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1、本章主要内容本章主要内容 本章介绍了非线性系本章介绍了非线性系统的基本概念、常见的几统的基本概念、常见的几种非线性环节的特点及其种非线性环节的特点及其对系统的影响，主要阐述对系统的影响，主要阐述了如何利用描述函数法对了如何利用描述函数法对非线性系统进行分析，同非线性系统进行分析，同时简要介绍了改善非线性时简要介绍了改善非线性系统性能的措施及非线性系统性能的措施及非线性特性的利用。特性的利用。 本章重点本章重点 要求正确理解非要求正确理解非线性系统与线性系统线性系统与线性系统的差异，重点掌握利的差异，重点掌握利用描述函数法对非线用描述函数法对非线性系统进行分析，了性系统进行分析，了解非线性系统的
2、特点。解非线性系统的特点。7-1 非线性系统的基本概念非线性系统的基本概念非线性系统的数学描述非线性系统的数学描述 在构成系统的环节中有一个或一个以上的在构成系统的环节中有一个或一个以上的非线性特性时，称此系统为非线性系统。非线性特性时，称此系统为非线性系统。图图7-1-1a是用弹簧悬挂带有阻尼力的质量为是用弹簧悬挂带有阻尼力的质量为m的的物体的示意图，显研究其上下振动的运动状态。物体的示意图，显研究其上下振动的运动状态。弹簧力的特性如图弹簧力的特性如图7-1-1b所示。所示。 图图 7-1-1 a)由质量、弹簧、阻尼器构成的系统由质量、弹簧、阻尼器构成的系统 图图 7-1-1 b) 弹簧力的
3、非线性特性弹簧力的非线性特性考虑到作用于质量考虑到作用于质量m上的全部力，其运动上的全部力，其运动可用下面的非线性微分方程描述：可用下面的非线性微分方程描述：(7-1-1)描述大多数非线性物理系统的数学模型是描述大多数非线性物理系统的数学模型是n阶非线性阶非线性微分方程，其形式为微分方程，其形式为为了求非线性系统的时域响应，必须求出式为了求非线性系统的时域响应，必须求出式(7-1-2)的解。的解。通常情况下，可以将构成系统的环节分为线性与通常情况下，可以将构成系统的环节分为线性与非线性两部分。用框图表示如图非线性两部分。用框图表示如图7-1-2所示。所示。图图7-1-2 非线性系统框图的基本形
4、式非线性系统框图的基本形式式式(7-1-1)描述的系统，也可以用图描述的系统，也可以用图7-1-3所示的框所示的框图表示。图表示。图图7-1-3 质量、弹簧、阻尼系统的框图质量、弹簧、阻尼系统的框图当用当用框图作为非线性系统的数学模型时，只需将框图作为非线性系统的数学模型时，只需将系统的线性部分用传递函数或脉冲响应表示，非系统的线性部分用传递函数或脉冲响应表示，非线性部分用非线性等效增益或描述函数表示。线性部分用非线性等效增益或描述函数表示。非线性特性的分类非线性特性的分类图图 7-1-4 典型非线性特性典型非线性特性1、死区特性、死区特性如图如图7-1-4a所示，其数学描述是所示，其数学描述
5、是(7-1-3)死区（不灵敏区）特性的影响死区（不灵敏区）特性的影响增大了系统的稳态误差，降低了定增大了系统的稳态误差，降低了定位精度。位精度。减小了系统的开环增益，提高了系减小了系统的开环增益，提高了系统的平稳性，减弱动态响应的振荡统的平稳性，减弱动态响应的振荡倾向。倾向。2、饱和特性、饱和特性如图如图7-1-4b所示，其数学描述是所示，其数学描述是(7-1-4)饱和特性的影响饱和特性的影响使系统开环增益下降，对动态响应的使系统开环增益下降，对动态响应的平稳性有利。平稳性有利。使系统的快速性和稳态跟踪精度下降使系统的快速性和稳态跟踪精度下降3、间隙特性、间隙特性如图如图7-1-4c所示，其数
6、学描述是所示，其数学描述是(7-1-5)间隙（回环）特性的影响间隙（回环）特性的影响降低了定位精度，增大了系统的静差。降低了定位精度，增大了系统的静差。使系统动态响应的振荡加剧，稳定性变使系统动态响应的振荡加剧，稳定性变坏。坏。4、继电器特性、继电器特性如图如图7-1-4d所示，其数学描述是所示，其数学描述是(7-1-6)继电器特性的影响继电器特性的影响理想继电控制系统最终多半处于自理想继电控制系统最终多半处于自振工作状态。振工作状态。可利用继电控制实现快速跟踪。可利用继电控制实现快速跟踪。带死区的继电特性，将会增加系统带死区的继电特性，将会增加系统的定位误差，对其他动态性能的影的定位误差，对
7、其他动态性能的影响，类似于死区、饱和非线性特性响，类似于死区、饱和非线性特性的综合效果。的综合效果。当当a=0时，继电器的吸合及释放电压为零，此种时，继电器的吸合及释放电压为零，此种情况亦称零值切换，又称理想继电器特性，如情况亦称零值切换，又称理想继电器特性，如图图7-1-5a所示。所示。如果在式如果在式(7-1-6)中，参量中，参量m=1，即继电器的吸合即继电器的吸合电压与释放电压相等，无回环。此即为有死区的电压与释放电压相等，无回环。此即为有死区的单值继电器特性，如图单值继电器特性，如图7-1-5b所示。所示。图图7-1-5 几种特殊的继电器特性几种特殊的继电器特性如果在式如果在式(7-1
8、-6)中，参量中，参量m=-1，即继电器的正向即继电器的正向释放电压与其反向吸上电压相等时，这就是有回释放电压与其反向吸上电压相等时，这就是有回环的继电器特性，如图环的继电器特性，如图7-1-5c所示。所示。非线性系统的特点非线性系统的特点1、稳定性、稳定性非线性系统的稳定性及零输入响应的性质不仅仅非线性系统的稳定性及零输入响应的性质不仅仅取决于系统本身的结构和参量，而且还与系统的取决于系统本身的结构和参量，而且还与系统的初始状态有关。初始状态有关。例例7-1-1 7-1-1 比较以下两个系统的特征。其一为线性比较以下两个系统的特征。其一为线性系统，描述其运动的微分方程为系统，描述其运动的微分
9、方程为另一为非线性系统，其微分方程为另一为非线性系统，其微分方程为解解分析比较两者的时间响应。分析比较两者的时间响应。非线性系统的解是非线性系统的解是非线性系统的时间响应如图非线性系统的时间响应如图7-1-6所示。所示。图图7-1-6 非线性系统的时间响应非线性系统的时间响应非线性系统的运动形式，即时间响应的特征与线非线性系统的运动形式，即时间响应的特征与线性系统一样，都是在性系统一样，都是在t=0时，时，随着时间的随着时间的增长，时间响应都逐渐衰减为零，非线性系统也增长，时间响应都逐渐衰减为零，非线性系统也是稳定系统是稳定系统 。线性系统的响应仍与线性系统的响应仍与但非线性系统的响应则不然，
10、它随时间增长而发散但非线性系统的响应则不然，它随时间增长而发散2、系统的自持振荡、系统的自持振荡在非在非线性系统中，在无外部激励时，发生某一固定线性系统中，在无外部激励时，发生某一固定振幅和频率的振荡，称为自持振荡（或自激振荡）。振幅和频率的振荡，称为自持振荡（或自激振荡）。例例 7-1-2 7-1-2 范德波尔方程是范德波尔方程是现现分析其响应的特征。分析其响应的特征。解解二阶二阶系统的微分方程是：系统的微分方程是：将此方程与范德波尔方程比较可知：将此方程与范德波尔方程比较可知：图图7-1-7 非线性系统的自持振荡非线性系统的自持振荡3、频率响应畸变、频率响应畸变对于非线性系统，如输入为正弦
11、函数，其输出通对于非线性系统，如输入为正弦函数，其输出通常包含有一定数量的高次谐波的非正弦周期函数，常包含有一定数量的高次谐波的非正弦周期函数，周期则同于输入。非线性系统有时还可能出现跳周期则同于输入。非线性系统有时还可能出现跳跃谐振、倍频和分频振荡等现象。跃谐振、倍频和分频振荡等现象。图图7-1-8表示是一正弦输入信号通过间隙非线性表示是一正弦输入信号通过间隙非线性元件后，其响应发生畸变的情况。元件后，其响应发生畸变的情况。图图7-1-8 间隙特性的正弦响应间隙特性的正弦响应7-2 二阶线性和非线性系统的相平面分析二阶线性和非线性系统的相平面分析二阶线性系统的特征二阶线性系统的特征二阶二阶线
12、性系统的微分方程为线性系统的微分方程为(7-2-1)(7-2-2)合并以上两式，得到合并以上两式，得到(7-2-3)另一方面，式另一方面，式(7-2-1)的特征方程为的特征方程为(7-2-4)于是特征根为于是特征根为下面分别情况加以分析：下面分别情况加以分析：分离变量后，对上式等号两侧分别积分得分离变量后，对上式等号两侧分别积分得上式所表示的系统的相轨迹是一族同心的椭上式所表示的系统的相轨迹是一族同心的椭圆，每一椭圆对应一个简谐运动圆，每一椭圆对应一个简谐运动(参见图参见图7-2-1a)。在相平面原点处有一孤立奇点，被周围在相平面原点处有一孤立奇点，被周围封闭的椭圆曲线包围。此种奇点称为中心点
13、。封闭的椭圆曲线包围。此种奇点称为中心点。位于根平面左半部的一对共轭复根。系统的零输入位于根平面左半部的一对共轭复根。系统的零输入响应呈衰减振荡，最终趋于零。对应的相轨迹是对响应呈衰减振荡，最终趋于零。对应的相轨迹是对数螺旋线，收敛于相平面原点数螺旋线，收敛于相平面原点(参见图参见图7-2-1b)。此此种奇点称为稳定的焦点。种奇点称为稳定的焦点。位于根平面左半部的两个负实根，这时系统的零输位于根平面左半部的两个负实根，这时系统的零输入响应是随时间非周期地衰减到零。对应的相轨迹入响应是随时间非周期地衰减到零。对应的相轨迹是一族趋向相平面原点的抛物线是一族趋向相平面原点的抛物线(参见图参见图7-2
14、-1c)。相相平面原点为奇点，并称其为稳定的节点。平面原点为奇点，并称其为稳定的节点。系统的零输入响应也是非周期发散的。相应的相系统的零输入响应也是非周期发散的。相应的相轨迹如图轨迹如图7-2-1d所示。此种奇点称为鞍点。所示。此种奇点称为鞍点。共轭复根。系统的零输入响应是发散振荡的。对应共轭复根。系统的零输入响应是发散振荡的。对应的相轨迹为由相平面原点出发的对数螺旋线的相轨迹为由相平面原点出发的对数螺旋线(参见参见图图7-2-1e)。此种奇点称为不稳定的焦点。此种奇点称为不稳定的焦点。正实根。系统的零输入响应为非周期发散的，正实根。系统的零输入响应为非周期发散的，对应的相轨迹是由相平面原点出
15、发的发散型抛对应的相轨迹是由相平面原点出发的发散型抛物线族物线族(参见图参见图7-2-1f)。此种奇点称为不稳定的此种奇点称为不稳定的节点。节点。二阶非二阶非线性系统的特征线性系统的特征二阶非线性自治系统在零输入情况下，其数学描二阶非线性自治系统在零输入情况下，其数学描述可写为述可写为(7-2-5)(7-2-6)式式(7-2-5)、式、式(7-2-6)所表示的系统的平衡点是所表示的系统的平衡点是0，0。根据泰勒定理，将函数根据泰勒定理，将函数 展开成下式展开成下式(7-2-7)于是，式于是，式(7-2-5)、式、式(7-2-6)在其平衡点在其平衡点0，0附附近小范围内线性化方程为近小范围内线性
16、化方程为(7-2-8)显然，线性化系统的平衡点仍为显然，线性化系统的平衡点仍为0，0在大多数情况下，这种线性化系统的相轨迹与原在大多数情况下，这种线性化系统的相轨迹与原非线性系统的相轨迹在相平面原点（平衡点）某非线性系统的相轨迹在相平面原点（平衡点）某个个适当小范围内有着相同的定性特性。表适当小范围内有着相同的定性特性。表7-2-1总总结了这些情况。结了这些情况。表表7-2-1 线性化系统与非线性系统的相轨迹特征线性化系统与非线性系统的相轨迹特征解解例例 7-2-1 7-2-1 范德波尔方程是范德波尔方程是试分析其相轨迹的特征。试分析其相轨迹的特征。(7-2-9)则范德波尔方程可写成下列形式则
17、范德波尔方程可写成下列形式(7-2-10)(7-2-11)相相平面原点平面原点0，0是系统的平衡点。是系统的平衡点。将式将式(7-2-11)与式与式(7-2-2)比较可知：比较可知：此非线性系统在平衡点附近小范围线性化方程为此非线性系统在平衡点附近小范围线性化方程为(7-2-12)图图7-2-2范德波尔方程在范德波尔方程在时的相轨迹时的相轨迹7-3 非线性系统的相平面分析非线性系统的相平面分析用相用相轨迹分析非线性系统轨迹分析非线性系统用相平面法分析含有非线性特性的二阶系统简单用相平面法分析含有非线性特性的二阶系统简单易行，能得到比较直观明确的结论。下面将举例易行，能得到比较直观明确的结论。下
18、面将举例说明。说明。例例7-3-1 7-3-1 试分析图试分析图7-3-17-3-1所示含有继电器的非线性所示含有继电器的非线性系统。其中继电器特性部分的参量是系统。其中继电器特性部分的参量是a=0.2a=0.2，m=0.5m=0.5，M=0.2M=0.2，线性部分的参量线性部分的参量K=5K=5。解解 线性部分的方程为线性部分的方程为图图7-3-1 例例7-3-1 的系统框图的系统框图用相平面分析系统时，可将外部参考输入考虑为用相平面分析系统时，可将外部参考输入考虑为r=0，令令 ，于是得到线性部分的相变量方程，于是得到线性部分的相变量方程为为(7-3-1)非线性部分应划分区域列写方程：非线
19、性部分应划分区域列写方程：归纳以上可见归纳以上可见(7-3-2)现用等倾线法现用等倾线法绘制系统的相轨迹，由式绘制系统的相轨迹，由式(7-3-1)知，知，相轨迹上等倾线方程为相轨迹上等倾线方程为将图将图7-3-2所示之相平面分为三个区域，三个区域所示之相平面分为三个区域，三个区域的转换线分别由的转换线分别由(7-3-3)在在区内，区内，y=-M，故等倾线方程为故等倾线方程为在在区内，区内，y=0在在区内，区内，y=M下面将分别讨论系统线性部分的参量下面将分别讨论系统线性部分的参量K、非线性非线性部分的参量部分的参量M、a、m对系统性能的影响。对系统性能的影响。图图7-3-2 例例7-3-1 系
20、统的相轨迹系统的相轨迹按照前述方法，在三个区域内分别画出等倾线，按照前述方法，在三个区域内分别画出等倾线，然后作出初始状态为然后作出初始状态为(0.6，0)且且K=2时系统的相时系统的相轨迹，如图轨迹，如图7-3-3中的相轨迹中的相轨迹所示。所示。1、减小线性部分增益、减小线性部分增益K由一个非周期环节和一个积分环节构成的线由一个非周期环节和一个积分环节构成的线性部分与继电器特性串联后组成的非线性系性部分与继电器特性串联后组成的非线性系统，线性部分的增益达到一定数值后，该非统，线性部分的增益达到一定数值后，该非线性系统产生自持振荡。减小线性部分的增线性系统产生自持振荡。减小线性部分的增益将是消
21、除系统自持振荡的措施之一。益将是消除系统自持振荡的措施之一。图图7-3-3 例例7-3-1 系统在减小系统在减小K值时的相轨迹值时的相轨迹2、减小继电器特性的输出幅值、减小继电器特性的输出幅值M3、增大继电器特性的死区宽度参量、增大继电器特性的死区宽度参量a根据式根据式(7-3-3)知，决定系统相轨迹等倾线的斜率值知，决定系统相轨迹等倾线的斜率值是乘积是乘积KM值，所以减小值，所以减小M值与减小值与减小K值对系统性能值对系统性能的影响一样。的影响一样。如图如图7-3-2中的虚线所示，随着时间的推移，相轨迹中的虚线所示，随着时间的推移，相轨迹最终收敛到平衡状态最终收敛到平衡状态A点。增大点。增大
22、a值与减小值与减小M值或值或K值对系统有相同的影响。值对系统有相同的影响。4、增大继电器特性回环宽度参量、增大继电器特性回环宽度参量m如图如图7-3-2中的点画线所示，增大中的点画线所示，增大m值缩小继电器值缩小继电器特性的回环宽度，对抑制和消除系统自持振荡有特性的回环宽度，对抑制和消除系统自持振荡有良好的效果。良好的效果。7-4 非线性特性的一种线性近似表示非线性特性的一种线性近似表示描述函数法描述函数法考虑一非线性环节考虑一非线性环节N，其输入为其输入为x(t),输出为输出为n(t).现现找出一个线性函数找出一个线性函数y(t)去逼近去逼近n(t),并且要求按照某并且要求按照某种准则衡量，
23、这种逼近应是最佳的。种准则衡量，这种逼近应是最佳的。 (参见图参见图7-4-1)。用来逼近非线性环节的线性环节能用卷积分公式用来逼近非线性环节的线性环节能用卷积分公式表示其输出表示其输出y(t)与输入与输入x(t)之间的关系：之间的关系：图图7-4-1 最佳逼近示意图最佳逼近示意图g(t)应满足应满足(7-4-1)式式中中 g(t)线性环节的脉冲响应函数。线性环节的脉冲响应函数。选择线性函数选择线性函数y(t)的的依据：依据：(7-4-2)式式中中 e最小值以外的均方误差值。最小值以外的均方误差值。根据式根据式(7-4-2)及式及式(7-4-3)可有可有(7-4-3)(7-4-4)根据式根据式
24、(7-4-4)可见，只有其被积函数中关于函数可见，只有其被积函数中关于函数非非负。由此可知必须有负。由此可知必须有的一次项恒等于零，式的一次项恒等于零，式(7-4-4)才为才为(7-4-5)将式将式(7-4-1)代入式代入式(7-4-5)得得考虑到线性方程交换积分顺序不会影响结果，式考虑到线性方程交换积分顺序不会影响结果，式(7-4-6)可写成可写成(7-4-6)为使上式对为使上式对所有的都所有的都 成立，故必须有成立，故必须有或或式式(7-4-7)就是按照使均方误差为最小的准则，实就是按照使均方误差为最小的准则，实现现y(t)与与n(t)最佳逼近的充分必要条件。最佳逼近的充分必要条件。(7-
25、4-7)针对一任意非线性系统，设输入针对一任意非线性系统，设输入x(t)=x(t)=XsinXsint t, ,无记忆非线性环节的输出无记忆非线性环节的输出n(t)n(t)也应是周期函数，也应是周期函数，用傅立叶级数表示为用傅立叶级数表示为(7-4-)(7-4-)将式将式(7-4-9)代入式代入式(7-4-7)的等式右侧，则有的等式右侧，则有(7-4-10)(7-4-11)(7-4-12)因此，在正弦函数输入下，非线性环节的最佳因此，在正弦函数输入下，非线性环节的最佳线性化可以表示为：线性化可以表示为：(7-4-13)式式(7-4-13)称为非线性环节的描述函数，或称称为非线性环节的描述函数，
26、或称非线性环节的等效增益非线性环节的等效增益更更一般的情况下，非线性环节一般的情况下，非线性环节N的特性是对称的，的特性是对称的，但其输出不一定都是几奇函数，这时但其输出不一定都是几奇函数，这时y(t)的基波的基波分量为分量为(7-4-14) 因此，非线性环节的因此，非线性环节的描述函数描述函数或等效复数或等效复数增益为：增益为：(7-4-15)描述函数描述函数N(x)N(x)表示了表示了非线性环节的输入为正非线性环节的输入为正弦函数时，输出中的基波分量与输入在幅值弦函数时，输出中的基波分量与输入在幅值和相位上的相互关系，类似于线性环节的频和相位上的相互关系，类似于线性环节的频率特性。率特性。
27、7-5 典型非线性特性的描述函数典型非线性特性的描述函数饱和特性的描述函数饱和特性的描述函数若非线性环节具有饱和特性，如图若非线性环节具有饱和特性，如图7-5-1，输入，输入为正弦信号为正弦信号输出为输出为(7-5-1)图图7-5-1 饱和特性及其正弦响应饱和特性及其正弦响应将将式式(7-5-1)代入式代入式(7-4-14)，得到，得到(7-5-2)由此得到饱和特性的描述函数为由此得到饱和特性的描述函数为非非线性环节的输出基波分量则为线性环节的输出基波分量则为(7-5-3)故有故有显然，只有当显然，只有当Xa时研究饱和才有意义。时研究饱和才有意义。实用上常将描述函数表示为实用上常将描述函数表示
28、为X/a的函数，而且将的函数，而且将其中与线性部分增益有相同作用的参量其中与线性部分增益有相同作用的参量K0分离出分离出来，于是有来，于是有(7-5-4)在在分析非线性系统时，为与系统线性部分配合是使分析非线性系统时，为与系统线性部分配合是使用线性理论的某些结论，经常应用用线性理论的某些结论，经常应用“负倒相对描述负倒相对描述函数函数 ” ，并将其写成与线性系统中幅相，并将其写成与线性系统中幅相频率特性类似的形式，即频率特性类似的形式，即(7-5-5)应应强调指出，描述函数虽然可以写成与频率特性强调指出，描述函数虽然可以写成与频率特性类似的形式，但其变量不是频率，而是非线性特类似的形式，但其变
29、量不是频率，而是非线性特性的参量及输入正弦信号的振幅。性的参量及输入正弦信号的振幅。(7-5-6)表表7-5-1列出了饱和特性的负倒相对描述函数的幅列出了饱和特性的负倒相对描述函数的幅值、相角与变量值、相角与变量X/a之间的数值关系。之间的数值关系。表表7-5-1饱和特性的负倒幅相特性饱和特性的负倒幅相特性图图7-5-2 饱和特性的负倒幅相特性饱和特性的负倒幅相特性与与线性系统的对数频率特性类似，也可以绘制负线性系统的对数频率特性类似，也可以绘制负倒对数幅相特性，如图倒对数幅相特性，如图7-5-3。图图7-5-3 饱和特性的负倒对数幅相特性饱和特性的负倒对数幅相特性如将非线性系统的描述函数视为
30、复数增益，则饱如将非线性系统的描述函数视为复数增益，则饱和特性的描述函数是一个实数增益，其值总小于和特性的描述函数是一个实数增益，其值总小于1，或者说饱和特性的增益总是小于其线性段的，或者说饱和特性的增益总是小于其线性段的增益增益K0 ，随着输入信号幅值增大，其等效增益随着输入信号幅值增大，其等效增益愈低。愈低。死区特性的描述函数死区特性的描述函数若非线性环节具有死区特性，如图若非线性环节具有死区特性，如图7-5-4，输入，输入为正弦信号为正弦信号输出为输出为(7-5-7)图图7-5-4 死区特性及其正弦响应死区特性及其正弦响应根据式根据式(7-4-14)可以得到可以得到由于由于故得故得于是死
31、区特性的相对描述函数为于是死区特性的相对描述函数为(7-5-8)表表7-5-2列出了死区特性的负倒相对描述函数的幅列出了死区特性的负倒相对描述函数的幅值、相角与变量值、相角与变量X/a之间的数值关系。之间的数值关系。表表7-5-2死区特性的负倒幅相特性死区特性的负倒幅相特性图图7-5-5是死区特性的负倒幅相特性。当是死区特性的负倒幅相特性。当X/a=1时，它时，它起始于负实轴上无限远处，随着起始于负实轴上无限远处，随着X/a增加，它沿着负增加，它沿着负实轴趋向于实轴趋向于(-1,j0)点。图点。图7-5-6是死区特性的负倒对数是死区特性的负倒对数幅相特性。幅相特性。图图7-5-6 死区特性的负
32、倒幅相特性死区特性的负倒幅相特性间隙特性的描述函数和继电器特性的描述函数请间隙特性的描述函数和继电器特性的描述函数请参见教材参见教材301页页304页页表表7-5-3理想继电器特性的负倒幅相特性理想继电器特性的负倒幅相特性理想继电器特性的负倒幅相特性见表理想继电器特性的负倒幅相特性见表7-5-3非非线性特性的描述函数的特点是，它表示线性特性的描述函数的特点是，它表示了在正弦输入信号下，输出信号的基波分了在正弦输入信号下，输出信号的基波分量与输入之间在幅值和相位上的相互关系，量与输入之间在幅值和相位上的相互关系，也就是包含有等效增益及等效相移两方面也就是包含有等效增益及等效相移两方面的信息。的信
33、息。7-6 分析非线性系统的谐波平衡法分析非线性系统的谐波平衡法图图7-6-1是通常的非线性系统框图，其中线性是通常的非线性系统框图，其中线性部分的频率为部分的频率为G(j),非线性部分的算子以非线性部分的算子以表示，非线性部分的输出为表示，非线性部分的输出为n(t)。根据系统的根据系统的结构有结构有图图7-6-1 非线性系统的框图非线性系统的框图式中式中 g(t)系统线性部分的单位脉冲响应函数系统线性部分的单位脉冲响应函数当非线性系统存在自持振荡时，即系统在输入为当非线性系统存在自持振荡时，即系统在输入为零的情况下，存在稳定的振幅与频率的周期解，零的情况下，存在稳定的振幅与频率的周期解，则下
34、列关系式成立：则下列关系式成立：由于由于c(t)中包含有多次谐波，则等式两侧对应的中包含有多次谐波，则等式两侧对应的各次谐波应该相等，这就是谐波平衡原理。对于各次谐波应该相等，这就是谐波平衡原理。对于c(t)中的基波必然有中的基波必然有求上式的拉普拉斯变换，即求上式的拉普拉斯变换，即(7-6-1)(7-6-2)(7-6-3)考虑到式考虑到式(7-5-4),又可将式又可将式(7-6-3)写成写成(7-6-4)式式(7-6-4)说明，非线性系统存在自持振荡的必要说明，非线性系统存在自持振荡的必要条件是，系统的非线性部分的负倒相对幅相特性条件是，系统的非线性部分的负倒相对幅相特性与线性部分的等效频率
35、特性相等。或者写成幅值与线性部分的等效频率特性相等。或者写成幅值与相角条件，即是与相角条件，即是(7-6-5)此即谐波平衡的基本原理，它可以作为非线性此即谐波平衡的基本原理，它可以作为非线性系统能够形成自持振荡的必要条件。系统能够形成自持振荡的必要条件。为了得到非线性系统存在自持振荡的必要而且充为了得到非线性系统存在自持振荡的必要而且充分的条件，可以进一步将非线性系统与线性系统分的条件，可以进一步将非线性系统与线性系统对比分析。线性系统的闭环特征方程是对比分析。线性系统的闭环特征方程是对于非线性系统，可以从式对于非线性系统，可以从式(7-6-4)分析。分析。图图7-6-2 判别非线性系统的稳定
36、性判别非线性系统的稳定性图图7-6-2 判别非线性系统的稳定性判别非线性系统的稳定性分析分析a a点对应的周期振荡的性质。点对应的周期振荡的性质。用用同样的方法可以判别交点同样的方法可以判别交点b对应的周期振荡不稳定。对应的周期振荡不稳定。例例7-6-1 7-6-1 一具有间隙特性的非线性系统，如果其线性一具有间隙特性的非线性系统，如果其线性部分的等效传递函数是部分的等效传递函数是试用谐波平衡法分析系统的自持振荡情况。试用谐波平衡法分析系统的自持振荡情况。解解 分析几种情况分析几种情况图图7-6-3 例例7-6-1系统的幅相特性系统的幅相特性7-7 非线性环节的串、并联及系统的变换非线性环节的
37、串、并联及系统的变换系统线性部分的变换与集中系统线性部分的变换与集中图图7-7-1 是多哥线性环节和一个非线性环节组成是多哥线性环节和一个非线性环节组成的非线性系统。如将汇合点移动之后，最后可以的非线性系统。如将汇合点移动之后，最后可以变换为如图变换为如图7-7-1c所示系统。由于感兴趣的只是所示系统。由于感兴趣的只是分析非线性系统是否存在自持振荡，则实际上图分析非线性系统是否存在自持振荡，则实际上图7-7-1c中最后一个线性环节中最后一个线性环节 是不必要的，是不必要的，即此非线性系统中的线性环节集中后的传递函数即此非线性系统中的线性环节集中后的传递函数应是应是a)b)c)图图7-7-1 非
38、线性系统中线性部分的变换与集中非线性系统中线性部分的变换与集中非非线性环节串联的特性线性环节串联的特性两个非线性环节串联，与线性环节串联的性质两个非线性环节串联，与线性环节串联的性质类似，前一环节的输出为后一环节的输入，图类似，前一环节的输出为后一环节的输入，图7-2-2给出了两个非线性换环节串联组成的情况。给出了两个非线性换环节串联组成的情况。根据串联的原理，可以用作图方法求得串联后根据串联的原理，可以用作图方法求得串联后的非线性特性，如图的非线性特性，如图7-7-3所示。由图不难看出，所示。由图不难看出，死区参量死区参量线性部分的增益线性部分的增益饱和值则有饱和值则有图图7-2-2 非线性
39、环节串联非线性环节串联非线性环节串联后的等效非线性环节的特性与非线性环节串联后的等效非线性环节的特性与两个环节的前后顺序有关，改换前后次序则等两个环节的前后顺序有关，改换前后次序则等效特性也会变化。效特性也会变化。图图7-7-3 两个非线性环节串联后的特性两个非线性环节串联后的特性非线性环节并联的特性非线性环节并联的特性图图7-7-4 两个非线性环节并联两个非线性环节并联图图7-7-4表示两个非线性环节的并联情况，如输表示两个非线性环节的并联情况，如输入为入为x，则输出为则输出为 ，这与线性环节，这与线性环节并联时的情况一样。图并联时的情况一样。图7-7-4所示两个非线性环所示两个非线性环节并
40、联后的等效非线性特性将因两个环节的死区节并联后的等效非线性特性将因两个环节的死区参量参量 不同而有差异。不同而有差异。图图7-7-5 并联后的等效非线性特性并联后的等效非线性特性图图7-7-5 并联后的等效非线性特性并联后的等效非线性特性图图7-7-5 并联后的等效非线性特性并联后的等效非线性特性7-8 非线性系统的计算机仿真非线性系统的计算机仿真例例7-8-1 7-8-1 有饱和非线性的系统框图如图有饱和非线性的系统框图如图7-8-1 7-8-1 。其中饱和非线性的输入、输出满足下式其中饱和非线性的输入、输出满足下式分析饱和非线性对系统暂态响应的影响。分析饱和非线性对系统暂态响应的影响。图图
41、7-8-1 有饱和非线性的系统有饱和非线性的系统 解解 打开打开SIMULINK图形窗口后首先用图形窗口后首先用SIMULINK的模块库建立如图的模块库建立如图7-8-2所示所示的系统模型，其中的系统模型，其中Sum模块模块在数学在数学(Math)库中，库中，In1模块和模块和Out1模块模块在信号与系统在信号与系统(Signals & Systems)库中，库中，两个传递函数模块从线性系统两个传递函数模块从线性系统(Linear)库库中调入。双击饱和非线性模块，将上限中调入。双击饱和非线性模块，将上限和下限设为和下限设为1和和-1。图图7-8-2 例例7-8-1 系统的系统的SIMULINK
42、仿真模型仿真模型将将模型保存为文件名为模型保存为文件名为exmp1.mdl的模型文件。的模型文件。如果系统中没有饱和非线性，当给定输入阶跃如果系统中没有饱和非线性，当给定输入阶跃信号的幅值改变时，暂态响应的最大超调量是信号的幅值改变时，暂态响应的最大超调量是不变的。为了分析饱和非线性对系统的影响，不变的。为了分析饱和非线性对系统的影响，分别求阶跃输入从分别求阶跃输入从1变化到变化到6，间隔为，间隔为1时系统的时系统的响应和最大超调量。响应和最大超调量。回到回到MATLAB窗口，并键入下列命令：窗口，并键入下列命令：执行后将显示如图执行后将显示如图7-8-3所示的响应曲线。所示的响应曲线。图图7
43、-8-3 不同幅值阶级跃信号下的系统响应不同幅值阶级跃信号下的系统响应为了得到不同幅值阶跃信号下系统暂态响应的最为了得到不同幅值阶跃信号下系统暂态响应的最大超调量，计算如下：大超调量，计算如下：sy=size(yy);yss=yy(sy(1),:);mp=100*(max(yy)-yss)./yss显示的结果是：显示的结果是：mp= 37.6548 34.6111 31.4223 29.5730 29.7324 30.7281小结小结 本章介绍了非线性系统的两种设计方法：描述本章介绍了非线性系统的两种设计方法：描述函数法、相平面法。它们都是用工程作图的方函数法、相平面法。它们都是用工程作图的方
44、法分析解决问题。法分析解决问题。v描述函数法：把非线性特性基波传递关描述函数法：把非线性特性基波传递关系做为它的替代公式，所以只适用于非线系做为它的替代公式，所以只适用于非线性程度较低和特性对称的非线性元件，还性程度较低和特性对称的非线性元件，还要求线性部分具有良好的低通滤波器特性。要求线性部分具有良好的低通滤波器特性。v相平面法能精确地分析系统，但系统的阶次仅相平面法能精确地分析系统，但系统的阶次仅限于二阶或低于二阶。限于二阶或低于二阶。v非线性系统用框图表示时，线性部分和非线性非线性系统用框图表示时，线性部分和非线性部分可分离的系统称为基本形式的系统。部分可分离的系统称为基本形式的系统。v
45、正确的认为引入非线性系统可改善系统性能的正确的认为引入非线性系统可改善系统性能的问题。问题。v用用SIMULINKSIMULINK的图形化建模方法对非线性系统建的图形化建模方法对非线性系统建立仿真模型，并在立仿真模型，并在SIMULINKSIMULINK环境下仿真，既可环境下仿真，既可不受系统中线性部分的阶次的限制，又能直观不受系统中线性部分的阶次的限制，又能直观准确地求出非线性系统的响应。准确地求出非线性系统的响应。习题习题习题7-1 设系统如图设系统如图7-1所示，其中继电器非线性特所示，其中继电器非线性特性的性的a=0。用谐波平衡法分析系统是否存在自持用谐波平衡法分析系统是否存在自持振荡
46、？如存在，试求出系统自持振荡的基波振振荡？如存在，试求出系统自持振荡的基波振幅和频率的近似值。幅和频率的近似值。图图7-1 题题7-1图图设非线性系统如图设非线性系统如图7-2所示，已知非线性环节所示，已知非线性环节的描述函数的描述函数 ，当，当图图7-2 非线性系统非线性系统习题习题7-2解解 由题意由题意及及相应的幅值相应的幅值图图7-3 稳定性分析稳定性分析(3)非线性环节及非线性环节及K对稳定性的影响：对稳定性的影响：当非线性环节时，对于当非线性环节时，对于(1)，系统不稳定；对于系统不稳定；对于(2)，K对对稳定性无影响。稳定性无影响。 当有非线性环节时，对于当有非线性环节时，对于(
47、1)，K值大小不值大小不能改变系统存在稳定的自振状态，能改变系统存在稳定的自振状态，K值越大，值越大，自振振幅越大；对于自振振幅越大；对于(2)，系统始终稳定，不受，系统始终稳定，不受K值影响。值影响。习题习题7-3设设饱和非线性系统如图饱和非线性系统如图7-4所示，饱和非线性所示，饱和非线性描述函数曲线如图描述函数曲线如图7-5所示。试求所示。试求图图7-4 饱和非线性系统饱和非线性系统(1)系统稳定时系统稳定时K的最大值的最大值kmax ；(2)K=3时，系统自激振荡的振幅与频率。时，系统自激振荡的振幅与频率。解解 (1)确定系统稳定时的确定系统稳定时的kmax 其幅频与相频为其幅频与相频为图图7-5 描述函数描述函数(2)确定自振参数确定自振参数习题习题7-4设非设非线性系统如图线性系统如图7-6所示，试大致画出所示，试大致画出c(0)=-3， ，r(t)=1 (t)的相轨迹图。的相轨迹图。图图7-6 非线性系统非线性系统解解 由图知由图知而而且有且有故故系统分段线性微分方程为系统分段线性微分方程为可知，等倾线是一簇过原点的直线。可知，等倾线是一簇过原点的直线。图图7-7 相轨迹相轨迹
