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1、第三节实对称矩阵1向上教学 对称矩阵对称矩阵如果如果方阵方阵A满足满足就称就称A为为对称矩阵对称矩阵例例如如方阵方阵A为对称矩阵为对称矩阵矩阵矩阵A中关于主对角线对称的每一对元素相等中关于主对角线对称的每一对元素相等2向上教学定理定理2 实实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交。对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交。设设A是对称矩阵是对称矩阵 实对称矩阵的性质实对称矩阵的性质定理定理1 实实对称矩阵的特征值必为实数。对称矩阵的特征值必为实数。证明证明 定理定理3 设设A是是n阶阶对称矩阵，对称矩阵， 是是A的特征方程的的特征方程的 重根，重根，则对应特征值则对应特征值 恰有恰有 个线性
2、无关的特征向量。个线性无关的特征向量。3向上教学定理定理设设A是是n阶阶对称矩阵，则必有对称矩阵，则必有正交矩阵正交矩阵P P, ,使得使得其中其中是以是以A的的n个个特征值为特征值为对角元素对角元素的对角矩阵，的对角矩阵，正交矩阵正交矩阵P P的列向量的列向量是是A A的特征值所顺次对应的单位正交特征向的特征值所顺次对应的单位正交特征向量量。实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化4向上教学例例用正交变换把下列对称矩阵对角化用正交变换把下列对称矩阵对角化解解（）求方阵的特征值（）求方阵的特征值由由得特征值得特征值（）求特征向量（）求特征向量对于对于对于对于解方程组解方程组得一个基础解系得一个基础
3、解系解方程组解方程组得一个基础解系得一个基础解系5向上教学（）将特征向量组正交化、单位化（）将特征向量组正交化、单位化令令正交化正交化单位化单位化6向上教学（）构造矩阵，写出相应的对角形矩阵（）构造矩阵，写出相应的对角形矩阵令令则有则有7向上教学求正交变换将实对称矩阵对角化的一般步骤：求正交变换将实对称矩阵对角化的一般步骤： 1、求矩阵、求矩阵A的特征值的特征值 2、求特征向量、求特征向量3、将特征向量正交化、单位化、将特征向量正交化、单位化4、构造正交矩阵，写出对应的对角形矩阵、构造正交矩阵，写出对应的对角形矩阵 8向上教学练习练习 设实对称矩阵设实对称矩阵解解A的特征多项式为的特征多项式为
4、A的特征值为的特征值为求正交矩阵求正交矩阵P,使使为对角矩阵为对角矩阵.9向上教学当当解方程组解方程组 即即得到两个线性无关的特征向量得到两个线性无关的特征向量对于对于得到特征向量得到特征向量取取是矩阵是矩阵A的正交特征向量组的正交特征向量组 10向上教学单单 位位 化化令令 则有则有 11向上教学定义定义设设 A 为为 n 阶方阵阶方阵, 若若则称则称 A 为为反对称矩阵反对称矩阵性质性质(1) 实反对称矩阵的特征值为实反对称矩阵的特征值为0或纯虚数或纯虚数.(2) 奇数阶反对称阵对应的行列式为奇数阶反对称阵对应的行列式为0.(3) 非零的实反对称矩阵不可能相似于实对角矩阵非零的实反对称矩阵
5、不可能相似于实对角矩阵.反对称矩阵反对称矩阵12向上教学定义定义设设 A 为为 n 阶方阵阶方阵, 若满足若满足则称则称 A 为为幂等矩阵幂等矩阵.性质性质(1) 幂等矩阵的特征值为幂等矩阵的特征值为0或或1.(2) 幂等矩阵一定相似于形如幂等矩阵一定相似于形如的对称阵的对称阵.幂等矩阵幂等矩阵13向上教学幂零矩阵幂零矩阵定义定义设设 A 为为 n 阶方阵阶方阵, 若满足若满足(为正整数），则称为正整数），则称为为幂零矩阵幂零矩阵性质性质(1) 幂零矩阵的特征值为幂零矩阵的特征值为0.() 非零的幂零矩阵不相似于对角矩阵非零的幂零矩阵不相似于对角矩阵.14向上教学作作 业业P107-P108 习题四习题四 4.9 4.11(1) 4.12 4.17预习预习 第四章第四章 第四节第四节15向上教学
