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1、 环 境 系 统 分 析 第 8 讲第第四四章章 数数学学模模型型的的参参数数估估计计及及灵灵敏敏度分析度分析前前章章所所述述的的一一些些解解析析模模型型常常用用于于环环境质量的模拟预测和控制规划境质量的模拟预测和控制规划一一维维解解析析模模型型广广泛泛地地用用于于各各种种河河流流的水质模拟和预测中的水质模拟和预测中三三维维解解析析模模型型在在大大气气质质量量的的预预测测中中普通采用普通采用在在流流动动均均匀匀稳稳定定的的条条件件下下，二二维维解解析模型可用来模拟河流的水质析模型可用来模拟河流的水质在在模模型型具具体体应应用用时时，必必须须首首先先对对模模型型中中的的参参数数进进行行估估值值和
2、和进进行行灵灵敏敏度度的分析。的分析。一、一、 模型参数的估值方法模型参数的估值方法有有经经验验公公式式，图图解解法法，最最小小二二乘乘法法和最优化方法等估值方法和最优化方法等估值方法除除经经验验公公式式外外，其其余余方方法法均均是是利利用用系系统统输输入入输输出出数数据据和和数数学学模模型型本本身身确定合理的参数数值。确定合理的参数数值。 1 1、 图解法图解法 对经适当处理后以转换为直线的对经适当处理后以转换为直线的公式，均可用图解法估计参数，其公式，均可用图解法估计参数，其误差取决于点位的精度和绘制直线误差取决于点位的精度和绘制直线的精度。的精度。2 2、一元线性回归分析法、一元线性回归
3、分析法 亦称最小二乘法亦称最小二乘法 该法有两个假定：该法有两个假定： 所所有有自自变变量量的的值值均均不不存存在在误误差差，因变量的值则含有测量误差；因变量的值则含有测量误差； 与与各各测测量量点点拟拟合合最最好好的的直直线线为为能能使使各各点点到到直直线线的的竖竖向向偏偏差差（因因变变量量偏差）的平方和最小的直线。偏差）的平方和最小的直线。 偏差的平方和最小意味着各个偏差的平方和最小意味着各个点的偏差均很小。点的偏差均很小。最佳的最佳的b b和和m m的估计值：（的估计值：（y=mx+by=mx+b） 由由 3 3、多元线性回归分析、多元线性回归分析 （原理相同）（原理相同） 以二元为例以
4、二元为例4 4、最优化估值方法、最优化估值方法函数一般式函数一般式 ：建立目标函数：建立目标函数： 使其最小（使其最小（ Z minZ min）。）。 对对一一个个连连续续可可微微的的目目标标函函数数可可采采用最速下降法（一阶梯度法）。用最速下降法（一阶梯度法）。 梯度法的步骤如下：梯度法的步骤如下： 第一步第一步: :设设1,2, ,m的初值为的初值为 1, 2 , m , 允许迭代误差为允许迭代误差为 . .第二步：计算目标函数的初值第二步：计算目标函数的初值 第三步：计算目标函数对参数的梯度。第三步：计算目标函数对参数的梯度。 在在函函数数的的形形式式比比较较复复杂杂，不不易易求求得得梯
5、梯度度的的解解析析式式时时，可可以以计计算算其其数值梯度数值梯度. .第四步：计算参数修正步长第四步：计算参数修正步长 二二阶阶梯梯度度矩矩阵阵 H（ ）亦亦称称海海森矩阵森矩阵 。 对于复杂的数学表达式，海对于复杂的数学表达式，海森矩阵的解析值很难计算，可以森矩阵的解析值很难计算，可以数值梯度来近似的解析值。数值梯度来近似的解析值。 对于海森矩阵的对角元素：对于海森矩阵的对角元素： 对于非对于非对角元素：对角元素：第五步：计算参数第五步：计算参数i的修正值的修正值 i1 第六步，计算新的目标函数值第六步，计算新的目标函数值Z1 第七步第七步 ，比较，比较Z1和和Z0 若若 ，则停止运算，并输
6、则停止运算，并输出参数的估计值出参数的估计值i1 （i=1,2n）否则令否则令 返回第返回第三步三步 。 若以相对误差表示则可取若以相对误差表示则可取 |(Z1-Z0)/Z1| 否则计算的允许选代误差否则计算的允许选代误差（也称截断误差）要视目标函数（也称截断误差）要视目标函数的绝对值大小而定。用最优化方的绝对值大小而定。用最优化方法估值时，要由经验给定参数的法估值时，要由经验给定参数的初值。初值。 例：已知河流沿程的溶解氧（例：已知河流沿程的溶解氧（DODO）的测定数据如下：的测定数据如下：若起点的若起点的BODBOD（L L0 0）为）为20mg/l20mg/l，饱，饱和溶解氧（和溶解氧（
7、CsCs）为）为10.0mg/l10.0mg/l，河，河流平均流速为流平均流速为UxUx=4.0km/h,=4.0km/h,由由S-PS-P模型可知河流溶解氧的变化规律模型可知河流溶解氧的变化规律符合下述方程符合下述方程: : X(km) 0 8 28 36 56DO(mg/l)10.0 8.5 7.0 6.1 7.2 试确定其中的耗氧速度常数试确定其中的耗氧速度常数KdKd和得和得氧速度氧速度常数常数KaKa。解：首先，建立目标函数解：首先，建立目标函数 用用一一阶阶梯梯度度法法，据据前前述述的的七七步步，编编制制计计算算机机程程序序，给给定定初初值值，K0d=1.0d-1=0.042h-1
8、，K0a=2.0d-1=0.083h-1 当当目目标标Z=0.4681时时，得得到参数的最优估计值到参数的最优估计值: : Kd=0.053 h-1=1.27 d-1 Ka=0.19 h-1=4.67 d-1。（ 取取的的是是0.0001）。）。 5、网格法、网格法 假假定定有有n个个等等定定参参数数，且且已已知知各各参参数数的的取取值值范范围围，把把各各搜搜索索区区间间（取取值值范范围围）分分成成若若干干个个等等分，则参数空间分，则参数空间 =(1, 2, n)T就就被被划划分分成成若若干干网网格格，计计算算所所有有网网格格顶顶点点上上的的目目标标函函数数值值，并并取取其其中中最最小小的的值
9、值所对应的参数值作为最优估计值。所对应的参数值作为最优估计值。 若若精精度度还还不不够够，则则可可再再分分细细些。些。 6、经验公式计算法、经验公式计算法如：河流的复氧速度常数，大气扩如：河流的复氧速度常数，大气扩散方程中的方差等。除经验公式散方程中的方差等。除经验公式计算法外，其余方法均应有自度计算法外，其余方法均应有自度量和因变量的实测输入输出数据，量和因变量的实测输入输出数据，注意使用条件，范围。注意使用条件，范围。二、模型的验证与误差分析二、模型的验证与误差分析 在模型建立且参数估值之后，在模型建立且参数估值之后，还应对模型进行验证和误差分析还应对模型进行验证和误差分析方可投入应用。方
10、可投入应用。 验证所用的数据应与参数估值验证所用的数据应与参数估值时所用数据独立，以模型的计算结时所用数据独立，以模型的计算结果和实测数据之间的吻合程度来判果和实测数据之间的吻合程度来判断。断。常用方法：常用方法： 1 1、图形表示法、图形表示法 观测值为横坐标，计算值为纵观测值为横坐标，计算值为纵坐标，据各自变量可得上面相应的坐标，据各自变量可得上面相应的两值。两值。 由于环境系统问题的复杂性，由于环境系统问题的复杂性，对于大系统，有的文献认为，对于对于大系统，有的文献认为，对于观测值和计算值在观测值和计算值在2 2倍误差范围内倍误差范围内都认为满意。都认为满意。 2 2、相关系数法、相关系
11、数法统计学上衡量曲线拟合程度的量。统计学上衡量曲线拟合程度的量。 y y和和yy分别为观测值和计算分别为观测值和计算值的平均值。值的平均值。r r越大相关关系越越大相关关系越好（好（0 0 r r 1 1）。）。 当当对对y=+yy=+y+作作回回归归分分析析证证明明=0=0和和=1=1时时用用相相关关系系数数验验证证才才有有实实际际意意义义。表表示示计计算值算值y y和实测值和实测值y y之间的误差。之间的误差。3 3、相对误差法、相对误差法 e ei i=y=yi i-y-yi i /y/yi i n n组组观观测测值值与与相相应应计计算算值值数数据据可可得得n n个个误误差差值值，将将这
12、这n n个个误误差差值值从从小小到到大大排排列列，可可以以求求得得小小于于某某一一误误差差值值的的误误差差的的出出现现频频率率以以及及累累积积频频率率为为10%10%、50%50%和和90%90%的的误差。误差。 通通常常采采用用中中值值误误差差（累累积积频频率率为为50%50%）作作为为衡衡量量模模型型精精确确度度的的度量。度量。中值误差与统计学上的概率误差是中值误差与统计学上的概率误差是一致的。一致的。 中中值值误误差差可可从从误误差差分分布布的的累累积曲线上求出，也可按下式计算：积曲线上求出，也可按下式计算： 常常用用e e0.50.5的的10%10%作作为为水水质质模模型型验验证证标标
13、准准，还还有有用用绝绝对对中中值值误误差差的。的。( (公式分母中公式分母中y yi i去掉去掉) ) 利利用用相相关关系系数数、相相对对中中值值误误差差和和绝绝对对中中值值误误差差等等验验证证方方法法还还可可验验证证所所用用参参数数估估值值方方法法哪哪种种效效果更好些。果更好些。 三、数学模型的灵敏度分析三、数学模型的灵敏度分析 由由于于环环境境系系统统是是一一个个开开放放性性系系统统，各各种种影影响响非非常常复复杂杂，很很难难精精确确定定量量，各各种种数数学学模模型型存存在在着着不不确确定定性性（有有许许多多假假设设），模模型型中中的的参参数数也也有有误误差差，因因此此，利利用用模模型型进
14、进行行的的模模拟拟和和规规划划的的真真实实性性，可可靠靠性性究究竟竟如如何何，如如何何对对此此做做出出估估计计，换换言言之之，状状态态变变量量对对参参数数的的灵灵敏敏度度如如何何，目目标标函函数数对对参参数数的的灵灵敏敏度度如如何何以以及及目目标标函函数数对对状状态态变变量量的的灵灵敏敏度度如如何何，需进行分析。需进行分析。 灵灵敏敏度度分分析析可可以以估估计计模模型型计计算算结结果果的的偏偏差差，且且还还有有助助于于建建立立低低灵灵敏敏度度系系统统，（这这种种系系统统在在运运行行上上比比较较可可靠靠），有有助助于于确确定定合合理理的的设设计计裕裕量量，这这比比盲盲目目给给定定安安全全系数要合
15、理得多。系数要合理得多。（希希望望是是低低灵灵敏敏度度高高预预测测精精度度的的模模型）型） 误误差差分分析析是是直直接接验验证证模模型型计计算算结结果果与与实实测测值值的的差差异异，针针对对一一些些零零散散值值而而作作的的，而而灵灵敏敏度度分分析析是是从从另另一一角角度度考考虑虑该该模模型型参参数数的的误误差差大大小小对对状状态态变变量量所所引引起起的的计计算算误误差差和和对对目目标标函函数数所所引引起起的的误误差差的的一一种种敏敏感感程度程度。 下下面面仅仅介介绍绍一一下下状状态态变变量量和和参参数数的的数数目目都都是是1时时的的灵灵敏敏度度分分析。析。 若若决决策策变变量量（污污染染物物排
16、排放放量量等等）保保持持不不变变，则则状状态态变变量量x和和目标目标Z均可表示为参数均可表示为参数的函数：的函数： x* = f (0) , Z* = f (0) x*和和Z*分分别别表表示示参参数数取取0值的状态变量值和目标函数值。值的状态变量值和目标函数值。 灵敏度的定义为：灵敏度的定义为： 在在=0附附近近，状状态态变变量量（或或目目标标）相相对对于于原原值值的的变变化化率率和和参参数数 相相对对于于 0的的变变化化率率的的比比值值称称为为状状态态变变量量（或或目目标标函函数数）对对参参数数的灵敏度，即：的灵敏度，即： 状态变量对参数的灵敏度为：状态变量对参数的灵敏度为： 目标函数对参数
17、的灵敏度为：目标函数对参数的灵敏度为： 式中式中x = x x* z = zz* = 0当当 0时，忽略高阶微分项得：时，忽略高阶微分项得： 例：已知某河段的例：已知某河段的BOD 降解规律降解规律可用下式表示：可用下式表示： L = L0 e-Kdt 若已知河段初始的若已知河段初始的BOD浓度浓度L0 =15mg/l, BOD=15mg/l, BOD衰减速度常数衰减速度常数 K Kd d=0.1 d=0.1 d-1-1, ,假定假定K Kd d的变化幅度在的变化幅度在10%,10%,试求试求t=2dt=2d时的时的BODBOD值及其变值及其变化幅度。化幅度。 解：解：K Kd0d0=0.1d
18、=0.1d-1-1时时t=2dt=2d的的BODBOD浓度为：浓度为： L* = L0 e-Kd0t=15 e-0.1 2=12.28mg/l BOD对对Kd的一阶灵敏度系数为：的一阶灵敏度系数为： BOD对对kd的灵敏度为：的灵敏度为： 已知：已知： K Kd d/ / K Kd0d0= = 10% 10%，所以，所以BODBOD的变化幅度为：的变化幅度为： 变化与变化与K Kd d的变化方向相反。的变化方向相反。 因为因为2%2%10%, 10%, 所以属低灵敏度所以属低灵敏度模型。模型。 1双曲线函数双曲线函数 2指数函数指数函数 y = A ebx 式中式中A0 ln y = ln A
19、+ b x 令令 Y= ln y , a = ln A , X = x 则则 Y= a +b X y = A eb/x 式中式中A0 ln y = ln A+ b /x 令令 Y= ln y , a = ln A , X = 1/x 则则 Y= a +b X3对数函数对数函数 y = a + b lnx 令令 Y= y , X = ln x则则 Y= a +b X4.4.幂函数幂函数 y=AXb (A0) lny=lnA+blnx 令令 Y= ln y , a = ln A , X = ln x 则则 Y= a +b X5. S曲线曲线 y= 1/ (a+be-x ) , 1/y=a+be-x 令令Y= 1/y , X= e-x , 则则 Y= a +b X 值值得得注注意意的的是是，广广义义线线性性函函数数的的剩剩余余平平方方和和、剩剩余余标标准准差差和和相关系数应以原相关系数应以原y模式求。模式求。 还还有有一一些些广广义义线线性性函函数数，不不再列举。可按此思路处理。再列举。可按此思路处理。
