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1、第三章第三章 离散系统的时域分析离散系统的时域分析本章要点本章要点1、引言、引言 2、常用典型序列及其基本运算、常用典型序列及其基本运算3、离散时间系统的描述和模拟、离散时间系统的描述和模拟4、LTI离散时间系统的响应离散时间系统的响应5、离散时间系统的单位序列响应、离散时间系统的单位序列响应6、卷积和、卷积和1 引引 言言2 常用典型序列及其基本运算常用典型序列及其基本运算(5) 复指数序列 同正弦序列一样，若复指数序列是一个周期序列，则应为整数或有理数，否则不是周期序列。2. 序列的基本运算与波形变换(1) 序列的相加 （a） （b） （c）序列的相加 (2) 序列的相乘 （a） （b）
2、（c）(3) 信号的差分 对离散时间信号而言，信号的差分运算表示的是相邻两对离散时间信号而言，信号的差分运算表示的是相邻两个序列值的变化率。定义为个序列值的变化率。定义为前向差分： 后向差分： (4) 序列的累加对离散时间信号而言，信号的累加定义为对离散时间信号而言，信号的累加定义为即累加后产生的序列在即累加后产生的序列在k k时刻的值是原序列在该时刻及以前所有时刻的值是原序列在该时刻及以前所有时刻的序列值之和。时刻的序列值之和。(7) 序列的尺度变换序列的尺度变换与连续时间信号的尺度变换不同。序列的尺度变换与连续时间信号的尺度变换不同。（），是），是 序列每隔序列每隔点取一点形成的，即时间轴
3、点取一点形成的，即时间轴压缩了压缩了倍。倍。 （），是），是序列每两相邻序列值之间加序列每两相邻序列值之间加个零值点形成的，即时间轴个零值点形成的，即时间轴扩展了扩展了倍。倍。 (8) 信号的分解比较比较(9) 序列的能量主要讨论线性时不变系统。线性系统： if then二二 离散时间系统离散时间系统时不变系统ifthen3 3 离散时间系统的描述和模拟离散时间系统的描述和模拟一一. . 离散时间系统的数学描述离散时间系统的数学描述差分方程差分方程例如：D（a）单位延时器（b）加法器（c）标量乘法器 二二 离散时间系统的模拟离散时间系统的模拟1. 1. 基本模拟元件基本模拟元件 2 2一阶系统
4、的描述与模拟一阶系统的描述与模拟 描述一描述一阶系系统的后向差分方程的后向差分方程为描述一描述一阶系系统的前向差分方程的前向差分方程为 3 3N N 阶系统后向差分方程的描述与模拟阶系统后向差分方程的描述与模拟对于描述一个对于描述一个n n 阶系统的后向差分方程阶系统的后向差分方程可改写可改写为 可得其模拟框图，如下图所示。可得其模拟框图，如下图所示。一、一、 常系数线性差分方程的求解一般形式常系数线性差分方程的求解一般形式简写成简写成其中其中4 LTI4 LTI离散时间系统的响应离散时间系统的响应4 4 4 4、变换域法（、变换域法（、变换域法（、变换域法（Z Z Z Z变换法）变换法）变换
5、法）变换法）逐次代入求解， 概念清楚， 比较简便， 适用于计算机，缺点是不能得出通式解答。 1 1 1 1、迭代法、迭代法、迭代法、迭代法 2 2 2 2、时域经典法、时域经典法、时域经典法、时域经典法3 3 3 3、全响应零输入响应零状态响应、全响应零输入响应零状态响应、全响应零输入响应零状态响应、全响应零输入响应零状态响应零输入响应求解与齐次通解方法相同零输入响应求解与齐次通解方法相同零输入响应求解与齐次通解方法相同零输入响应求解与齐次通解方法相同零状态响应求解利用卷积和法求解，十分重要零状态响应求解利用卷积和法求解，十分重要零状态响应求解利用卷积和法求解，十分重要零状态响应求解利用卷积和
6、法求解，十分重要求解过程比较麻烦， 不宜采用。 求解常系数线性差分方程的方法一般有以下几种求解常系数线性差分方程的方法一般有以下几种全响应齐次通解全响应齐次通解全响应齐次通解全响应齐次通解 特解特解特解特解自由响应自由响应 强迫响应强迫响应二、二、 齐次通解齐次通解例例1：一阶齐次方程的解：一阶齐次方程的解由原方程得：解：解： 方法一（方法一（迭代法）迭代法）迭代法）迭代法）方法二：方法二：对应特征方程为对应特征方程为特征根特征根已知已知则则 特征根特征根 单实根单实根 重实根重实根齐次解齐次解不同特征根所对应的齐次解不同特征根所对应的齐次解例例1 1： 求下列差分方程的求下列差分方程的完全解
7、完全解其中激励函数 ，且已知解：解：特征方程：齐次通解：将 代入方程右端， 得三、 特解12) 1() 1()(22-=-=-kkkkxkx设特解为设特解为 形式，形式， 代入方程得代入方程得比较两边系数得比较两边系数得解得完全解为完全解为代入边界条件 ，求得一般情况不同激励所对应的特解激励 特解特征根 r重等于1的特征根特征根特征单根重特征根例例2 2： 描述一个线性时不变离散时间系统的差分方程为且初始状态，求系统的响应。解：特征方程 特征根为由此可得出齐次解的形式为根据激励函数的形式及齐次方程的特征根，确定特解的形式。当激励 时， 特解为将特解代入原差分方程，得通过平衡方程两边系数，求出特
8、解的系数 ，得出特解从而系统的全解将系统的初始状态代入方程的全解，即从而求出齐次解的系数为 则系统的响应就是方程的全解，即与连续时间系统时域分析类似，离散时间系统响应中，齐次解的形式仅依赖与连续时间系统时域分析类似，离散时间系统响应中，齐次解的形式仅依赖于系统本身的特征，而与激励信号的形式无关，因此在系统分析中于系统本身的特征，而与激励信号的形式无关，因此在系统分析中齐次解齐次解常常称为系统的称为系统的自由响应自由响应或固有响应。但应注意齐次解的系数是与激励有关的。或固有响应。但应注意齐次解的系数是与激励有关的。特解特解的形式取决于激励信号，常称为的形式取决于激励信号，常称为强迫响应。强迫响应
9、。四零输入响应和零状态响应四零输入响应和零状态响应( (自学）自学）零输入响应 零状态响应 离散时间系统的单位序列响应离散时间系统的单位序列响应 定义：定义：当LTI离散系统的激励为单位序列 时，系统的零状态响应称为单位序列响应，或单位样值响应、单位取样响应，用 表示。 例例1 1： 系统的差分方程式为 求系统的单位样值响应 解： 5 离散时间系统的单位序列响应离散时间系统的单位序列响应(1)(1)求齐次解求齐次解 特征方程特征方程(2)(2) (3)(3) 三重根三重根齐次解（2 2） 由初始条件， 求由零状态激励作用化为一个起始条件（3）例例2 2：已知系统的差分方程模型：已知系统的差分方
10、程模型求系统的单位样值响应。求系统的单位样值响应。解：（1） 求齐次解齐次解为（2）假设只有x(k)x(k)作用， 求对应响应（3）只考虑 项的作用， 求 由线性时不变性（4 4 4 4） 讨论： 1. 离散LTI系统作为因果系统的充要条件是 （当k0时） 2. 稳定系统的充要条件是h(k)绝对可和， 即称为卷积和称为卷积和2、由线性时不变性，、由线性时不变性， 得得1、任意激励信号任意激励信号 可以表示为单位样值加权取和的形式可以表示为单位样值加权取和的形式设设一、卷积和的定义一、卷积和的定义6 6 卷积和卷积和简记为卷积和运算满足交换律， 分配律， 结合律 （1 1）交换律）交换律 （2
11、2）结合律）结合律 （3 3）分配律）分配律 用图示的方法求卷积和：反褶，平移，相乘，取和用图示的方法求卷积和：反褶，平移，相乘，取和-112231-112431二、卷积和的计算方法二、卷积和的计算方法1 1图解法图解法-11-2-4 -31反褶反褶-11-2-31-11-212解：解：平移平移平移平移23145平移平移2364 5236451536631相乘，取和相乘，取和-11 2231-11-2-4 -31例1 ：已知某离散系统的单位序列响应试求当激励 时,系统的零状态响应解：解： 由于 时 ， ， ， 故 和 均称为因果序列。 由卷积和公式得2 2解析法解析法图解法较为直观，但难以得到
12、闭合形式的解，而解析法可以解决这个问题。通常是利图解法较为直观，但难以得到闭合形式的解，而解析法可以解决这个问题。通常是利用数列求和公式，求得序列的卷积和。表用数列求和公式，求得序列的卷积和。表5.25.2中列出了几种常用序列的卷积和。中列出了几种常用序列的卷积和。解：解： 由于 时 ， ， ， 故 和 均称为因果序列。 由卷积和公式得数列求和数列求和离散时间系统与连续时域分析法的比较离散时间系统与连续时域分析法的比较1、数学模型、数学模型 微分方程微分方程 差分方程差分方程2、分析线性时不变系统的基础、分析线性时不变系统的基础 叠加性和齐次性，时不变性叠加性和齐次性，时不变性 全响应零输入零状态全响应零输入零状态 齐次通解特解齐次通解特解3、两种系统的特征根的意义不尽相同。、两种系统的特征根的意义不尽相同。对于连续系统，特征根出现在指数函数的幂数中，稳定的对于连续系统，特征根出现在指数函数的幂数中，稳定的系统特征根是位于系统特征根是位于s平面的左半平内，对于离散系统，特平面的左半平内，对于离散系统，特征根出现在指数函数的底数，稳定的系统特征根位于征根出现在指数函数的底数，稳定的系统特征根位于z平平面中的系统圆内。面中的系统圆内。4、零状态响应、零状态响应连续系统连续系统离散系统离散系统
