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1、学习必备欢迎下载第 1 讲函数及其表示【20XX 年高考会这样考】1主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法2考查分段函数的简单应用3由于函数的基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查【复习指导】正确理解函数的概念是学好函数的关键，函数的概念比较抽象，应通过适量练习弥补理解的缺陷，纠正理解上的错误本讲复习还应掌握：(1)求函数的定义域的方法； (2)求函数解析式的基本方法；(3)分段函数及其应用基础梳理1函数的基本概念(1)函数的定义：设A、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合 A中的任意一个数 x， 在集合 B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称 f： AB为
2、从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作： yf(x)，xA. (2)函数的定义域、值域在函数 yf(x)，xA 中，x 叫自变量， x 的取值范围 A 叫做定义域，与 x 的值对应的 y 值叫函数值，函数值的集合 f(x)|xA 叫值域值域是集合B 的子集(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据2函数的三种表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法3映射的概念一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合 A 中的任意一个元素x，在集合 B 中都有唯一
3、确定的元素y 与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射一个方法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载求复合函数 yf(t)，tq(x)的定义域的方法：若 yf(t)的定义域为 (a，b)，则解不等式得aq(x)b 即可求出 yf(q(x)的定义域；若 yf(g(x)的定义域为 (a，b)，则求出 g(x)的值域即为 f(t)的定义域两个防范(1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域(2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性三个要素函数的三要素是：定义域、值域和对应关系值域
4、是由函数的定义域和对应关系所确定的两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等函数是特殊的映射，映射f：AB 的三要素是两个集合A、B 和对应关系 f. 双基自测1(人教 A 版教材习题改编 )函数 f(x)log2(3x1)的 值域为 ()A(0， ) B0， ) C(1， ) D1， ) 解析 3x11， f(x)log2(3x1)log210. 答案A 2若 f(x)1log122x1，则 f(x)的定义域为 ()A.12，0B. 12，0C.12，D(0， ) 解析由 log12(2x1)0，即 02x11，解得12x0. 答案A 精选学习资料 - - - - - - -
5、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载3下列各对函数中，表示同一函数的是()Af(x)lg x2，g(x)2lg xBf(x)lgx1x1，g(x)lg(x1)lg(x1) Cf(u)1u1u，g(v)1v1vDf(x)(x)2，g(x)x2答案C 4某学校要召开学生代表大会，规定各班每10 人推选一名代表，当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数yx(x表示不大于x 的最大整数 )可以表示为()Ayx10Byx310Cyx410Dyx510解析根据规定各班每10 人
6、推选一名代表，当各班人数除以10 的余数大于 6 时再增选一名代表，即余数分别为7、8、9 时可增选一名代表因此利用取整函数可表示为 yx310.故选 B. 答案B 5 函数 yf(x)的图象如图所示 那么，f(x)的定义域是 _； 值域是 _；其中只与 x 的一个值对应的y 值的范围是 _解析任作直线 xa，当 a不在函数 yf(x)定义域内时， 直线 xa 与函数 yf(x)图象没有交点；当 a 在函数 yf(x)定义域内时，直线 xa 与函数 yf(x)的图象有且只有一个交点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学
7、习必备欢迎下载任作直线 yb，当直线 yb 与函数 yf(x)的图象有交点， 则 b 在函数 yf(x)的值域内；当直线 yb 与函数 yf(x)的图象没有交点， 则 b 不在函数 yf(x)的值域内答案3,02,31,51,2)(4,5 考向一求函数的定义域【例 1】?求下列函数的定义域：(1)f(x)|x2|1log2x1；(2)f(x)ln x1x23x4. 审题视点 理解各代数式有意义的前提，列不等式解得解(1)要使函数 f(x)有意义，必须且只须|x2|10，x10，x11.解不等式组得 x3，因此函数 f(x)的定义域为 3， )(2)要使函数有意义，必须且只须x10，x23x40
8、，即x1，x4 x1 0，解得： 1x1. 因此 f(x)的定义域为 (1,1)求函数定义域的主要依据是(1)分式的分母不能为零； (2)偶次方根的被开方式其值非负；(3)对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1. 【训练 1】(1)已知 f(x)的定义域为 12，12，求函数 yf x2x12的定义域；(2)已知函数 f(32x)的定义域为 1,2，求 f(x)的定义域精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载解(1)令 x2x12t，知 f(t)的定义域为 t12t12，12x2x1212，整理得x2x0
9、，x2x10?x0或x1，152x152，所求函数的定义域为152，0 1，152. (2)用换元思想，令32xt，f(t)的定义域即为 f(x)的定义域，t32x(x1,2)，1t5，故 f(x)的定义域为 1,5考向二求函数的解析式【例 2】?(1)已知 f2x1 lg x，求 f(x)；(2)定义在 (1,1)内的函数 f(x)满足 2f(x)f(x)lg(x1)，求函数 f(x)的解析式审题视点 (1)用代换法求解； (2)构造方程组求解解(1)令 t2x1，则 x2t1，f(t)lg 2t1，即 f(x)lg 2x1. (2)x(1,1)时，有 2f(x)f(x)lg(x1)以x 代
10、 x 得，2f(x)f(x)lg(x1)由消去 f(x)得f(x)23lg(x1)13lg(1x)，x(1,1)求函数解析式的方法主要有：(1)代入法；(2)换元法；(3)待定系数法； (4)解函数方程等【训练 2】 (1)已知 f(x)是二次函数，若f(0)0，且 f(x1)f(x)x1，试求 f(x)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载的表达式(2)已知 f(x)2f(1x)2x1，求 f(x)解(1)由题意可设 f(x)ax2bx(a0)，则a(x1)2b(x1)ax2bxx1 ax2(2ab)x
11、abax2(b1)x1 2abb1，ab1，解得 a12，b12. 因此 f(x)12x212x. (2)由已知得f x 2f1x2x1，f1x2f x 2x1，消去 f1x，得 f(x)4x2x23x. 考向三分段函数【例 3】设函数 f(x)21x，x1，1log2x，x1，则满足 f(x)2 的 x 的取值范围是 ()A1,2 B0,2 C1， ) D0， ) 审题视点 对于分段函数应分段求解，最后再求其并集解析f(x)2?x1，21x2或x1，1log2x2? 0x1 或 x1，故选 D. 答案D 分段函数是一类重要的函数模型解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题， 如本例中，
12、需分 x1 和 x1 时分别解得 x 的范围，再求其并集【训练 3】已知实数 a0，函数 f(x)2xa，x1，x2a，x1.若 f(1a)f(1a)，则 a的值为 _精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载解析分类讨论：(1)当 a0 时，1a1,1a1. 这时 f(1a)2(1a)a2a；f(1a)(1a)2a13a. 由 f(1a)f(1a)，得 2a13a，解得 a32，不符合题意，舍去(2)当 a0 时，1a1,1a1，这时 f(1a)(1a)2a1a；f(1a)2(1a)a23a，由 f(1a)
13、f(1a)，得 1a23a，解得 a34. 综合(1)，(2)知 a 的值为34. 答案34阅卷报告 1忽视函数的定义域【问题诊断】 函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域如果是复合函数，应该根据复合函数单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，根据同增异减的法则求解函数的单调区间由于思维定势的原因，考生容易忽视定义域，导致错误【防范措施】研究函数的任何问题时，把求函数的定义域放在首位，即遵循“定精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载义域优先 ”的原则【示
14、例】? 求函数 ylog13(x23x)的单调区间错因忽视函数的定义域，把函数ylog13t 的定义域误认为 R 导致出错实录设 tx23x. 函数 t 的对称轴为直线 x32，故 t 在 ，32上单调递减，在32， 上单调递增函数 ylog13(x23x)的单调递增区间是 ，32，单调递减区间是32， . 正解设 tx23x，由 t0，得 x0 或 x3，即函数的定义域为 (， 0)(3，)函数 t 的对称轴为直线x32，故 t 在(， 0)上单调递减，在()3，上单调递增而函数 ylog13t 为单调递减函数， 由复合函数的单调性可知， 函数 ylog13(x23x)的单调递增区间是 (， 0)，单调递减区间是 (3， )【试一试】求函数 f(x)log2(x22x3)的单调区间尝试解答 由 x22x30，得 x1 或 x3，即函数的定义域为 (， 1)(3， )令 tx22x3，则其对称轴为 x1，故 t 在(，1)上是减函数， 在(3，)上是增函数又 ylog2t 为单调增函数故函数 ylog2(x22x3)的单调增区间为 (3，)，单调减区间为 (，1)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
