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1、 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系(定积分的应用) 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系第二节第二节 定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用一一. . 平面图形的面积平面图形的面积 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系1 1 直角坐标情形直角坐标情形xyy=f(x)A1A2A3bdA2ac(1)当f(x)0时,以f(x)为曲边的曲边 梯形面积(2)结合考虑f(x)0,在小区间,+d上的窄圆扇形的面积为 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例3 计算心
2、形线r=a(1+cos )(a0)所围成图形的面积r2axy 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系二. 体积 侧面积 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系1. 1. 旋转体的体积旋转体的体积旋转体是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体,这条直线叫做旋转轴。xyy=f(x)xx+dxy 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系Oxhrx+dxy例5连接坐标原点O及点P(h,r)的直线x=h及x轴围成一个直角三角形把它绕x轴旋转一周构成一个底半径为r,高为h的圆锥体,计算这圆锥体的体积.
3、 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系解: 过原点O及点P(h,r)的直线方程为 y=rx/h.取横坐标x为积分变量,它的变化区间为0,h.圆锥体中任一小区间x,x+dx的薄片的体积近似于底半径为rx/h,高为dx的扁圆柱体的体积. dv=rx/h2dx于是所求圆锥体的体积为： 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系2.平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积从计算旋转体体积的过程中可看出:如果一个立体不是旋转体,但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积,那么,这立体的体积也可用定积分来计算.xabx+d
4、xabx+dx 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系x取上述定轴为x轴,设该立体在过点x=a,x=b且垂直于x轴的两个平面之间.以A(x)表示过点x且垂直于x轴的截面面积,假定A(x)为x的已知的连续函数,取x为积分变量,它的变化区间为a,b;立体中相应于a,b上任一小区间x,x+dx的一薄片的体积,近似于底面积为A(x),高为dx的扁柱体的体积,即dV=A(x)dx.则立体的体积为 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例4 求椭圆柱面xyzo分析: 立体显然关于xoz平面是对称的其y0部分如图示. 考虑垂直y轴的截面,则截面
5、是一直角三角形. 其两条直角边分别是和所以其面积为所围成的立体的体积与平面 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系yzo如果用垂直于x轴的截面得到一其面积矩形,边长分别为z=cx/a, 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系yx2+y2=R2-RRx例5一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角.计算这平面截圆柱体所得立体的体积. 解:底圆的方程为x2+y2=R2,立体中过x轴上的点x且垂直于x轴的截面是一个直角三角形它的两条直角边分别是y及y ta
6、n;xy它的截面积为A(x)=(R2-x2)tg/2 于是它的体积是 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系3 旋转体的侧面积旋转体的侧面积xxx+dxyyy=f(x)设平面光滑曲线y=f(x)(axb)绕x轴旋转一周构成的旋转体,其体积为 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系若上述光滑曲线由参数式给出,则 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系解 (1) 过x轴上的点g且垂直x轴的平面截椭球面,得到一椭圆:(2)求椭圆弧绕x
7、轴旋转一周所成旋转椭球体的体积V和侧面积S.例6 求体积或面积(1)求椭球的体积 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系三 平面曲线的弧长 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系1 平面曲线的弧长的概念 一根弧的长度可以看成由很多长度极限为0小的直线所组成.2 直角坐标情形 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科
8、科技技学学院院数数理理系系1 平面曲线的弧长的概念 一根弧的长度可以看成由很多长度极限为0小的直线所组成.2 直角坐标情形dydxdLdydxdL三三 平面曲线的弧长平面曲线的弧长 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系3 参数情形 若曲线由参数方程给出4 极坐标情形 若曲线由极坐标方程给出 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例7 求下列曲线段的弧长: (1)悬链线y=chx(-ax0,0 2)的一圈. 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系
