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1、2.3.2 平面与平面垂直的判定定理平面与平面垂直的判定定理11.在立体几何中，在立体几何中，“异面直线所成的角异面直线所成的角”是怎样定义的？是怎样定义的？ 直线直线a、b是异面直线，经过空间任意一点是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线，分别引直线a /a， b/ b，我们把相交直线，我们把相交直线a 和和 b所成的锐角所成的锐角 （或直角）叫做异面（或直角）叫做异面直线所成的角直线所成的角. 2.在立体几何中在立体几何中,直线和平面所成的角直线和平面所成的角是怎样定义的？是怎样定义的？ 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，
2、叫做这条直线和这个平面所成的角线和这个平面所成的角. 范围：范围：( 0o, 90o 范围：范围： 0o, 90o 复习引入复习引入2空间两个平面有空间两个平面有平行平行、相交相交两种位置关系两种位置关系.对于两个平面平行，对于两个平面平行，我们已作了全面的研究，对于两个平面相交，我们应从理论上我们已作了全面的研究，对于两个平面相交，我们应从理论上有进一步的认识有进一步的认识.在异面直线所成的角、直线与平面所成的角的学习过程中，我们在异面直线所成的角、直线与平面所成的角的学习过程中，我们将将三维空间的角转化为二维空间的角三维空间的角转化为二维空间的角，即平面角来刻画，即平面角来刻画.接下来，我
3、接下来，我们同样来研究平面与平面的角度问题们同样来研究平面与平面的角度问题. 两个相交平面的相对位置是由这两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的两个平面所成的“角角”来确定的来确定的3在生产实践中，有许多问题也涉及到两个平面所成的角如：在生产实践中，有许多问题也涉及到两个平面所成的角如：修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久，必须使水坝面和水平面成修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久，必须使水坝面和水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，也要根据需要，使卫星的适当的角度；发射人造地球卫星时，也要根据需要，使卫星的轨道平面和地球的赤道平面成一定的角度轨道平面和地球的赤道平面成一定的角度. .洪洪坝坝水平面
4、水平面4(1) 半平面的定义半平面的定义1.二面角的概念二面角的概念平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面半平面半半平平面面半半平平面面(2) 二面角的定义二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做这条直线叫做二面角的棱二面角的棱，每个半平面叫做，每个半平面叫做二面角的面二面角的面棱棱面面面面5平卧式：平卧式：直立式：直立式：l lAB (3) 二面角的画法和记法：二面角的画法和记法：1.二面角的概念二面角的概念面面1棱面棱面2点点1棱点棱
5、点2二面角二面角 l 二面角二面角 AB 二面角二面角CAB DABCD6 AOlB(4) 二面角的平面角二面角的平面角ABO1.二面角的概念二面角的概念以二面角的棱上任意一点为端点，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于在两个面内分别作垂直于棱的两条射线棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. .如图，如图， ，则，则AOB成为二面角成为二面角 的平面角的平面角. 它的大小与点它的大小与点O的选取无关的选取无关.二面角的平面角必须满足：二面角的平面角必须满足：角的边都要垂直于二面角的棱角的边都要垂直于二面角的棱角的顶点在棱上角的
6、顶点在棱上角的两边分别在两个面内角的两边分别在两个面内7 lOAB00。，180180。 (4) 二面角的平面角二面角的平面角1.二面角的概念二面角的概念二面角的范围为：二面角的范围为：注注1：当二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角的大小为当二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角的大小为180；平面角是直角的二面角叫做平面角是直角的二面角叫做直二面角直二面角，此时称两半平面所在的两，此时称两半平面所在的两个平面互相垂直个平面互相垂直.OAB8定义法定义法垂线法垂线法作棱的垂面法作棱的垂面法一个平面垂直于二面角一个平面垂直于二面角 -l- 的的棱棱 l，且与两半平面的交线分别是射线且与两半
7、平面的交线分别是射线 OA、OB，O 为垂足，则为垂足，则AOB AOB 为为二面角二面角 -l- 的平面角的平面角(5) 二面角的平面角的作法：二面角的平面角的作法：1.二面角的概念二面角的概念OAB lOABoAB补充9例例 正方体正方体ABCDA1B1C1D1中，中，二面角二面角B1-AA1-C1的大小为的大小为_，二面角二面角B-AA1-D的大小为的大小为_，二面角二面角C1-BD-C的正切值是的正切值是_.4590练习10练练 如图，在长方体如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，中，AB = 2，BC = BB1 =1 ，E为为D1C1的中点，求二面角的中点，求二面角EBDC的大
8、小的大小AA1BB1CC1DD1E思路分析：思路分析：找基面找基面 平面平面BCD作基面的垂线作基面的垂线 过过E作作EFCD于于FF作平面角作平面角 作作FGBD于于G，连结，连结EGG解：解：过过E作作EFCD于于F，于是，EGF为二面角EBDC的平面角BC = 1，CD = 2，而EF = 1，在EFG中 ABCDA1B1C1D1是长方体，是长方体， EF平面平面BCD，且，且F为为CD中点，中点，过过F作作FGBD于于G，连结，连结EG，则，则EGBD（三垂线定理）（三垂线定理）M练习11ABCD求证求证: :例例 如图，将等腰直角三角形纸片沿斜线如图，将等腰直角三角形纸片沿斜线BC上
9、的高上的高AD折成直二折成直二面角面角. 12CDHG600300例例 如图，山坡倾斜度是如图，山坡倾斜度是60度，山坡上一条路度，山坡上一条路CD和坡底和坡底线线AB成成30度角度角.沿这条路向上走沿这条路向上走100米，升高了多少米，升高了多少? AB练习13如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？思考思考142.平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定(1) 定义法：定义法：两个平面相交，如果它们所成的二面角是两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作记作(2) 面面垂直的判定定理：面面垂直的判定
10、定理：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 该定理作用：该定理作用：“线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直”注注2：应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线.aa15练练 在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中中, (1)求证：平面求证：平面A1C平面平面B1D ACDA1C1D1E FB1(2)E、F分别是分别是AB、BC的中点，的中点， 求证：平面求证：平面A1C1FE平面平面B1D(3)G是是BB1的中点的中点， 求证：求证：平面平面A1C1G平面平面B
11、1D GGGG总结总结:直线直线A1C1 平面平面B1D，则过直线，则过直线A1C1 的平面都垂直于平面的平面都垂直于平面B1D练习16ABCPO O证明：证明：由由AB是圆是圆O的直径，可得的直径，可得ACBC平面PAC平面PBC例例 如图，如图，AB是圆是圆O的直径，的直径，PA垂直于圆垂直于圆O所在的平面所在的平面于于A，C是圆是圆O上不同于上不同于A、B的任意一点的任意一点.求证：平面求证：平面PAC平面平面PBC练习17PABC外外垂垂中中练习：练习：P79 B组组2(2)181920EF分析21EF或者考虑二面角定义法或者考虑二面角定义法22GE23GE练习24二、平面与平面垂直二
12、、平面与平面垂直(1)定义：两平面所成二面角为直二面角定义：两平面所成二面角为直二面角(2)判定定理：判定定理：(3)性质定理：性质定理：一、直线与平面垂直一、直线与平面垂直(1)定义：定义：(2)判定定理：判定定理：(3)线线垂直的常用证明方法：线线垂直的常用证明方法：a.平面内的两直线平面内的两直线b.空间内的两直线空间内的两直线(4)两条平行线垂直于同一个平面，垂直于同一一个面的两直线平行两条平行线垂直于同一个平面，垂直于同一一个面的两直线平行.25三、角度问题名称名称定义定义图形图形两条异面直线两条异面直线 所成的角所成的角直线与平面直线与平面所成的角所成的角二面角及它的平面二面角及它
13、的平面角角直线直线a、b是异面直线，经过空间是异面直线，经过空间任意一点任意一点o，作直线，作直线a、b，并使，并使a/a，b/b，我们把，我们把直线直线a和和b所所成的锐角（或直角）叫做异面直成的锐角（或直角）叫做异面直线线a和和b所成的角所成的角.从一条直线出发的两个半平面所组从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做成的图形叫做二面角二面角。以二面角的。以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做条射线所成的角叫做二面角的平面二面角的平面角角。LoBAALBO平面的一条斜线和它在这个平
14、面内的平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做射影所成的锐角，叫做这条直线和这这条直线和这个平面所成的角，个平面所成的角，特别地，若特别地，若L则则L与与所成的角是直角所成的角是直角，若，若L/或或 L ，则则L与与所成的角是的角。所成的角是的角。26 解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化归与转化化归与转化，即把空间的角转化为平面的角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得.2.方法：3.步骤：b.求直线与平面所成的角：a.求异面直线所成的角：c.求二面角的大小：作（找） 证 点 算1.数学思想：平移 构造可解三角形找（或作）射影 构造可解三角形找（或作）其平面角 构造可解
15、三角形定义法或者垂线法定义法或者垂线法即找面的垂线，找出垂足即找面的垂线，找出垂足找平行线方法：中位线，平行四边形，线段成比例，线面平行的性质定理等找平行线方法：中位线，平行四边形，线段成比例，线面平行的性质定理等27OLLABOPABback练习：二面角练习：二面角 的平面角为的平面角为 , PA 于于A点，点，PB 于于B点，点，PA=a，PB=b，求点，求点P到棱到棱 的距离的距离.28back练练 如图，在三棱锥如图，在三棱锥P- -ABC中，中，ACBC=2，PA=PB=AB，ACB90o，PCAC.(1)求证：求证：PC AB；(2)求二面角求二面角BAPC的大小的大小.29练练2
16、 在长方体在长方体ABCD-A1B1C1D1中，中，AB=2， BC=BB1=1， E为为C1D1的中点，求二面角的中点，求二面角 E-BD-C的大小的大小.AA1BB1CC1DD1EMFback30练练1 如图，如图，M是正方体是正方体ABCDA1B1C1D1的棱的棱AB的中点，求二的中点，求二面角面角A1MCA的正切值的正切值ABCDMA1B1C1D1NH思路分析：思路分析：找基面找基面找基面的垂线找基面的垂线 AA1作平面角作平面角 作作AHCM交交CM的延长的延长线于线于H，连结，连结A1H平面平面ABCD解：解：作作AHCM交交CM的延长线于的延长线于H，连，连 结结A1HA1A平面
17、平面AC，AH是是A1H 在平面在平面AC内的射影，内的射影，A1HCM，A1HA为二面角为二面角A1CMA的平面角的平面角设正方体的棱长为设正方体的棱长为1M是是AB的中点，且的中点，且AMCD，则在，则在直角直角AMN中，中，AM = 0.5，AN= 1，MN = back32如图，在底面是直角梯形的四棱锥如图，在底面是直角梯形的四棱锥S- -ABCD中，中，ABC=90，SA面面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1.(1)求四棱锥求四棱锥S- -ABCD的体积；的体积；(2)求面求面SCD与面与面SBA所成的二面角的正切值所成的二面角的正切值.(2)提示：提示：因所求二面角无因所求二
18、面角无“棱棱”，故先延，故先延长长BA、CD以确定棱以确定棱SE，然后证，然后证明明BSC为平面角为平面角.back33A .O解解：则则AD l .sinADO= ADO=60.即二面角即二面角 l 的大小为的大小为60 .在在RtADO中，中，AOAD练练 已知二面角已知二面角 l ，A为面为面 内一点，内一点，A到到 的距离为的距离为 ，到到l的距离为的距离为 4. 求求二面角二面角 l 的大小的大小. lD过过 A作作 AO 于于O，过过 O作作 OD l 于于D，连，连AD， 就是二面角就是二面角 l 的平面角的平面角.back练练 在二面角在二面角- -l- -的一个平面的一个平面
19、内有一条直线内有一条直线AB，它与棱，它与棱 l 所成所成的角为的角为45，与平面，与平面所成的角为所成的角为30，则这个二面角的大小是，则这个二面角的大小是_.45或或13534 证明：证明：CDABE在平面在平面内过内过B点作直线点作直线BECD，则则ABE就是二面角就是二面角- -CD- -的平面角，的平面角，设设=CD，则，则BCD.AB，CD ，ABCD.AB，BE ， ABBE. 二面角二面角- -CD- -是直是直二面角，二面角，.aback35练习练习1.过平面过平面的一条垂线可作的一条垂线可作_个平面与个平面与平面平面垂直垂直.2.过一点可作过一点可作_个平面与已知平面垂直个
20、平面与已知平面垂直.3.过平面过平面的一条斜线，可作的一条斜线，可作_个平面个平面与平面与平面垂直垂直.4.过平面过平面的一条平行线可作的一条平行线可作_个平面个平面与与垂直垂直.一一无数无数无数无数一一back36ABCDA1B1C1D1练练 正正方体方体ABCDA1B1C1D1中，中， 求求证：证： backABCDE37EFback38PABC思路分析：思路分析：找基面找基面找基面的垂线找基面的垂线作平面角作平面角平面平面ABC取取AB的中点的中点M，连结，连结PMM由己知AB2 = AC2 + BC2，ACB是直角N取取AC的中点的中点N，连结，连结MN、PNMNBCMNBC，ACBC
21、ACBC，MNACMNAC，由三垂线定理知，由三垂线定理知PNACPNACMNPMNP就是二面角就是二面角P PACACB B的平面角的平面角PA = PB = PC，PAMPCMPMAM，PMCM，PM平面ABC连结CM，AM = BM = CM，已知已知ABC, AB = 10, BC = 6, P是平面是平面ABC 外一点外一点,且且PA=PB = PC = AC = 8, 求二面角求二面角PACB的平面角的正切值的平面角的正切值.back练练 求正四面体的侧面与底面所成的二面角的大小？求正四面体的侧面与底面所成的二面角的大小？39练练 如图，过点如图，过点S作三条不共面的直线，使作三条
22、不共面的直线，使BSC=900，ASB= ASC=600，截取，截取SA=SB=SC.求证求证:平面平面ABC平面平面BSCSCBAD利用定义，通过计算证之利用定义，通过计算证之请计算请计算AC与平面与平面BSC所成的角的大小所成的角的大小back40如图所示，如图所示， ABC为正三角形，为正三角形，EC平面平面ABC，BDCE，且，且CE=CA=2BD，M为为EA的中点的中点. (1)求证求证:DE=DA(2)求证求证:平面平面BDM平面平面ECA(3)求证求证:平面平面DEA平面平面ECAABCEDMNF请作出平面请作出平面EAD和平面和平面BAC所成的二面角的平面角所成的二面角的平面角back41
