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1、第4章弯曲内力第第4章弯曲内力章弯曲内力4.1引言引言4.2梁的计算简图梁的计算简图4.3弯曲内力及内力图弯曲内力及内力图4.4剪力、剪力、 弯矩与载荷集度间的微分关系弯矩与载荷集度间的微分关系4.5平面刚架与曲杆的内力平面刚架与曲杆的内力第4章弯曲内力4.1引言引言图41第4章弯曲内力图42第4章弯曲内力图43第4章弯曲内力普通来说，当杆件接受垂直于轴线的外力，或在其轴线平面内作用有外力偶时，杆的轴线将由直线变为曲线。以轴线变弯为主要特征的变形方式称为弯曲。以弯曲为主要变形的杆件称为梁。工程中常见梁的横截面往往具有对称轴见图44(a)(d)，由对称轴和梁的轴线组成的平面，称为纵向对称面见图4
2、4(e)。第4章弯曲内力图44第4章弯曲内力4.2梁的计算简图为了对梁进展强度和刚度分析，首先必需对梁的几何外形、约束及载荷进展简化。1.作用在梁上的外载荷作用在梁上的外载荷有以下三种：(1)集中载荷：假设作用在梁上的横向力分布范围很小，可以近似地当作作用在一点的集中载荷，用F表示。(2)集中力偶:作用在微小梁段上的外力偶，可以近似地看做作用在梁上一点的集中力偶，用M或Me表示。第4章弯曲内力(3)分布载荷:沿梁轴线延续分布在较长范围内的横向力，称为分布载荷。分布载荷的大小用载荷集度q来描画，载荷集度就是沿梁轴线单位长度的作用力，其常用单位为N/mm或N/m。当载荷均匀分布时，q为常数；当载荷
3、非均匀分布时，q为横截面位置x的函数，即q=q(x)。第4章弯曲内力2. 梁支座的简化梁支座的简化 梁的支座可以简化为以下三种方式：梁的支座可以简化为以下三种方式： (1) 活动铰支座活动铰支座: 如图如图45(a)所示所示, 它对梁的约束力它对梁的约束力FR沿沿支承面法线方向，支承面法线方向， 图图45(a)给出了活动铰支座及其约束力简图。给出了活动铰支座及其约束力简图。 (2) 固定铰支座固定铰支座: 如图如图45(b)所示所示, 在研讨平面问题时，在研讨平面问题时， 固定铰支座的约束力可用平面内两个分力表示，固定铰支座的约束力可用平面内两个分力表示， 普通情况下，普通情况下， 用沿梁轴方
4、向的约束力用沿梁轴方向的约束力FRx与垂直于梁轴方向的约束力与垂直于梁轴方向的约束力FRy来表示。来表示。 (3) 固定端固定端: 如图如图45(c)所示所示, 在研讨平面问题时，相应在研讨平面问题时，相应约束力用三个分量表示约束力用三个分量表示, 即沿梁轴方向的约束力即沿梁轴方向的约束力FRx、垂直于、垂直于梁轴方向的约束力梁轴方向的约束力FRy和位于纵向对称面内的约束力偶和位于纵向对称面内的约束力偶Me。第4章弯曲内力图45第4章弯曲内力3. 静定梁的根本方式静定梁的根本方式 根据梁的支承情况，根据梁的支承情况， 静定梁的根本方式可分为以下三种静定梁的根本方式可分为以下三种: (1) 简支
5、梁：简支梁： 一端为固定铰支座支承，一端为固定铰支座支承， 另一端为活动铰另一端为活动铰支座支承的梁称之为简支梁，支座支承的梁称之为简支梁， 如图如图46(a)所示。所示。 图图42所所示造纸机上的压榨辊轴可简化为简支梁。示造纸机上的压榨辊轴可简化为简支梁。 (2) 外伸梁外伸梁: 具有一个或两个外伸部分的简支梁称为外具有一个或两个外伸部分的简支梁称为外伸梁，伸梁， 如图如图46(b)所示。图所示。图 41 所示火车轮轴可简化为两所示火车轮轴可简化为两端外伸梁。端外伸梁。 (3) 悬臂梁悬臂梁: 一端固定，一端固定， 另一端自在的梁称为悬臂梁，另一端自在的梁称为悬臂梁， 如图如图46(c)所示
6、。所示。 高大塔器可简化为下端固定的悬臂梁。高大塔器可简化为下端固定的悬臂梁。第4章弯曲内力图46第4章弯曲内力上述三种梁都可以用静平衡方程来计算约束力，属于静定梁。有时为了保证梁的强度和刚度，为一个梁设置较多的支座，从而使梁的约束力数目多于独立静平衡方程数目，这时单凭静力学知识就不能确定全部约束力，这种梁称为静不定梁超静定梁。第4章弯曲内力4.3弯曲内力及内力图4.3.1梁横截面上的内力剪力与弯矩梁的外力确定后，就可用截面法分析梁的内力。如图47(a)所示简支梁，用截面法确定距A端为x处截面mm上的内力。假想沿mm截面将梁截开，分成左右两段，任选其中一段，例如左段见图47(b)进展研讨。在左
7、段梁上作用有外力FAy与F1，为了坚持左段平衡，mm截面上一定存在内力。为了分析其内力，将作用在左段梁上的一切外力均向截面形心C简化，得主矢FS和主矩M。由于外力均垂直于梁轴，主矢FS也垂直于梁轴。由此可见，当梁弯曲时，横截面上必然同时存在两种内力分量：与主矢平衡的内力FS；与主矩平衡的内力偶矩M。这种作用线与横截面相切的内力称为剪力，记为FS；作用在纵向对称面的内力偶矩称为弯矩，记为M。第4章弯曲内力根据左段梁的平衡方程可得剪力FS的大小等于左段梁上一切横向外力的代数和，弯矩M的大小等于左段梁上一切外力对形心C取矩的代数和同理，假设以右段梁为研讨对象(见图47(c)，并根据右段梁的平衡条件计
8、算mm截面的内力，将得到与左段大小一样的剪力和弯矩，但是其方向相反。第4章弯曲内力图47第4章弯曲内力为了使选择不同研讨对象得到的同一横截面上的剪力和弯矩，不但在数值上一样，而且正负号也一致，剪力和弯矩的正负号需根据变形来确定。规定如下：在梁内欲求内力截面的内侧切取微段，凡使该微段沿顺时针方向转动的剪力规定为正(见图48(a)，反之为负；使微段产生下凹变形的弯矩规定为正(见图48(b)，反之为负。按此规定，图47(b)、(c)所示的mm截面上的剪力与弯矩均为正值。第4章弯曲内力图48第4章弯曲内力例41图49所示外伸梁上的外载荷均为知，试求图示各指定截面的剪力和弯矩。图49第4章弯曲内力解1求
9、梁的约束力。由静平衡方程可得解得第4章弯曲内力2计算各指定截面的内力。对于截面55，取该截面右侧部分为研讨对象，其他各截面均取相应截面左侧部分为研讨对象。根据静平衡方程可求得:11截面：由于11截面从右端无限接近支座A，即0，以下同样了解。22截面：第4章弯曲内力33截面：44截面：55截面：第4章弯曲内力4.3.2剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图普通情况下，在梁的不同横截面上，剪力与弯矩均不一普通情况下，在梁的不同横截面上，剪力与弯矩均不一样，即剪力与弯矩随横截面位置的不同而变化。为了描画剪样，即剪力与弯矩随横截面位置的不同而变化。为了描画剪力与弯矩沿梁轴线的变化情况，取梁的轴线为力与弯矩沿梁轴
10、线的变化情况，取梁的轴线为x轴，以坐标轴，以坐标x表示横截面的位置，剪力、弯矩可表示成横截面位置表示横截面的位置，剪力、弯矩可表示成横截面位置x的函的函数，即数，即上述关系式分别称为剪力方程和弯矩方程。第4章弯曲内力描画剪力与弯矩沿梁轴变化的另一重要方法是图示法。与轴力图、扭矩图的表示方式类似，作图时，以x为横坐标轴，表示横截面位置，以FS或M为纵坐标轴，分别绘制剪力、弯矩沿梁轴线变化的曲线，上述曲线分别称为剪力图与弯矩图。剪力、弯矩方程便于分析和计算，剪力、弯矩图笼统直观，两者对于处理梁的弯曲强度和刚度问题都必不可少、同等重要，所以，剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图是分析弯曲问题的重要根底。第4
11、章弯曲内力例42某填料塔塔盘下的支承梁，在物料重力的作用下，可以简化为一接受均布载荷的简支梁，如图410(a)所示，在全梁长度l上接受集度为q的均布载荷作用，试作梁的剪力、弯矩图。第4章弯曲内力图410第4章弯曲内力解1计算约束力。均布载荷合力为FR=ql，并作用在梁中点，所以，A端与B端的约束力分别为(2建立剪力、弯矩方程。从距左端为x的恣意截面处截开，研讨左半段，根据静平衡方程可得(a) (b)第4章弯曲内力3画剪力、弯矩图。由式(a)知，剪力FS为x的一次函数，剪力图为一条斜向下的直线，并计算得画出剪力图如图410(c)所示。由式(b)知，弯矩M为x的二次函数，弯矩图为一条开口向下的抛物
12、线，并计算得画出弯矩图如图410(d)所示。第4章弯曲内力例43图411(a)所示简支梁，在梁上C点处接受集中载荷F的作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解1计算约束力。以梁AB为研讨对象，对B、A两点分别列出矩式平衡方程MB=0和MA=0，可解得A端和B端的约束力分别为第4章弯曲内力图411第4章弯曲内力(2建立剪力、弯矩方程。由于在截面C处作用有集中载荷F，故应将梁分为AC和CB两段，分段建立剪力与弯矩方程。对于AC段，以A点为原点，坐标轴x1向右为正，由图411(b)可知，该段梁的剪力、弯矩方程分别为(a)(b)第4章弯曲内力对于CB段，为计算方便，以B点为原点，坐标轴x2向左为正，由图411
13、(c)可知，该段梁的剪力、弯矩方程分别为(c)(d)第4章弯曲内力3画剪力、弯矩图。根据式(a)、(c)画剪力图见图411(d)；根据式(b)、(d)画弯矩图见图411(e)。由图可看出，横截面C处的弯矩最大，其值为假设ab，那么CB段的剪力绝对值最大，其值为假设集中载荷作用在梁中点，即时由剪力、弯矩图可以看出，在集中力作用途，其左右两侧横截面上的弯矩一样，而剪力发生突变，突变量等于该集中力的大小。第4章弯曲内力例44图412(a)所示悬臂梁，接受集中载荷F与集中力偶Me=Fa作用，试作梁的剪力、弯矩图。图412第4章弯曲内力解1建立剪力、弯矩方程。由于在截面C处作用有集中力偶，故应将梁分成A
14、C、CB两段。对于AC段，选坐标x1，可以看出，AC段的剪力、弯矩方程分别为对于CB段，选坐标x2，可以看出，CB段的剪力、弯矩方程分别为第4章弯曲内力2画剪力、弯矩图。根据式(a)、(c)画出剪力图见图412(b)；根据式(b)、(d)画出弯矩图见图412(c)。由剪力、弯矩图可以看出，在集中力偶作用途，左右两侧横截面上的剪力一样，而弯矩发生突变，突变量等于该力偶矩的大小。第4章弯曲内力例45图413(a)所示的简支梁，接受集中载荷Fqa与半跨度均布载荷q的作用，试作梁的剪力、弯矩图。解1计算约束力。由平衡方程MB0与MA0可分别计算出A端、B端约束力分别为方向如图413(a)所示。第4章弯
15、曲内力图413第4章弯曲内力(2建立剪力、弯矩方程。截面C处，既是集中载荷作用途，也是分布载荷的不延续处，故应将梁分为AC、CB两段。对于AC段，以A为原点，坐标轴x1向右为正，可以看出，AC段的剪力、弯矩方程分别为第4章弯曲内力对于CB段，以B为原点，坐标轴x2向左为正，可以看出，CB段的剪力、弯矩方程分别为(c)(d)第4章弯曲内力由剪力图、弯矩图可知，截面A处的剪力最大，其值为截面C处的弯矩最大，其值为第4章弯曲内力4.4剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系本节研讨剪力、弯矩与载荷集度间的关系，及其在绘制剪力、弯矩图中的运用。图414(a)所示的梁，接受集度为
16、q(x)的分布载荷作用。在此规定载荷集度q向上为正，坐标轴y向上为正，x向右为正。为了研讨剪力与弯矩沿梁轴的变化，在梁上切取微段dx(见图414(b)。左截面上的剪力和弯矩分别为FS和M，由于微段上作用有延续变化的分布载荷，内力沿梁轴也将延续变化，因此，右截面上的剪力和弯矩分别为FSdFS与MdM。第4章弯曲内力图414第4章弯曲内力在上述各力作用下，微段处于平衡形状，y轴方向的静平衡方程可写为可得(41)微段上的一切力对右侧面形心C取矩的代数和为零,即略去高阶微量q(dx)2/2，可得第4章弯曲内力将式(42)再对x求导，并思索到式(41)，可得43以上三式即为直梁的剪力FS、弯矩M和载荷集
17、度q(x)间的微分关系。剪力、弯矩与载荷集度间微分关系的几何意义为：剪力图某点处的切线斜率，等于梁上相应截面处的载荷集度；弯矩图某点处的切线斜率，等于相应截面处的剪力；而弯矩图某点处的二阶导数，那么等于相应截面处的载荷集度。第4章弯曲内力特别留意：载荷集度q规定向上为正，x轴向右为正。根据上述微分关系，可以总结出剪力、弯矩图的下述规律：1无载荷作用的梁段:由于q(x)=0，即dFS/dx=0，故FS(x)=常数，那么该梁段的剪力图为程度直线。又由于FS(x)=常数，故dM/dx=FS(x)=常数，那么该段梁弯矩图的切线斜率为常数，弯矩图为一斜直线。由此可见，当梁上仅有集中载荷作用时，其剪力与弯
18、矩图一定是由直线构成的。见表41(1)。第4章弯曲内力第4章弯曲内力3集中力作用途:在集中力作用途，剪力图有突变，突变量等于集中力的大小；弯矩图有折角(见表41(3)。4集中力偶作用途:在集中力偶作用途，剪力图无变化，弯矩图有突变，突变量等于集中力偶矩的大小(见表41(4)。上述结论可归结为表41。第4章弯曲内力表表41各种方式载荷作用下的剪力图、弯矩图各种方式载荷作用下的剪力图、弯矩图第4章弯曲内力例46图415(a)所示外伸梁，接受均布载荷q、集中载荷F和集中力偶Me作用，其中F=qa，Me=qa2，试作梁的剪力、弯矩图，并检验其正确性。解1计算约束力。研讨整个梁，由静平衡方程MC=0与M
19、B=0，可得B、C端的约束力分别为方向如图415(a)所示。第4章弯曲内力图415第4章弯曲内力2建立剪力、弯矩方程。选坐标x1、x2如图415a)所示，可得梁AB、CB段的剪力，弯矩方程分别为第4章弯曲内力(3画剪力、弯矩图。根据上述方程可画出剪力、弯矩图,分别如图415(b)与图415(c)所示，其中在梁BC段中点D截面上，FSD0，弯矩取极值第4章弯曲内力4检验。先检查A、B和C处的剪力、弯矩值的正确性。A处有向下集中力F，故A处右邻面上的剪力为FSqa，弯矩为零。B点有向上的约束力FBy2qa作用，B处剪力图有突变B点有集中力偶Meqa2作用，B处弯矩图有突变C点有约束力作用，无集中力
20、偶，故因此，上述三点剪力、弯矩值正确。第4章弯曲内力再检验剪力、弯矩图的图形趋势。AB段无载荷，故剪力图应是一条程度线，弯矩图应是一条斜直线。BC段有向下的均布载荷，故剪力图应是一条从左向右递减的斜直线，弯矩图应是一开口向下的抛物线。对照剪力、弯矩图，符合上述分析，故梁的剪力、弯矩图绘制正确。第4章弯曲内力例47一外伸梁受均布载荷和集中力偶作用，如图416(a)所示。试作梁的剪力、弯矩图。解1求约束力。以悬臂梁为研讨对象，根据静平衡方程可求得A、B两处的约束力分别为第4章弯曲内力图416第4章弯曲内力2绘制剪力图。根据梁的受力情况，将梁分为CA、AD、DB三段，CA段上作用有均布载荷，故剪力图
21、为一条斜直线；AD、DB段没有载荷作用，AB间也没有集中力作用，故剪力图为一条程度直线。为准确地画出剪力图，需求出以下分段截面上的剪力值:根据以上数据便可绘出梁的剪力图见图416(b)。由图可见，在截面A处有支座约束力作用，截面A处剪力图有突变，突变量的大小等于该处支座约束力的大小。整个梁上A-面上的剪力绝对值最大，其值为|FS|max=20kN。第4章弯曲内力3绘制弯矩图。CA段上作用有向下的均布载荷，弯矩图为开口向下的抛物线；AD、DB上无载荷，其弯矩图为斜直线。为准确画出各段的弯矩图，需求出以下各分段截面上的弯矩：根据以上数据可画出梁的弯矩图见图416(c)。由弯矩图可看出，在D截面处作
22、用有集中力偶，弯矩图有突变，突变量等于集中力偶矩的大小。在A截面处弯矩图有折角。整个梁上最大弯矩发生在D+截面，其值为|M|max=15kNm。第4章弯曲内力4.5平面刚架与曲杆的内力平面刚架与曲杆的内力工程中，某些机器的机身或机架的工程中，某些机器的机身或机架的轴线是由几段直线组成的折线，如液压轴线是由几段直线组成的折线，如液压机机身、轧钢机机架、钻床床架见图机机身、轧钢机机架、钻床床架见图417等。在这种构造中，杆与杆的等。在这种构造中，杆与杆的交点称为节点。由于其刚度很大，受力交点称为节点。由于其刚度很大，受力前后节点处各杆间的夹角坚持不变，即前后节点处各杆间的夹角坚持不变，即杆与杆在节
23、点处不发生相对转动，因此杆与杆在节点处不发生相对转动，因此这样的节点称为刚节点。由刚节点衔接这样的节点称为刚节点。由刚节点衔接杆件组成的构造称为刚架。刚节点处的杆件组成的构造称为刚架。刚节点处的内力通常包含轴力、剪力和弯矩。内力通常包含轴力、剪力和弯矩。第4章弯曲内力图417第4章弯曲内力工程中还有一些构件，其轴线是一条平面曲线，称为平面曲杆，如活塞环、链环、拱见图418等。平面曲杆横截面上的内力通常包含轴力、剪力和弯矩。下面举例阐明平面刚架和平面曲杆内力的计算方法和内力图的绘制。第4章弯曲内力图118第4章弯曲内力1.平面刚架平面刚架上的轴力和剪力，其正负规定与直杆一样。而弯矩没有正负号的规
24、定，在画弯矩图时，将弯矩图画在弯曲变形凹入的一侧，即画在杆件受压纤维的一侧即可。例48图419(a)所示刚架ABC，设在AB段接受均布载荷q作用，试分析刚架的内力，画出内力图。解1计算约束力。由刚架的静平衡方程可得A、C两处的约束力大小为方向如图419(a)所示。第4章弯曲内力图419第4章弯曲内力2建立内力方程。首先分析BC段，选取坐标x1如图419a所示，BC段的剪力、弯矩、轴力方程分别为再研讨AB段，选取坐标x2如图，根据截面法，选取x2截面的上面部分为研讨对象(见图419(b)，画出受力图，由静平衡方程得出其剪力、弯矩、轴力方程分别为第4章弯曲内力根据以上方程，即可画出刚架的剪力、弯矩
25、和轴力图，如图419c)、(d)、(e)所示。由本例可看出，当刚节点处无外力偶作用时，接近刚节点的两杆端截面处的弯矩值相等。第4章弯曲内力2.平面曲杆平面曲杆横截面上轴力和剪力正负号的规定与直杆一样。弯矩正负号的规定为：使轴线曲率添加的弯矩为正，反之为负。画内力图时，以杆的轴线为基准线，可将正轴力和正剪力画在曲杆内凹的一侧，将弯矩图画在曲杆受压的一侧，并以曲率半径方向的值度量其大小。例49图420所示的曲杆轴线为四分之一圆弧，A处受力F作用。试画出曲杆的弯矩图。第4章弯曲内力图420第4章弯曲内力解1内力分析。为了分析内力，在极角为的恣意横截面处假想地将曲杆切开，选取上段AC为研讨对象，如图420(b)所示。AC在力F及曲杆内力的作用下应处于平衡形状，曲杆内力包括轴力FN、剪力FS、弯矩M。根据静平衡方程可得内力方程分别为第4章弯曲内力(2画出内力图。根据内力方程即可画出曲杆的内力图，其弯矩图如图420(c)所示。作图时，以曲杆的轴线为基线，并将与所求弯矩相应的点，描在轴线的法线上。弯矩图画在曲杆受压的一侧。
