《2022年数列的概念与简单表示法》典型例题透析》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年数列的概念与简单表示法》典型例题透析(6页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载数列的概念与简单表示法典型例题透析类型一:根据数列的前几项写出数列的一个通项公式例 1写出下列各数列的一个通项公式,使其前四项分别是:(1) 0, 23,38,415, ;(2) 1, 43,95,167, ;(3) 9, 99,999, 9999,;(4) 6, 1, 6,1,. 解析:(1)将数列改写为1112,2122,3132,4142,故21nnan. (2)此数列奇数项为正,偶数项为负,可用1( 1)n来表示;其绝对值中分子为奇数数列,分母是自然数的平方数列,故1221( 1)nnnan. (3)将数列改写为1101, 2101, 3101, 4101,故101nn
2、a. (4)将数列每一项减去6与 1 的平均值27得新数列25, -25,25, -25, ,故175( 1)22nna或75cos(1) .22nan总结升华: 写通项时注意以下常用思路:若数列中的项均为分数,则先观察分母的规律再观察分子的规律,如(1) ;特别注意有时分数是约分后的结果,要根据观察还原分数;注意 (1)n在系数中的作用是让数列中的项正、负交替出现,如(2) ;(-1)n作指数,让数列中隔项出现倒数;( 4)可视为周期数列,故想到找一个周期为2 的函数为背景。归纳猜想的关键是从特殊中去寻找一般规律,很多情况下是将已写出的项进行适当的变形,使规律明朗化. 熟练掌握一些基本数列的
3、通项公式,例如:数列 -1 ,1, -1 ,1,的通项公式为( 1)nna;数列 1,2,3,4,的通项公式为nan;数列 1,3,5,7,的通项公式为21nan;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页学习必备欢迎下载数列 2,4,6,8,的通项公式为2nan;数列 1,4,9,16,的通项公式为2nan;数列 1,12,13,14,的通项公式为1nan。举一反三:【变式】根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式:(1) 3, 5, 9, 17, 33,;(2) 32, 154, 356, 638, 9910,
4、;(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,;(4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ;(5) 2, 6, 12, 20, 30, 42, . 【答案】(1)21nna;(2)2(21)(21)nnann;(3)1( 1)2nna;(4) 将数列变形为10, 2 1, 3 0, 4 1, 5 0, 6 1, 7 0, 8 1, , 1( 1)2nnan;(5) 将数列变形为12, 23, 3 4, 4 5, 5 6, ,1( 1)(1)nnan n. 类型二:通项公式的应用例 2. 设数列na满足2nnan,写出这个数列的前五项。思路点拨 : 只需在给出数列na的通项公式
5、中依次取1,2,3,4,5n,便可以求解. 解析: 数列na的前五项为:113a;22142a;335a;44263a;557a. 总结升华: 根据数列的通项公式,可以写出数列的所有项。举一反三:【变式 1】设数列na满足( 1)nnan,写出这个数列的前五项。【答案】1,12,13,14,15. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页学习必备欢迎下载【变式 2】根据下列数列na的通项公式,写出它的第五项. (1)21nnan;(2)sin2nnan,【答案】 (1)59;( 2)5. 例 3已知数列na的通项公式32n
6、an, 试问下列各数是否为数列na的项,若是,是第几项?(1) 94;(2) 71. 思路点拨 : 先假设是数列中的项,可以列方程求解,若求解得到的脚标nN,那么是数列中的项,否则,不是. 解析:(1)设9432n, 解得32n. 故 94 是数列na的第 32 项. (2)设7132n,解得1243nN. 故 71 不是数列na的项 . 举一反三:【变式】已知数列na的通项公式(1)(2)nann, (1)若9900na,试问na是第几项?(2)56 和 28 是否为数列na的项?【答案】 (1)98 项;( 2)56 是, 28 不是 . 类型三:递推公式的应用例 4. 设数列na满足:1
7、1a,111nnaa(1)n,写出这个数列的前五项。思路点拨 : 题中已给出na的第 1 项11a和递推公式:111nnaa,故可以依次写出下列各项 . 解析:据题意可知:11a,21112aa,321312aa,431513aa,585a故数列的前5 项为 :1 ,2,23,35,58. 总结升华: 递推公式也是给出数列的一种方法,根据数列的递推公式,可以逐次写出数列的所有项。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页学习必备欢迎下载举一反三:【变式1】已知数列na满足:11a,23a,212nnnaaa (1)n,写出前
8、6项. 【答案】11a,23a,35a,411a,521a,643a. 【变式 2】已知数列na满足:21a,nnaa21,写出前 5 项,并猜想na【答案】法一:21a,22222a,323222a,观察可得nna2法二: 由nnaa21,12nnaa即21nnaa112322112nnnnnnnaaaaaaaannnaa2211类型四:前n项和公式nS与通项na的关系例 5已知数列na的前n项和公式nS,求通项na. (1)221nSnn, (2)2log (1)nSn. 思路点拨 :先由2n时,1nnnaSS,求出na;再由当1n时,11aS,求出1a,并验证1a是否符合所求出的na.
9、解析:(1) 当2n时,221(21)2(1)(1)143nnnaSSnnnnn,当1n时,2112 11 124 13aS,2,(1)43,(2)nnann(2) 当2n时,12221log (1)loglognnnnaSSnnn,当1n时,11221 1log (1 1)1log1aS,21lognnan(nN)为所求 . 总结升华: 已知nS求出na依据的是nS的定义:12.nnSaaa,分段求解,然后精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页学习必备欢迎下载检验结果能否统一形式,能就写成一个,否则只能写成分段函数的形
10、式. 举一反三:【变式 1】已知数列na的前n项和23nnS,求通项na. 【答案】 当2n时,11111(23)(23)222(21)2nnnnnnnnnaSS,当1n时,11 11123121aS,11,(1)2,(2)nnnan. 【变式 2】已知数列na的前n项积2nSn,求通项na【答案】 当2n时,121nnnnaSSn,当1n时,11121231 1aS,3,(1)2,(2)1nnannn. 类型五:数列na的单调性例 6已知数列na中323nnan, 判断数列na的单调性,并给以证明. 思路点拨 :选择数列中任意相邻两项作差比较即可.解析: 3(3)1111333nnann,1
11、111111(3)(3)043(3)(4)nnaannnn(nN)数列na是递增数列 . 总结升华: 数列也是函数,可以用证明函数的单调性的方法来证明. 举一反三:【变式 1】数列na中:11a,122nnnaaa(nN)(1)写出它的前五项,并归纳出通项公式;(2)判断它的单调性. 【答案】(1)11a,223a,31224a, 425a, 51236a, 21nan;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页学习必备欢迎下载(2)方法一: 1222021(2)(1)nnaannnn, 数列na是递减数列 . 方法二: 函数2( )1f xx在1,)x上单调递减,数列na是递减数列 . 【变式 2】数列na中:1( )2nnaa(nN,0a且a为常数),判断数列na的单调性 . 【答案】 11111( )( )( )2222nnnnnaaaaa,当0a时10nnaa, 数列na是递减数列;当0a时10nnaa, 数列na是递增数列 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页