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1、学而不思则惘,思而不学则殆第二十讲平面向量的概念及线性运算考试要求1. 向量的实际背景, A级要求;2. 平面向量的概念、两向量相等的含义、向量的几何表示,B级要求;3. 向量加法、减法及数乘运算,B级要求;4. 两个向量共线的含义, B级要求;5. 向量线性运算的性质及其几何意义,A级要求 . 课前准备区回扣教材夯实基础知识梳理1向量的有关概念(1)向量:既有大小,又有的量叫向量;向量的大小叫做向量的(2)零向量:长度为的向量,其方向是任意的(3)单位向量:长度等于的向量(4)平行向量:方向相同或的非零向量,又叫共线向量,规定:0 与任一向量共线(5)相等向量:长度相等且相同的向量(6)相反
2、向量:长度相等且相反的向量2向量的线性运算向量运算定义法则 (或几何意义 )运算律加法求两个向量和的运算法则法则(1)交换律:ab;(2)结合律:(a b)c减法求 a 与 b 的相反向量 b的和的运算叫做 a 与 b 的差法则aba(b) 数乘求实数 与向量 a的积的运算(1)| a| |a|;(2)当 0 时, a 的方向与a 的方向;当 0 时, a 的方向与a 的方向;当 0 时, a0 (a);( )a; (ab)3共线向量定理向量a(a0) 与b共线的充要条件是存在一个实数,使得4向量的中线公式:若P为线段AB的中点,O为平面内一点,则OP精选学习资料 - - - - - - -
3、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页学而不思则惘,思而不学则殆5三点共线等价关系A,P,B 三点共线 ?APAB( 0)?OP(1t) OAtOB(O 为平面内异于A,P,B 的任一点, tR)?OPxOAyOB(O 为平面内异于A,P,B 的任一点, xR,yR,xy1)回归课本1.已知四边形ABCD 的对角线AC 与 BD 交于点 O,且,AOOC BOOD,则四边形ABCD 是_四边形 . 2.设 D 为 ABC 所在平面内一点,BC3CD,则 AD用AB和AC表示为 _.3.已知 ?ABCD 的对角线AC 和 BD 相交于O,且 OAa,OBb,则
4、DC_,BC_(用 a,b 表示 ). 4.设向量a 与 b 是两个不共线的向量,且a b 与3ab 共线,则 _. 5.在 ABC 中, BD 2DC,若 AD1AB2AC,则12的值为 _6.如果 ABe1e2,BC2e13e2,AF3e1 ke2,且 A,C,F 三点共线,则k_. 课堂活动区突破考点研析热点考点突破考点一:平面向量的有关概念【例 1】 给出下列命题:若 |a|b|,则 ab;若 A,B,C,D 是不共线的四点,则“ABDC”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件;若 a b,bc,则 ac;若 a b,bc,则 ac. 其中正确命题的序号是_.考点二:平面向量的线
5、性运算【例 2】 (1)在 ABC 中, AB 边的高为CD,若 CB a,CAb,a b0,|a|1,|b|2,则 AD_.(2)如图,正方形ABCD 中,点 E 是 DC 的中点,点 F 是 BC 的一个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页学而不思则惘,思而不学则殆三等分点,那么EF等于 _(用AD,AB表示 ). (3)如图,D,E, F 分别是 ABC 的边 AB,BC,CA 的中点, 则AD BECF_. 考点三:共线向量定理的应用【例 3】 设两个非零向量a 与 b 不共线 . (1)若ABab,BC2a
6、8b,CD3(ab).求证: A,B,D 三点共线;(2)试确定实数k,使 kab 和 akb共线 .课堂总结1. 向量的加、减法运算,要在所表达的图形上多思考,多联系相关的几何图形,比如平行四边形、菱形、三角形等,可多记忆一些有关的结论. 2. 对于向量共线定理及其等价定理,关键要理解向量a与b共线是指a与b所在的直线平行或重合 . 3. 要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式ba,再结合条件或图形有无公共点证明几何位置. 课后练习区精题精练规范答题基础练习1.设 a 是非零向量, 是非零实数,给出下列结论:a 与 a 的方向相反;a 与 2a的方向相同; | a|a|;
7、| a|a.其中正确的是 _(填序号 ). 2.在?ABCD 中, ABa,AD b,AN3NC,M 为 BC 的中点,则 MN_(用 a,b表示 ). 3. 边长为 1 的正三角形ABC 中, |ABBC|的值为 _精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页学而不思则惘,思而不学则殆4. 已知 |a|8,|b|6,且 |ab|ab|,则 |ab|=_. 5. 在 ABC 中, 点 D 是 BC 边上的点,AD AB AC( , R), 则 的最大值为 _6. 设四边形ABCD为平行四边形,6AB,4AD. 若点M , N
8、 满足3BMMC,2DNNC,则AM NM7.设 a,b 不共线, AB2a pb,BCab,CD a2b,若 A,B,D 三点共线,则实数p8.向量 e1,e2不共线, AB3(e1e2),CBe2e1,CD2e1e2,给出下列结论:A,B,C 共线; A,B,D 共线; B,C,D 共线; A,C, D 共线,其中所有正确结论的序号为 _. 能力提升9.在 ABC 中,点M,N 满足 AM2MC, BNNC.若MNxAByAC,则 x_;y_. 10.如图,经过OAB 的重心 G 的直线与OA, OB 分别交于点 P,Q,设 OP mOA,OQnOB,m,nR,则1n1m的值为 _. 11
9、.已知向量a2e13e2,b2e13e2,其中e1,e2不共线,向量c2e19e2,问是否存在这样的实数 , ,使向量 d a b 与 c 共线?12.如图,四边形ABCD 是一个等腰梯形,ABDC,M,N 分别是 DC,AB 的中点, 已知 ABa,ADb,DCc,试用 a,b,c表示 BC,MN,DNCN. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页学而不思则惘,思而不学则殆第二十讲平面向量的概念及线性运算考试要求1. 向量的实际背景, A级要求;2. 平面向量的概念、两向量相等的含义、向量的几何表示,B级要求;3.
10、向量加法、减法及数乘运算,B级要求;4. 两个向量共线的含义, B级要求;5. 向量线性运算的性质及其几何意义,A级要求 . 课前准备区回扣教材夯实基础知识梳理1向量的有关概念(1)向量:既有大小,又有的量叫向量;向量的大小叫做向量的(2)零向量:长度为的向量,其方向是任意的(3)单位向量:长度等于的向量(4)平行向量:方向相同或的非零向量,又叫共线向量,规定:0 与任一向量共线(5)相等向量:长度相等且相同的向量(6)相反向量:长度相等且相反的向量2向量的线性运算向量运算定义法则 (或几何意义 )运算律加法求两个向量和的运算法则法则(1)交换律:ab;(2)结合律:(a b)c减法求 a 与
11、 b 的相反向量 b的和的运算叫做 a 与 b 的差法则aba(b) 数乘求实数 与向量 a的积的运算(1)| a| |a|;(2)当 0 时, a 的方向与a 的方向;当 0 时, a 的方向与a 的方向;当 0 时, a0 (a);( )a; (ab)3共线向量定理向量a(a0) 与b共线的充要条件是存在一个实数,使得4向量的中线公式:若P为线段AB的中点,O为平面内一点,则OP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页学而不思则惘,思而不学则殆5三点共线等价关系A,P,B 三点共线 ?APAB( 0)?OP(1t)
12、OAtOB(O 为平面内异于A,P,B 的任一点, tR)?OPxOAyOB(O 为平面内异于A,P,B 的任一点, xR,yR,xy1)回归课本1.已知四边形ABCD 的对角线AC 与 BD 交于点 O,且,AOOC BOOD,则四边形ABCD 是_四边形 . 2.设 D 为 ABC 所在平面内一点,BC3CD,则 AD用AB和AC表示为 _.解析由题意得 AD ACCDAC13BCAC13AC13AB13AB43AC.3.已知 ?ABCD 的对角线AC 和 BD 相交于O,且 OAa,OBb,则 DC_,BC_(用 a,b 表示 ). 解析如图,DCABOBOA ba, BCOCOB OA
13、OB a b.4.设向量a 与 b 是两个不共线的向量,且a b 与3ab 共线,则 _. 解析 设 bt(3ab) ,则1 3t, t, 13. 答案 135.在 ABC 中, BD 2DC,若 AD1AB2AC,则 12的值为 _解析 AD ACCDAC13CB,而CBABAC, 所以 AD13AB23AC, 所以 113,223,则 1229. 答案 296.如果 ABe1e2,BC2e13e2,AF3e1 ke2,且 A,C,F 三点共线,则k_. 解析 ABe1e2,BC2e13e2,AC ABBC3e12e2. A,C,F 三点共线, ACAF,从而存在实数 ,使得 AC AF.
14、3e12e2 3 e1ke2,又 e1,e2是不共线的非零向量,33 ,2 k,因此 k 2. 答案 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页学而不思则惘,思而不学则殆课堂活动区突破考点研析热点考点突破考点一:平面向量的有关概念【例 1】 给出下列命题:若 |a|b|,则 ab;若 A,B,C,D 是不共线的四点,则“ABDC”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件;若 a b,bc,则 ac;若 a b,bc,则 ac. 其中正确命题的序号是_.解析不正确 .两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.正确
15、.ABDC,|AB|DC|且AB DC,又 A,B,C,D 是不共线的四点,四边形 ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD 为平行四边形,则|AB|DC|,AB DC且AB,DC方向相同,因此 ABDC.正确 .ab,a,b 的长度相等且方向相同,又bc,b,c的长度相等且方向相同,a,c 的长度相等且方向相同,故a c.不正确 .当 b0 时, a,c 可能不平行 .综上所述,正确命题的序号是 . 考点二:平面向量的线性运算【例 2】 (1)在 ABC 中, AB 边的高为CD,若 CB a,CAb,a b0,|a|1,|b|2,则 AD_.(2)如图,正方形ABCD 中,点 E 是
16、DC 的中点,点F 是 BC 的一个三等分点,那么 EF等于 _(用AD,AB表示 ). 解析(1)a b0, ACB90, AB5,CD2 55, BD55,AD4 55, ADBD41. AD45AB45(CBCA)45a45b.(2)在CEF 中,有 EFECCF.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页学而不思则惘,思而不学则殆因为点 E 为 DC 的中点,所以 EC12DC.因为点 F 为 BC 的一个三等分点,所以CF23CB.所以 EF12DC23CB12AB23DA12AB23AD.(3)如图, D,E,
17、F 分别是 ABC 的边 AB,BC,CA 的中点,则 ADBECF_. 解析 :由题意知: ADFE,BEDF, CFED,而 FEEDDF0,ADBECF 0.考点三:共线向量定理的应用【例 3】 设两个非零向量a 与 b 不共线 . (1)若ABab,BC2a8b,CD3(ab).求证: A,B,D 三点共线;(2)试确定实数k,使 kab 和 akb共线 .(1)证明ABa b,BC2a8b,CD3(ab). BDBCCD 2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5AB.AB,BD共线,又它们有公共点B,A,B,D 三点共线 . (2)解kab 与 akb 共线,存在实数 ,使 k
18、ab (akb),即 kab a kb,(k )a(k 1)b. a,b 是不共线的两个非零向量,k k1 0, k210, k 1. 课堂总结1. 向量的加、减法运算,要在所表达的图形上多思考,多联系相关的几何图形,比如平行四边形、菱形、三角形等,可多记忆一些有关的结论. 2. 对于向量共线定理及其等价定理,关键要理解向量a与b共线是指a与b所在的直线平行或重合 . 3. 要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式ba,再结合条件或图形有无公共点证明几何位置. 课后练习区精题精练规范答题基础练习1.设 a 是非零向量, 是非零实数,给出下列结论:a 与 a 的方向相反;a 与
19、2a的方向相同; | a|a|; | a|a.其中正确的是 _(填序号 ). 解析对于 ,当 0 时,a 与 a 的方向相同, 当 0 时,a 与 a 的方向相反, 正确;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页学而不思则惘,思而不学则殆对于 ,| a| |a|,由于 | |的大小不确定, 故| a|与 |a|的大小关系不确定;对于 ,| |a 是向量,而 | a|表示长度,两者不能比较大小.答案2.在?ABCD 中, ABa,AD b,AN3NC,M 为 BC 的中点,则 MN_(用 a,b表示 ). 解析由AN3NC
20、, 得 4AN3 AC3(ab), AMa12b, 所以 MN34(a b) a12b 14a14b.答案14a14b3. 边长为 1 的正三角形ABC 中, |ABBC|的值为 _答案:3 4. 已知 |a|8,|b|6,且 |ab|ab|,则 |ab|=_. 解设ABa,ADb,以 AB,AD 为邻边作平行四边形ABCD,如下图所示:则ACab,DBab,所以 |AC|DB|. 又因为四边形ABCD 为平行四边形,所以四边形ABCD 为矩形,故ADAB. 在 RtDAB 中, |AB|8, |AD|6,由勾股定理得|DB|AB|2 |AD|2826210. 所以 |ab|10. 答案: 1
21、0 5. 在 ABC 中, 点 D 是 BC 边上的点,AD AB AC( , R), 则 的最大值为 _解析 D 在边 BC 上,且 AD AB AC, 0, 0,且 1, 2214,当且仅当 12时,取 “”号 答案 146. 设四边形ABCD为平行四边形,6AB,4AD. 若点M , N 满足3BMMC,2DNNC,则AM NM 【答案】 9 7.设 a,b 不共线, AB2a pb,BCab,CD a2b,若 A,B,D 三点共线,则实数p的值为 _. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页学而不思则惘,思而不
22、学则殆解析BCab,CD a2b,BDBCCD2ab.又 A,B,D 三点共线, AB,BD共线 .设AB BD,2apb (2ab), 22 ,p , 1,p 1. 答案1 8.向量 e1,e2不共线, AB3(e1e2),CBe2e1,CD2e1e2,给出下列结论:A,B,C 共线; A,B,D 共线; B,C,D 共线; A,C, D 共线,其中所有正确结论的序号为 _. 解析由ACABCB 4e12e22CD,且 AB与CB不共线,可得A,C,D 共线,且B不在此直线上.答案能力提升9.在 ABC 中,点M,N 满足 AM2MC, BNNC.若MNxAByAC,则 x_;y_. 解析由
23、题中条件得,MN MC CN13AC12CB13AC12(ABAC)12AB16ACxAByAC,所以 x12,y16. 答案121610.如图,经过OAB 的重心 G 的直线与OA, OB 分别交于点 P,Q,设 OP mOA,OQnOB,m,nR,则1n1m的值为 _. 解析 :设OAa,OB b,由题意知 OG2312(OAOB)13(ab),PQOQ OPnbma,PG OGOP13m a13b,由 P,G,Q 三点共线,得存在实数 使得PQ PG,即 nbma 13m a13 b,从而 m13m ,n13 ,消去 ,得1n1m3. 11.已知向量a2e13e2,b2e13e2,其中
24、e1,e2不共线,向量c2e19e2,问是否存在这样的实数 ,使向量d a b与 c共线?解d (2e13e2) (2e13e2) (2 2 )e1 (3 3 )e2,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页学而不思则惘,思而不学则殆要使 d与 c 共线,则应有实数k,使 dkc,即(2 2 )e1 (3 3 )e22ke19ke2,即22 2k,3 3 9k,得 2 . 故存在这样的实数 ,只要 2 ,就能使d与 c 共线 . 12.如图,四边形ABCD 是一个等腰梯形,ABDC,M,N 分别是 DC,AB 的中点, 已知 ABa,ADb,DCc,试用 a,b,c表示 BC,MN,DNCN. 解BCBA ADDC ab c. 因为 MNMDDAAN,MNMCCBBN,所以 2MNMDMCDA CBANBN ADBC b(abc)a2bc.所以MN12ab12c. DNCN DMMNCMMN2MN a2b c. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页