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1、学习必备欢迎下载小题狂做:基本不等式及其应用基础训练题1下列不等式不一定成立的是C A222( ,)abab a bRB232 ()aa aRC12()xxxRD22( ,)22ababa bR2若,a bR ,且0ab,则下列不等式中恒成立的是D A222ababB2ababC112ababD2baab3已知0a,0b,2ab,则14yab的最小值是C A72B4 C92D5 4若0x,则2xx的最小值为22,)5若对任意0x,231xaxx恒成立,则a的取值范围是1,)56设, x y满足约束条件220,840,0,0,xyxyxy若目标函数(0,0)zabxy ab的最大值为8,则ab的
2、最小值为4 解:当目标函数zabxy运动到点(1,4)A时,目标函数z取得最大值,即84ab,所以4ab,所以24abab例题解析例 1 设, x y为正实数,若2241xyxy,则 2xy 的最大值为2 105解:2241xyxy22332(2)3121()1222xyxyxyxy28(2)5xymax2 10(2)5xy例 2 设0ab,则211()aaba ab的最小值为A1 B2 C 3 D4 解:222222211()1114()()()()2abbaaaaaaba abab abb ababab, 当且仅当bab且221aa,即2a,22b时等号成立,故原式的最小值为4,选 D精选
3、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页学习必备欢迎下载例 3 设, x y满足约束条件360,20,0,0,xyxyxy若目标函数(0,0)zaxby ab的最大值为12, 则23ab的最小值为A256B83C113D4 解:点( ,)x y所满足的可行域如图中阴影部分(含边界)所示,根据目标函数所表示的直线的斜率是负值,可知目标函数只有在点A处取得最大值,故实数,a b满足4612ab,即236ab,故23123166125(23 )13(1312)6666baabababab,当且仅当65ab时取等号例 4 设, ,x
4、y z为正实数,且满足230xyz,则2yxz的最小值为3 解:由条件可得32xzy,所以2229619196263444yxzxzxzxzxzxzzxzx,当且仅当3xyz时,2yxz取得最小值3巩固训练1已知0a,0b,且2ab,则C A12abB12abC222abD223ab2已知0x,0y,, , ,x a b y 成等差数列,, ,x c d y成等比数列,则2()abcd的最小值为D A0 B1 C2 D4 3已知0x,0y,且211xy,若222xymm 恒成立,则实数m 的取值范围是D A (,2)4,)B (, 4)2,)C ( 2,4)D ( 4,2)4已知0t,则函数2
5、41ttyt的最小值为25若0,2x,则 2tantan2xx的最小值为2 2解:因为0,2x,所以tan0x,则112tantan2tan22tan2 22tantanxxxxxx,当且仅当12tantanxx,即2ta n2x时取等号,所以2tantan2xx的最小值为2 26下列函数中,最小值为4 的是4yxx;4sin(0)sinyxxx;4eexxy;3loglog 3(01)xyxx参考例题(4,6)A360xyO20xyyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页学习必备欢迎下载1函数254( )2xxf x
6、x在 (,2) 上的最小值是C A0 B1 C 2 D 3 解:当2x时,20x,因此21(44)11( )(2)2(2)2222xxf xxxxxx,当且仅当122xx时取等号而此时方程有解1(,2)x,因此( )fx在(,2)上的最小值为2,选 C2若实数, x y满足221xyxy,则xy的最大值为2 33解:因为21()4xyxy,所以222222131()()()()44xyxyxyxyxyxyxy,所以24()3xy,所以2 32 333xy,当33xy时,xy取得最大值2 333若正实数, x y满足 26xyxy ,则xy的最小值为18 解:由基本不等式,得226xyxy,令x
7、yt,得不等式22260tt,解得3 2t或2t(舍去),故xy的最小值为18自我测试1设0a,0b,若3 是 3a与 3b的等比中项,则11ab的最小值为B A8 B4 C 1 D142已知0x,0y,228xyxy,则2xy 的最小值为B A3 B4 C92D1123若正数, x y满足35xyxy ,则 34xy的最小值是C A245B285C5 D5 解: 因为35xyxy, 所以135yx, 因为0x,0y, 所以13312312(34 )1321325xyxyxyyxyxyx, 所以5(34 )25xy,所以345xy,当且仅当2xy时取等号所以34xy的最小值是 54已知, x
8、yR,且满足134xy,则xy的最大值为3 5从等腰三角形纸片ABC上剪下如图所示的两个正方形,其中2BC,90A,则这两个正方形的面积之和的最小值为12解:设两正方形的边长分别为a,b,则由题可得,1ab,当a取最大值时,由于该正方形是RtABC的内接正方形,则32a,所以23a当a取最小值时,另一个正方形的边长23b,则13a,从而1233a同理1233b所以2221222abSab,当且仅当时12ab时取等号CAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页学习必备欢迎下载6设, x yR ,且0xy,则2222114x
9、yyx的最小值为9 7函数1(0,1)xyaaa的图象恒过定点A,若点A在直线10(0)mxnymn上,则11mn的最小值为4 解:函数1 xya的图象所过的点为(1,1)A,又因为A在直线10mxny上,所以1mn,又因为0mn,所以必有0nm,0mn,于是1111()2224nmnmmnmnmnmnmn,当且仅当12mn时取等号,即11mn的最小值等于48在平面直角坐标系xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数2( )f xx的图象交于,P Q 两点,则线段 PQ 长的最小值是4 解:设直线与函数2( )f xx的图象交于点2,P xx,2,Qxx,则224|(2 )4PQxx9设102m,
10、若1212kmm恒成立,则k的最大值为解:由题可知k的最大值即为1212mm的最小值又12221222(12)24812212212mmmmmmmmmm,当且仅当212mm,即14m时取等号高一阶段暂时不能做的题:9若直线20(0,0)axbyab被圆222410xyxy截得的弦长为4, 则11ab的最小值为C A14B2C322D32 2210已知圆222410xyxy关于直线220(0,0)axbyab对称,则41ab的最小值为D A4 B6 C8 D9精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页学习必备欢迎下载11已知0b,直线2(1)20bxay与直线210xb y互相垂直,则ab 的最小值等于B A4 B2 C 2 2D 2 3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页