三角形中，反映的是直角三角形的三边关系。直角三角形两直角边a,b 的平方和等于斜边的平方和。在其它三角形中不存在这样的关系。这是一个非常重要的定理。它是把形转化为数 ，它的应用非常广泛。勾股定理的逆定理则是把数转化为形，通过计算判定一个三角形是否为直角三角形。相关知识点回顾：（1）直角三角形的两个锐角互余（2）直角三角形中30 度角所对的直角边等
15、于斜边的一半。（3）斜边大于任一条直角边（4）全等三角形判定方法。（5）面积公式学生在本章学习中存在认知误区和思维障碍。(1)忽视题目中的隐含条件。如在RtABC 中， B90，a，b，c 分别为三条边，a3，b4，求边 c的长。不少学生会认为c5，忽视了b 是斜边这一隐含条件。(2)忽视定理成立的条件是在直角三角形中，有的同学看到三角形的两边是3 和 4， 就会认为第三边是5，(3)考虑问题不全面造成漏解如已知直角三角形的两边长分别为5 和 12，求第三边。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 25 页学习必备欢迎下载(4)
16、通过添加辅助线将非直角三角形转化为直角三角形如(a)连结两点构造直角三角形（b）作高构造直角三角形（ c）构造几何图形解决代数问题。教学建议本章教学教师可采用主体性学习的教学模式，提出问题让学生思考，设计问题让学生做，错误原因让学生找，方法与规律让学生归纳教师的作用在于组织、点拨、引导，促进学生主动探索、积极思考、大胆想象、总结规律，充分发挥学生的主体作用，让学生真正成为教学活动的主人。本章的教学步骤可分五步：探索结论验证结论初步应用结论证明结论应用结论解决实际问题。1 、在探索结论阶段，应调动学生的积极性，让学生充分参与例如，教材设计了在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的活动，教师鼓励
17、学生尝试求出方格中三个正方形的面积、比较这三个正方形的面积的关系，由此得到直角三角形三边的关系、通过对几个特殊例子的考察归纳出直角三角形三边之间的一般规律，运用自己的语言表达探索过程和所得结论。2 、在勾股定理的探索和验证过程中，数形结合的思想有较多的体现例如，在探索勾股定理的过程中，教师应引导学生由正方形的面积想到；而在勾股定理的验证过程中，教师又应引导学生由数想到正方形的面积3 、初步应用结论阶段的重点是让学生明确：在直角三角形中，知道两边的长度，可以求得第三边的长度，教师应充分利用教材让学生体会勾股定理及其逆定理在现实世界中有着较为广泛的应用，如埃及人利用结绳的方法作出直角，利用勾股定理
18、求出蚂蚁的最短路线等。4 、证明结论阶段主要是理清思路，而不只是介绍某一种证明方法教师在教学中应激发学生探索更多的证明方法，注意训练学生书写规范。5、 应用结论解决实际问题要注意强调两类问题：探索性问题和应用性问题通过问题的解决，让学生学会从不同角度分析问题、解决问题；让学生学会引申、变更问题，以培养学生发现问题、提出问题的创造能力例 有一个边长为50 分米的正方形洞口，问用直径为多长的圆形铁片来堵住洞口？表面看上去这是一个有关圆的问题。其实圆形铁片的直径就应该是等腰三角形的斜边长边长是50 分米，把它看成一个直角三角形，然后用勾股定理，两条直角边的平方和等于斜边的平方。就是50x50+50x
19、50=5000 ，答案是502 =70.5 要求学生记住勾股定理，然后对待问题套公式，这样可以解决一系列的问题6 、注重介绍数学史，凸显数学的文化价值7 、关注学生学习过程的评价，对于本章的学习，除了考查勾股定理的解题应用外，还应该关注对学精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 25 页学习必备欢迎下载E B A A B C A B C D B 生学习过程的评价。例如，让学生动手截、割、拼、补，使学生参与定理的发现、探索、验证过程，既能培养学生数学的直观能力，又能体现教学的针对性、活动性、开放性与合作性。五 常见典型错误简析(1
20、)如何求第三边? 例 1 在 RtABC 中， B90，a，b， c分别为三条边，a3，b 4，求边 c 的长。不少学生会认为c 5，忽视了b 是斜边这一隐含条件。例 2 判断：在 ABC 中， AC 3，BC4，求 AB 的长不少学生会认为AB=5, 忽视了 ABC 是直角三角形这个条件。例 3 已知直角三角形的两边长分别为5 和 12，求第三边。不少学生会认为第三边为13，忽视了12 可能是直角边也可能是斜边。例 4 如图， A 45， B=D=90 ，BC=1 ，AD 2， 求 CD 的长。不少学生会在四边形ABCD 里面加辅助线， 破坏了已知的条件。增加了解题的难度。应该把 AB,CD
21、 边延长，构造出新的直角三角形，利用勾股定理解题。(2)蚂蚁怎么走最近? 例 5 如图，有一个圆柱，它的高等于12 厘米，底面半径等于3 厘米在圆柱的下底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的C 点处的食物，需要爬行的最短路程是多少?(的值取 3)本题常见错误有两个：一是不能正确地将圆柱的侧面展开，从而无法进行求解；二是误将圆柱侧面展开图 (矩形 )的对角线作为所求的AC (3)木板能否经过门框? 例 6 一个门框的长为2m,宽为 1m,如图所示，一块长3 m，宽 2.2m 的薄木板能否从门框内通过?为什么 ?不少学生一看此题，就会给出答案：不能而不知应先利用勾股定理求出AC 的长
22、再进行判断。DABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 25 页学习必备欢迎下载5 20 15 10 C A B (4)梯子底端下滑几米? 例 7 一个 3 m 长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 的距离为25 m，如果梯子的顶端A 沿墙下滑05m，那么梯子底端B 也外移 05 吗？本题学生容易错误地理解为梯子的顶端A 沿墙下滑 05 m 时，梯子底端C 向外移动的距离是CD ，因为梯子的长度没有改变，认为 CD=AE ，得出错误解答。(5)湖水如何知深浅? 例 8 “ 荷花问题 ” ：“ 平平湖水清可鉴，面
23、上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅?” 请用学过的数学知识解答这个问题六 中考热点勾股定理在中考数学中单独命题考查的选择题和填空题相对较少，而主要是与方程、函数、四边形、圆以及相似形等知识综合在一起考查，灵活性强，涉及面广、能力要求高。1(20XX年达州 )图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A、B、C、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是A 13 B26 C47 D94 【答案】 C 2（20XX 年滨州）如图3，已知 ABC 中， AB17， AC1
24、0， BC 边上的高AD 8， 则边 BC 的长为（）A21 B15 C6 D以上答案都不对【答案】 A 3(20XX年安顺 )图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。在RtABC 中，若直角边AC 6，BC6，将四个直角三角形中边长为6 的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是_。【答案】 76 4 （20XX 年湖南长沙） 如图，等腰ABC中，ABAC，AD是底边上的高，若5cm6cmABBC，则ADcm【答案】 45（2009 恩施市）如图，长方体的长为15，宽为 10，高为20，点B离点C的A C
25、D B A C D B OABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 25 页学习必备欢迎下载B C A 30D A B E C F （第 24 题）距离为 5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A5 21B25 C1055D35【答案】 B 6（20XX 年滨州）某楼梯的侧面视图如图4 所示，其中4AB米，30BAC，90C，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为【答案】（ 2+23）米7(20XX 年四川省内江市)已知 RtABC 的周长是344，斜边上的中线长
26、是2，则 SABC_【答案】 8 8（20XX 年宜宾 ）已知：如图，以Rt ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形若斜边 AB 3,则图中阴影部分的面积为【答案】299（20XX 年崇左）如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AD/BC ，AB DC,AD 2, BC4，延长 BC 到 E，使 CEAD （1）证明： BAD DCE；（2）如果 AC BD，求等腰梯形ABCD 的高 DF 的值答案3DF10（09 白银市） 如图 13， ACB 和 ECD 都是等腰直角三角形，ACB ECD90，第十八章勾股定理ABCEFH第12题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归
27、纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 25 页学习必备欢迎下载181 勾股定理（一）一、教学目标1了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。2培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。3介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。二、重点、难点1重点：勾股定理的内容及证明。2难点：勾股定理的证明。三、例题的意图分析例 1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。例 2 使学生明确
28、，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。四、课堂引入目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。让学生画一个直角边为3cm 和 4cm 的直角 ABC ，用刻度尺量出AB 的长。以上这个事实是我国古代3000 多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广
29、三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是 3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。再画一个两直角边为5 和 12 的直角 ABC ，用刻度尺量AB 的长。你是否发现32+42与 52的关系， 52+122和 132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。对于任意的直角三角形也有这个性质吗？五、例习题分析例 1（补充）已知：在ABC 中， C=90， A、 B、 C 的对边为 a、b、c。求证： a2b2=c2。分析： 让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。拼成
30、如图所示，其等量关系为：4S+S小正=S大正421ab（ ba）2=c2，化简可证。发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。 勾股定理的证明方法，达300 余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。例 2 已知：在 ABC 中， C=90，A、 B、 C 的对边为 a、b、c。求证： a2b2=c2。分析：左右两边的正方形边长相等，则两个cbaDCABbbbbccccaaaabbbbaaccaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 25 页学习必备欢迎下载正方形的面积相等。左
31、边 S=421abc2右边 S=（a+b）2左边和右边面积相等，即421ab c2=（a+b）2化简可证。六、课堂练习1勾股定理的具体内容是：。2如图，直角ABC 的主要性质是：C=90，（用几何语言表示）两锐角之间的关系：；若 D 为斜边中点，则斜边中线；若 B=30，则 B 的对边和斜边：；三边之间的关系：。3 ABC 的三边 a、b、c，若满足 b2= a2c2，则=90；若满足 b2c2a2，则 B 是角；若满足 b2c2a2，则 B 是角。4根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。七、课后练习1已知在RtABC 中， B=90， a、b、 c 是 ABC 的三边，则c= 。（已知 a、
32、b，求 c）a= 。（已知 b、c，求 a）b= 。（已知a、c，求 b）2如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c，有 a bc，试根据表中已有数的规律，写出当a=19 时，b，c 的值，并把b、c 用含 a 的代数式表示出来。3、4、5 32+42=525、12、13 52+122=1327、24、25 72+242=2529、40、41 92+402=41219，b、c 192+b2=c23在 ABC 中， BAC=120 ， AB=AC=310cm，一动点P从 B 向 C 以每秒 2cm 的速度移动，问当P点移动多少秒时，PA 与腰垂直。4已知：如图，在ABC 中， AB=AC ，D
33、在 CB 的延长线上。求证： AD2AB2=BD CD ADCBACBDbccaabDCAEB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 25 页学习必备欢迎下载若 D 在 CB 上，结论如何，试证明你的结论。课后反思：八、参考答案课堂练习1略；2 A+B=90； CD=21AB； AC=21AB ； AC2+BC2=AB2。3 B，钝角，锐角；4提示：因为S梯形ABCD = SABE+ SBCE+ SEDA，又因为S梯形ACDG=21（ a+b）2，SBCE= SEDA=21ab，SABE=21c2, 21（a+b）2=221a
34、b21c2。课后练习1 c=22ab； a=22cb； b=22ac21222bccba；则 b=212a，c=212a；当 a=19 时， b=180，c=181。35 秒或 10 秒。4提示：过A 作 AEBC 于 E。181 勾股定理（二）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 25 页学习必备欢迎下载一、教学目标1会用勾股定理进行简单的计算。2树立数形结合的思想、分类讨论思想。二、重点、难点1重点：勾股定理的简单计算。2难点：勾股定理的灵活运用。三、例题的意图分析例 1（补充）使学生熟悉定理的使用，刚开始使用定理，让学
35、生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。并学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边。例 2（补充）让学生注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。例 3（补充）勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高综合能力。四、课堂引入复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。学习勾股定理重在应用。五、例习题分析例 1（补充）在RtABC ， C=90已知 a=b=5,求 c。已知 a=1,c=2, 求 b。已知 c=
36、17,b=8, 求 a。已知 a：b=1：2,c=5, 求 a。已知 b=15， A=30 ，求 a，c。分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。已知一边和两边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。例 2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5 和 12，求第三边。分析：已知两边中较大边12 可能是直角边，也可能是斜边，因此应分
37、两种情况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。例 3（补充）已知：如图，等边ABC 的边长是6cm。求等边 ABC 的高。求 SABC。分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。欲求高CD，可将其置身于Rt ADC 或 RtBDC 中，但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD=21AB=3cm ，则此题可解。六、课堂练习1填空题在 RtABC ， C=90， a=8，b=15，则 c= 。在 RtABC ， B=90， a=3，b=4，则 c= 。在 RtABC ， C=90， c=10，a
38、：b=3：4，则 a= ， b= 。一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为。DCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 25 页学习必备欢迎下载已知直角三角形的两边长分别为3cm 和 5cm，则第三边长为。已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为，面积为。2已知：如图，在ABC 中， C=60， AB=34，AC=4 ，AD 是 BC边上的高，求BC 的长。3已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。七、课后练习1填空题在 RtABC ， C=90，如果 a=7，c=25，则 b= 。
39、如果 A=30 ， a=4，则 b= 。如果 A=45 ， a=3，则 c= 。如果 c=10，a-b=2，则 b= 。如果 a、b、c 是连续整数，则a+b+c= 。如果 b=8，a：c=3：5，则 c= 。2已知：如图，四边形ABCD 中， AD BC，AD DC，ABAC ， B=60， CD=1cm ，求 BC 的长。课后反思：八、参考答案课堂练习117；7；6， 8；6，8，10；4 或34；3，3；28；348。课后练习124；43；32；6；12；10；2332181 勾股定理（三）ACBDBCDA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
40、 - -第 13 页，共 25 页学习必备欢迎下载一、教学目标1会用勾股定理解决简单的实际问题。2树立数形结合的思想。二、重点、难点1重点：勾股定理的应用。2难点：实际问题向数学问题的转化。三、例题的意图分析例 1（教材 P74 页探究 1）明确如何将实际问题转化为数学问题，注意条件的转化；学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题。例 2（教材 P75 页探究 2）使学生进一步熟练使用勾股定理，探究直角三角形三边的关系：保证一边不变，其它两边的变化。四、课堂引入勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可
41、以吗？试一试。五、例习题分析例 1（教材 P74 页探究 1）分析：在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角。让学生深入探讨图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？转化为勾股定理的计算，采用多种方法。注意给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣。例 2（教材 P75 页探究 2）分析：在AOB中，已知AB=3 ， AO=2.5 ，利用勾股定理计算OB 。在COD 中，已知CD=3 ，CO=2，利用勾股定理计算OD。则 BD=OD OB，通过计算可知BDAC 。进一步让学生探究A
42、C 和 BD 的关系，给AC 不同的值，计算BD。六、课堂练习1小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45 度的坡路走了500 米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是米。2如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是米，水平距离是米。2 题图3 题图4 题图3如图，一根12 米高的电线杆两侧各用15 米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。4如图，原计划从A 地经 C 地到 B 地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A 地到 B 地直接修建， 已知高速公路一公里造价为DABC30ABCCABACBOABCD精选学习资料 - - - - - - - - -
43、名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 25 页学习必备欢迎下载300 万元，隧道总长为2 公里，隧道造价为500 万元， AC=80 公里， BC=60 公里，则改建后可省工程费用是多少？七、课后练习1如图， 欲测量松花江的宽度，沿江岸取 B、C 两点， 在江对岸取一点A，使 AC 垂直江岸， 测得 BC=50米，B=60，则江面的宽度为。2有一个边长为1 米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为米。3一根 32 厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点， PQ=16厘米，且RP PQ ，则 RQ= 厘米。4 如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱
44、高 24 米， B= C=30，E、F 分别为 BD、CD 中点，试求B、C 两点之间的距离，钢索AB 和AE 的长度。（精确到1 米）课后反思：八、参考答案：课堂练习：12250；26，32；318 米；411600；课后练习1350米；222；320；483 米， 48 米， 32 米；RPQACBDEF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 25 页学习必备欢迎下载181 勾股定理（四）一、教学目标1会用勾股定理解决较综合的问题。2树立数形结合的思想。二、重点、难点1重点：勾股定理的综合应用。2难点：勾股定理的综合应用。
45、三、例题的意图分析例 1（补充）“双垂图”是中考重要的考点，熟练掌握“双垂图”的图形结构和图形性质，通过讨论、计算等使学生能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3 个直角三角形，三个勾股定理及推导式 BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30或 45特殊角的特殊性质等。例 2（补充）让学生注意所求结论的开放性，根据已知条件，作适当辅助线求出三角形中的边和角。让学生掌握解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。使学生清楚作辅助线不能破坏已知角。例 3（补充）让学生掌握不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形
46、面积转化为三角形面积之差。在转化的过程中注意条件的合理运用。让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高解题的综合能力。例 4（教材 P76 页探究 3）让学生利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。四、课堂引入复习勾股定理的内容。本节课探究勾股定理的综合应用。五、例习题分析例 1（补充） 1已知：在RtABC 中， C=90， CDBC 于 D， A=60 ， CD=3，求线段 AB 的长。分析：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3 个直角三
47、角形，三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30或 45特殊角的特殊性质等。要求学生能够自己画图，并正确标图。引导学生分析：欲求AB ，可由AB=BD+CD ，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD=3和AD=1 。或欲求AB ，可由22BCACAB，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC=2 和 BC=6。例 2（补充）已知：如图，ABC 中， AC=4 ， B=45， A=60 ，根据题设可知什么？分析：由于本题中的ABC 不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得ACB=75 。在学生充分思考和讨论后，发现添置AB 边上的高这条
48、辅助线，就可以求得AD ，CD，BD ，AB，BC 及 SABC。让学生充分讨论还可以作其它辅助线吗？为什么？小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。并指出如何作辅助线？解略。CABDBACD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 25 页学习必备欢迎下载例 3（补充） 已知： 如图， B=D=90，A=60 ，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD 的面积。分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC ，或延长AB、DC 交于 F，或延长 AD 、BC 交于 E，根据本题给定的角应选后两种，进
49、一步根据本题给定的边选第三种较为简单。教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会。解：延长AD 、BC 交于 E。 A= 60， B=90 ， E=30。AE=2AB=8 ，CE=2CD=4 ，BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=48=34。DE2= CE2-CD2=42-22=12， DE=12=32。S四边形ABCD=SABE-SCDE=21AB BE-21CDDE=36小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。例 4（教材 P76 页探究 3）分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数
50、轴上的点与实数一一对应的理论。变式训练：在数轴上画出表示22 ,13的点。六、课堂练习1 ABC 中， AB=AC=25cm ，高 AD=20cm, 则 BC= ，SABC= 。2 ABC中，若 A=2 B=3 C，AC=32cm，则 A= 度， B= 度 , C= 度， BC= ，SABC= 。3ABC 中，C=90，AB=4，BC=32，CD AB 于 D，则 AC= ，CD= ，BD= ，AD= ,SABC= 。4已知：如图，ABC 中， AB=26 ，BC=25，AC=17 ，求 SABC。七、课后练习1在 RtABC 中， C=90， CDBC 于 D， A=60 ， CD=3，AB
51、= 。2在 RtABC 中， C=90， SABC=30， c=13，且 ab，则 a= ，b= 。3已知：如图，在ABC 中， B=30， C=45， AC=22，求（ 1）AB 的长；（ 2）SABC。4在数轴上画出表示52,5的点。ABCDEABCABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 25 页学习必备欢迎下载课后反思：八、参考答案：课堂练习：130cm，300cm2；290， 60，30，4，32；32，3，3，1，32；4作 BDAC 于 D，设 AD=x ，则 CD=17-x ，252-x2=262-（17-
52、x）2，x=7，BD=24 ，SABC=21AC BD=254 ；课后练习：14；25，12；3提示：作AD BC 于 D，AD=CD=2 ，AB=4 ，BD=32，BC=2+32， SABC= =2+32；4略。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 25 页学习必备欢迎下载182 勾股定理的逆定理（一）一、教学目标1体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。2探究勾股定理的逆定理的证明方法。3理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。二、重点、难点1重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。2难点：勾股定理的逆定理的证明。
53、三、例题的意图分析例 1（补充）使学生了解命题，逆命题，逆定理的概念，及它们之间的关系。例 2（P82 探究）通过让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，锻炼学生的动手操作能力，再通过探究理论证明方法，使实践上升到理论，提高学生的理性思维。例 3（补充）使学生明确运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：先判断那条边最大。分别用代数方法计算出a2+b2和 c2的值。判断a2+b2和 c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。四、课堂引入创设情境：怎样判定一个三角形是等腰三角形？怎样判定一个三角形是直角三角形？和等腰
54、三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进行猜想。五、例习题分析例 1（补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？同旁内角互补，两条直线平行。如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半。分析：每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用。理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假。解略。例 2 （P82探究） 证明：如果三角形的三边长a， b， c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
55、分析：注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形，然后写已知求证。如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直角。利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法。充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受。abcabBCAA1C1B1精选学习资料 - - - - - - - - - 名
56、师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 25 页学习必备欢迎下载证明略。例 3（补充）已知：在ABC 中， A、 B、 C 的对边分别是a、b、 c，a=n2 1，b=2n，c=n21（n1）求证： C=90。分析：运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：先判断那条边最大。分别用代数方法计算出a2+b2和 c2的值。判断a2+b2和 c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。要证 C=90， 只要证 ABC 是直角三角形， 并且 c边最大。根据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可。由于a2+b2= （n2 1）2（ 2n）2
57、=n42n21，c2=（n21）2= n42n2 1，从而a2+b2=c2，故命题获证。六、课堂练习1判断题。在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角。命题：“在一个三角形中，有一个角是30，那么它所对的边是另一边的一半。”的逆命题是真命题。勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 ABC 的三边之比是1：1：2，则 ABC 是直角三角形。2 ABC 中 A、 B、 C 的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）A如果 C B= A，则 ABC 是直角三角形。B如果 c2= b2a2，则 ABC 是直角三角形
58、，且C=90。C如果（ ca）（ ca）=b2，则 ABC 是直角三角形。D如果 A： B： C=5：2：3，则 ABC 是直角三角形。3下列四条线段不能组成直角三角形的是（）Aa=8，b=15，c=17 Ba=9， b=12，c=15 Ca=5，b=3，c=2Da：b：c=2：3：4 4已知：在 ABC 中， A、 B、 C 的对边分别是a、b、 c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？a=3，b=22，c=5；a=5，b=7，c=9；a=2，b=3，c=7；a=5，b=62，c=1。七、课后练习，1叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确。如果 a30，那
59、么 a20；如果三角形有一个角小于90，那么这个三角形是锐角三角形；如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等；关于某条直线对称的两条线段一定相等。2填空题。任何一个命题都有，但任何一个定理未必都有。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 25 页学习必备欢迎下载“两直线平行，内错角相等。”的逆定理是。在 ABC 中，若 a2=b2c2，则 ABC 是三角形，是直角；若 a2b2c2，则 B 是。若在 ABC 中， a=m2n2，b=2mn，c= m2n2，则 ABC 是三角形。3若三角形的三边是1、3、 2；51,41,31；
60、32，42，52 9，40， 41；（ mn）21，2（mn），（ mn）21；则构成的是直角三角形的有（）A2 个B个个个4已知：在 ABC 中， A、 B、 C 的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？a=9，b=41，c=40； a=15，b=16，c=6；a=2，b=32，c=4；a=5k，b=12k，c=13k（k 0）。课后反思：八、参考答案：课堂练习：1对，错，错，对；2D；3D；4是， B；不是；是，C；是， A。课后练习：1如果a20，那么 a30；假命题。如果三角形是锐角三角形，那么有一个角是锐角；真命题。如果两个三角形的
61、对应角相等，那么这两个三角形全等；假命题。两条相等的线段一定关于某条直线对称；假命题。2逆命题，逆定理；内错角相等，两直线平行；直角，B，钝角；直角。3B 4是， B；不是，；是，C；是， C。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 25 页学习必备欢迎下载182 勾股定理的逆定理（二）一、教学目标1灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。2进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。二、重点、难点1重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。2难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。三、例题的意图分析例 1（P83 例 2
62、）让学生养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。例 2（补充）培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。四、课堂引入创设情境：在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一些数学知识和数学方法。五、例习题分析例 1（P83 例 2）分析：了解方位角，及方位名词；依题意画出图形；依题意可得PR=12 1.5=18，PQ=161.5=24，QR=30；因为 242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理的逆定理，知QPR=90； PRS=QPR-QPS=45。小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。例 2（补充）一根30
63、 米长的细绳折成3 段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7 米，比较长边短1 米，请你试判断这个三角形的形状。分析：若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13；根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形。解略。六、课堂练习1小强在操场上向东走80m 后，又走了60m，再走 100m 回到原地。小强在操场上向东走了80m 后，又走60m 的方向是。2如图，在操场上竖直立着一根长为2 米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1 米，则 A、B、C 三点能否构成直角三角形？为什么？3如图，在我国沿海有一艘不
64、明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13 海里的 A、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达 C 地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120 海里， 乙巡逻艇每小时航行 50 海里，航向为北偏西40，问：甲巡逻艇的航向？BACDPNESQRENABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 25 页学习必备欢迎下载七、课后练习1一根24 米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为，此三角形的形状为。2一根 12 米的电线杆AB ，用铁丝 AC 、AD 固定，现已知用去铁丝AC=15米， AD=13
65、 米，又测得地面上B、C 两点之间距离是9 米，B、D 两点之间距离是 5 米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？3如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4 米， BC=3 米， CD=13 米， DA=12 米，又已知B=90。课后反思：八、参考答案：课堂练习：1向正南或正北。2能，因为BC2=BD2+CD2=20，AC2=AD2+CD2=5，AB2=25，所以 BC2+AC2= AB2；3由 ABC 是直角三角形，可知CAB+ CBA=90 ，所以有 CAB=40 ，航向为北偏东50。课后练习：16
66、 米， 8 米， 10 米，直角三角形；2 ABC 、 ABD 是直角三角形，AB 和地面垂直。3提示：连结AC 。AC2=AB2+BC2=25，AC2+AD2=CD2，因此 CAB=90 ，S四边形=SADC+SABC=36 平方米。ABCDDCAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 25 页学习必备欢迎下载182 勾股定理的逆定理（三）一、教学目标1应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。2灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。3进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。二、重点、难点1重点：利用勾股定理及逆
67、定理解综合题。2难点：利用勾股定理及逆定理解综合题。三、例题的意图分析例 1（补充）利用因式分解和勾股定理的逆定理判断三角形的形状。例 2（补充）使学生掌握研究四边形的问题，通常添置辅助线把它转化为研究三角形的问题。本题辅助线作平行线间距离无法求解。创造3、 4、5 勾股数，利用勾股定理的逆定理证明DE 就是平行线间距离。例 3（补充）勾股定理及逆定理的综合应用，注意条件的转化及变形。四、课堂引入勾股定理和它的逆定理是黄金搭档，经常综合应用来解决一些难度较大的题目。五、例习题分析例 1 （补充）已知：在 ABC 中，A、 B、 C 的对边分别是a、 b、 c， 满足 a2+b2+c2+338=
68、10a+24b+26c。试判断 ABC 的形状。分析：移项，配成三个完全平方；三个非负数的和为0，则都为0；已知 a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。例 2（补充）已知：如图，四边形ABCD ，AD BC，AB=4 ，BC=6， CD=5，AD=3 。求：四边形ABCD 的面积。分析：作DEAB ，连结 BD，则可以证明ABD EDB（ASA ）；DE=AB=4 ，BE=AD=3 ，EC=EB=3 ；在 DEC 中， 3、4、5 勾股数， DEC 为直角三角形，DEBC；利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。例 3 （补充） 已知：如图，在 ABC 中，CD 是
69、AB 边上的高， 且 CD2=AD BD 。求证： ABC 是直角三角形。分析： AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2 AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2 =AD2+2AD BD+BD2 =（AD+BD ）2=AB2六、课堂练习1若 ABC 的三边 a、 b、c，满足（ ab）（ a2b2c2）=0，则 ABC 是（）A等腰三角形；B直角三角形；C等腰三角形或直角三角形；D等腰直角三角形。2若 ABC 的三边 a、 b、c，满足 a：b：c=1：1：2，试判断 ABC 的形状。3已知：如图，四边形ABCD ，AB=1 ，BC=43，CD=413，AD=3 ，且 AB BC。求：
70、四边形ABCD 的面积。ABCDEBACDABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 25 页学习必备欢迎下载4已知：在ABC 中， ACB=90 ， CDAB 于 D，且 CD2=AD BD 。求证： ABC 中是直角三角形。七、课后练习，1若 ABC 的三边 a、b、c 满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求 ABC 的面积。2在 ABC 中， AB=13cm ，AC=24cm ，中线 BD=5cm 。求证： ABC 是等腰三角形。3已知：如图，1= 2， AD=AE ， D 为 BC上一点，且BD=DC
71、 ，AC2=AE2+CE2。求证： AB2=AE2+CE2。4已知 ABC 的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=14，试判定 ABC的形状。课后反思：八、参考答案：课堂练习：1C；2 ABC 是等腰直角三角形；3494提示： AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2， AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2= AD2+2AD BD+BD2=（AD+BD ）2=AB2， ACB=90 。课后练习：16；2提示：因为AD2+BD2=AB2，所以 AD BD ，根据线段垂直平分线的判定可知AB=BC 。3提示：有AC2=AE2+CE2得 E=90；由 ADC AEC ，得 AD=AE ，CD=CE ， ADC= BE=90 ，根据线段垂直平分线的判定可知AB=AC ，则 AB2=AE2+CE2。4提示：直角三角形，用代数方法证明，因为（a+b）2=16，a2+2ab+b2=16，ab=1，所以 a2+b2=14。又因为c2=14，所以 a2+b2=c2 。BCAED精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 25 页
