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1、6.2微积分基本定理微积分基本定理n n通过定义来求定积分通常是较困难的，我们通过定义来求定积分通常是较困难的，我们将设法寻找其它计算途径。将设法寻找其它计算途径。n n我们已经知道，原函数与定积分是从两个角我们已经知道，原函数与定积分是从两个角度引进来的概念。但是，经过牛顿、莱布尼度引进来的概念。但是，经过牛顿、莱布尼兹等数学家的努力，发现了它们之间的联系，兹等数学家的努力，发现了它们之间的联系，从而定积分的计算将通过不定积分来完成。从而定积分的计算将通过不定积分来完成。1积分上限的函数积分上限的函数n n设函数设函数f(x)区间区间a,b上连续上连续,并且设并且设x为为a,b上的任意一点上
2、的任意一点.现在我们考察现在我们考察f(x)在部分区间在部分区间a,x上的定积分上的定积分n n如果上限如果上限x在区间在区间a,b上任意变动上任意变动,则对于每则对于每一个取定的一个取定的x值值,定积分有一个对应值定积分有一个对应值,所以它所以它在在a,b上定义了一个函数，记上定义了一个函数，记称其为称其为f( (x) )的的积分上限函数积分上限函数( (变上限函数变上限函数) )。2积分上限函数的性质积分上限函数的性质n n原函数存在定理：若函数原函数存在定理：若函数f(x)区间区间a,b上连上连续续,则其积分上限函数则其积分上限函数在在a,b上可导上可导,且导数为且导数为n n证证3 原
3、函数存在性定理的注解原函数存在性定理的注解n n1：闭区间上的连续函数：闭区间上的连续函数f(x)先求变上限积分，先求变上限积分，再求导数，其结果还原为再求导数，其结果还原为f(x)本身。本身。n n2：积分上、下限中有一个为常数，另一个为：积分上、下限中有一个为常数，另一个为变量，积分下限为常数，积分上限为变量；变量，积分下限为常数，积分上限为变量；n n变上限是单独的变上限是单独的x，而不是，而不是x的其它函数形式的其它函数形式n n如何计算：只要将等式右边用积分上限如何计算：只要将等式右边用积分上限x代替代替被积函数中的积分变量被积函数中的积分变量t即可。即可。4例题与讲解例题与讲解n
4、n例：求下列函数的导数例：求下列函数的导数5例题（涉及复合函数求导）例题（涉及复合函数求导）6有用的结论有用的结论n n结论：结论：7例题例题n n例：例：例：例：8例题与讲解例题与讲解n n求极限求极限求极限求极限9例题与讲解例题与讲解n n例：求例：求分析：分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.n n解：解：10练习练习11例题与讲解例题与讲解n n例：例：n n证：证：12例题与讲解例题与讲解n n例：例：n n证：证：令令13微积分学基本定理微积分学基本定理n n定理：定理：(牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式)如果如果F(x)是连续是连续函数函数f(x)在区
5、间在区间a,b上的一个原函数上的一个原函数,则则 ( (C C为一常数为一常数为一常数为一常数) )n n证证:是是是是的一个原函数的一个原函数的一个原函数的一个原函数 牛顿牛顿牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式莱布尼茨公式莱布尼茨公式14微积分基本公式的意义微积分基本公式的意义n n一个连续函数在区间一个连续函数在区间a,b上的定积分等于上的定积分等于它的任意一个原函数在区间它的任意一个原函数在区间a,b上的增量。上的增量。n n求定积分问题转化为求原函数的问题。求定积分问题转化为求原函数的问题。注意注意例：例： 求求 原式原式解解15例题与讲解例题与讲解n n例：例： 设设 , 求求 . n
6、 n解：解：n n例：求例：求n n解：解：16例题与讲解例题与讲解n n例：求例：求n n解：解：由图形可知由图形可知由图形可知由图形可知17小结小结n n3.微积分基本公式微积分基本公式n n1.积分上限函数积分上限函数n n2.积分上限函数的导数积分上限函数的导数n n4.原函数存在定理告诉我们原函数存在定理告诉我们,连续函数的原函连续函数的原函数是存在的数是存在的,其积分上限函数就是其中一个。其积分上限函数就是其中一个。n n5.牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系。之间的关系。18练习练习解答解答解答解答解答解答解答解答19练习（续）练习（续）解答解答解答解答解答解答20练习解答练习解答返回习题返回习题21练习解答（续练习解答（续1）22练习解答（续练习解答（续2）23练习解答（续练习解答（续3）24练习解答（续练习解答（续4）25练习解答（续练习解答（续5）26练习解答（续练习解答（续6）27
