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1、第一次 1某人射击目标3次,记Ai=第i次击中目标(i=1,2,3),用A1, A2, A3表示下列事件（1） 仅有一次击中目标 （2）至少有一次击中目标 （3）第一次击中且第二三次至少有一次击中 （4） 最多击中一次 （1） （2）（3）（4） 2 袋中有红球，白球，从中抽取三次，每次抽去一个，取出后不放回记Ai=第i次抽出红球（i=1,2,3）,用A1, A2, A3表示下列事件 （1）前两次都取红球（2）至少有一次取红球 （3）第二次取白球 （4）恰有两次取红球 （5） 后两次至多有一次取红球 . （1） （2）（3）（4）（5）3 随机抽查三件产品，A=三件中至少有一件废品 B=三件中
2、至少有二件废品 C=三件正品，问 各表示什么事件（用文字描述）解解 - 三件产品全为正品三件产品全为正品 -三件中至多一件废品三件中至多一件废品 -恰有一件废品恰有一件废品 4 下列各式是否成立 （1)（A-B)+B=A （2） (A+B)-C=A+(B-C）5 下列各式说明什么关系？ .（1） AB=A (2) A+B=A (3) A+B+C=A 解解 第2次 1 罐中有围棋子8白子4黑子，今任取3子 ，求下列事件的概率 (1) 全是白子 (2) 取到2黑子1白子 （3）至少有一颗黑子 .8白子4黑子取取3 3子子解解 A= 全是白子 B= 取到2黑子1白子 C=至少有一颗黑子2 从1至20
3、0的正整数中任取一数,求此数能被6或8整除的概率解解 A=此数能被6整除 B=此数能被8整除 = 3 从一副扑克牌的13张红桃中,一张接一张有放回抽取3次,求 (1) 三张号码不同的概率 . (2) 三张中有相同号码的概率 .解A=三张号码不同 B=三张中有相同号码 4 袋中有9红球3白球,任取5球,求(1) 其中至少有1个白球的概率(2) 其中至多有2个白球的概率3个白球个白球, , 9个红球个红球取取5个球个球解 A= 其中至少有1个白球 B= 其中至多有2个白球 5设A,B为两个事件,且P(A)=0.5 P(B)=0.4 P(A+B)=0.8 求 (1) (2) 解6 设 , 求证 证明
4、证明 第三次1 袋中有3红球2白球,不放回地抽取2次,每次取一个,求(1) 第二次取红的概率 (2) 已知第一次取白球,求第二次取红球的概率2白球白球, , 3红球红球不放回取2次解 Ai= 第i次取红球 (i=1,2)E 2 袋中有3红球2白球,抽取3次,每次取一个,取出后不放回,再放入与取出的球颜色相同的两个球, 求 连续3次取白球的概率解Ai=第i次取白球 （i=1，2，3）2白球白球, , 3红球红球3 10件产品中有7件正品，3件次品（1）不放回地每次从中取一个，共取三次，求取到3件次品的概率 （2）有放回地每次从中取一个，共取三次，求取到3件次品的概率 .解 Ai=第i次取次品 （
5、i=1，2，3）（1） （2） 4 100件产品中有10件次品90件正品，每次取1件，取后不放回，求第三次才去到正品的概率10件次品90件正品 解Ai=第i次取正品 （i=1，2，3）5 某人有一笔资金,他投入基金的概率为0.58,买股票的概率为0.28,两项同时投入的概率为0.19, 求(1)已知他买入基金的条件下,他再买股票的概率 (2) 已知他买入股票的条件下,他再买基金的概率解解（2 2）A=A=买基金买基金 B= B=买股票买股票 （1 1）6 某厂有编号为1,2,3的三台机器生产同种产品,其产量分别占总产量的25%, 35% 40%,次品率分别为5%,4% 2%,今从总产品中取一件
6、 (1) 产品为次品的概率 (2) 若抽取的为次品求它是编号为2的机器生产的概率解 Ai（i=1，2，3）B=任取一件产品为次品 A A1 1E EA A2 2A A3 3B BB BB B (1) (2) 第四次1 设P(A)=0.4, P(A+B)=0.7在下列条件下求P(B) (1) A,B互不相容 (2) A,B独立解(1) A,B互不相容 (2)A,B独立 2 设P(A)=0.3, P(A+B)=0.6在下列条件下求P(B) (1) A,B互不相容 (2) A,B独立 (3) 解(1) A,B互不相容 (2)A,B独立 3 两种花籽，发芽率分别为0.8，0.9 ， 从中各取一粒，设花
7、籽发芽独立，求（1）两颗都发芽的概率 （2）至少有一颗发芽的概率（3）恰有一颗发芽的概率 .解 A=第一种花籽发芽 B=第二种花籽发芽 (1) (2) (3)4 甲,乙,丙三人独自破译某个密码,他们各自破译的概率是1/2,1/3,1/4,求密码被破译的概率 解 A=密码被甲破译 B=密码被乙破译 C=密码被丙破译密码被破译=A+B+C5 加工某零件要经过第一 ,第二 ,第三 ,第四道工序,次品率分别为2%, 3% ,4% ,5% ,各道工序独立,求加工出来的零件为次品的概率 解 Ai=第i道工序出次品 ( i=1,2,3,)B=加工出来的零件为次品 6 3次独立重复试验,事件A至少出现一次的概
8、率为,求A在一次试验中出现的概率解 A在一次试验中出现的概率为pX表示3次实验中A出现的次数则XB(3,p)1 判断是否为分布表第五次XP1 2 3 .n解等比数列求和公式为所以此表不是分布表2 已知离散型随机变量的分布律如下,求常数a=?(1) (2) m=0,1,2,3 m=1,2,325 解 (1) (2)注意到: 3 袋中有2红球4白球,取3球,求取到的红球数X的分布律 .解XP0 1 24 某人有6发子弹,射击一次命中率为0.8 ,如果命中了就停止射击,否则一直到子弹用尽,求耗用子弹数Y的分布律 . 解XP1 2 3 4 5 65 有一大批产品的次品率为0.006,现从中抽取500件
9、,求其中只有4件次品的概率 .解X-抽取500件中的次品数则 XB(500,0.006）6 一本合订本100页，平均每页上有2个印刷错误，假定每页上的错误服从泊松分布,计算合订本各页错误不超过4个的概率 .解X-合订本各页错误, 则第六次1 若a在(1,6)上服从均匀分布，求x2+ax+1=0有实根的概率解x2+ax+1=0有实根的充要条件是: 即: a-2 或a2P a-2 或a2a在(1,6)上服从均匀分布1261/5p(x)x2设随机变量X的概率密度为 (1)求常数C (2) P0.4X0.6(3)若,求a(4) 若,求b解(1) c=2(2)(3)(4)显然 0b1 3 已知求 (1)
10、(2)(3) 解 (2) (3)(1)4设随机变量X的概率密度为 (1) 求常数C (2) 解解 (2) (1)5 5 , ,且且 求求 解 显然 6 设最高洪水水位X有概率密度为: 今要修建河堤能防100年一遇的洪水(即:遇到的概率不超过0.01),河堤至少要修多高?解 设河堤至少要修H米 X-连续型随机变量 ,则PX=a=0 但X=a不是不可能事件 . 7 简答题 (1) 随机变量X在闭区间a,b上取每个值得概率均相等,则X服从均匀分布,对吗? (2) 概率为0的事件即为不可能事件,对吗?注意到连续型随机变量在每点上的概率为0 解 (1) 不对 (2) 不对1 设随机变量X为分布表第7次X
11、P-1 2 41/41/21/4求X的分布函数F(x),并绘图解解= =2设随机变量X的分布函数为 求 (1) 概率密度函数 (2) (3)解 (1) (2) (3) 3设随机变量X的概率密度为 (1) 求X的分布函数F(x),并绘图 (2) 解解 注意注意F(x)F(x)连续且连续且 4 设随机变量X为分布表XP求下列随机变量的分布律(1) (2)解 PP5 设随机变量X的分布函数为 求 X的分布律解 P6设随机变量X的概率密度为 求求的概率密度的概率密度 解法一 解法二 单调上升单调上升 ， 其反函数为 1 从1,2,3,4,5中任取3个数,设X,Y分别是这三个数中的最大数 与最小数,求(
12、X,Y) 的联合分布律 第次 解 123345XY2 (X,Y)的分布律如下,问X与Y是否独立? Xy01012解 X与Y不独立 3 (X,Y)的分布律如下 ,且X与Y独立,求a=? b=? y x234 1/12 a5 b 1/2解 X与Y独立 或或 4 (X,Y)的分布律如下,求分布律 Xy01-101解-1012-1015 设X与Y各自的分布律为且X与Y独立,求X+Y的分布律 取值概率1 2 解X+YP2341/42/41/41 设随机变量X为分布表第9次XP-1 0 0.5 1 2 1/3 1/61/6 1/121/4求（）（2）解 2设随机变量X的概率密度为 求（） （2）解 3设随
13、机变量X的分布函数为 求(1) EX,（2) E(3X+5) 解 4 对圆的直径作测量,设其值均匀地分布在区间a,b内,求圆面积的期望解 X-直径则XUa, b 5 按规定某车站每天8:00-9:00, 9:00-10:00恰有一辆客车到站,各车到站的时刻是随机的,且相互独立,其规律为 到站时刻8:10 8:30 8:509:10 9:30 9:50概率0.2 0.4 0.4 (1) 旅客8:00到站,求他候车时间的数学期望 (2) 旅客8:20到站,求他候车时间的数学期望解 (1) 旅客8:00到站 X-表示候车时间， 则 X 10 30 50P0.2 0.4 0.4 5 按规定某车站每天8
14、:00-9:00, 9:00-10:00恰有一辆客车到站,各车到站的时刻是随机的,且相互独立,其规律为 到站时刻8:10 8:30 8:509:10 9:30 9:50概率0.2 0.4 0.4 (1) 旅客8:00到站,求他候车时间的数学期望 (2) 旅客8:20到站,求他候车时间的数学期望解 (2) 旅客8:00到站 X-表示候车时间， 则 X10 30 50 70 90P0.4 0.4 0.04 0.08 0.08 1 设随机变量X为分布表第10次XP0 1 2 3 4 0.1 0.2 0.1 0.4 0.2 求(1) D(-X) (2) D(2X+3) 解 2 设随机变量X的概率密度为
15、 求求(1)k=? (2)(1)k=? (2)解 (3) EX DX (4) E(3X+2) D(-3X+2)3 3 设随机变量设随机变量X X服从服从泊松分布泊松分布, ,且且PX=1=PX=2PX=1=PX=2求求 EX,DX EX,DX 解 , 4 4 设随机变量设随机变量求求Y=3XY=3X的概率密度函数的概率密度函数 解 Y=3X也是正态分布,且 EY=6 DY=81 5 设随机变量X的概率密度为 已知已知EX=2, P1X3=3/4, EX=2, P1X3=3/4, 求求a,b,ca,b,c解 1 (X,Y)的分布律如下第12次 YX 0 1 01/3 1/6 1 1/2 0 求(
16、1) E(X+Y) (2) E(XY)解 2 (X,Y)的分布律如下 YX 0 1 2 3 1 0 3/8 3/8 0 3 1/8 0 0 1/8求求(1) (1) (2)解 3 3 设设X,YX,Y为两个随机变量为两个随机变量, ,且且, DX=1 DY=2 , DX=1 DY=2 求求 解 4 4 设随机变量设随机变量X,Y,X,Y,相互独立相互独立, ,且都服从正态分布且都服从正态分布, ,记记 ( ( 常数常数 ) )求求 (1) (1) (2) (2) 解 第13次1 在总体 中抽取样本 指出 ( ( 已知已知, , 未知未知) )， 哪些是统计量? 解 是统计量2 给定样本观测值
17、92,94,103,105,106求样本均值和方差解 =42.5 3 在总体 求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率中随机抽取容量为5的样本，解 =0.2628 4已知 ,求(1) （2）若 求 解 5 5 已知已知，求（，求（1 1）， （2 2）若）若求求（3 3）若）若求求解 （1） （2） （3） 6设总体 则容量n应取多大,才能使得 是X的样本,解 所以 n最小为35 第14次1 从某正态总体X取得样本观测值： 14.7,15.1,14.8,15.0,15.2 ,14.6 ,用矩法估计总体均值 方差2 解 2总体x的密度为 样本为 求 的矩法估计量 解 3总体x的密度为 样本为
18、 求 的矩法估计量 解 4 为总体 的样本,证明 均为总体均值的无偏估计量 证明 第14次1总体 样本观测值为 22.3 21.5 20.0 21.8 21.4 求(1)=0.3时,的置信度为0.95的置信区间,(2)2未知时,的置信度为0.95的置信区间,解 (1) 的置信区间为 (2已知)所以置信区间为(21.37 , 21.66) (2) 的置信区间为 (2未知)所以置信区间为(20.336, 22.464) 第14次2总体 样本观测值16个.得样本均值为20.8,标准差为1.6求的置信度为0.95的置信区间,解 (2) 的置信区间为 (2未知)所以置信区间为(19.948, 21.65
19、2) 3 总体 样本观测值为 510,485,505,505,490,495,520,515 求(1)=8.6时,的置信度为0.9的置信区间,(2)2未知时,的置信度为0.95的置信区间,解 (1) 的置信区间为 (2已知)所以置信区间为(498.13, 505.20) (2) 的置信区间为 (2未知)所以置信区间为(492.253, 511.0809) 4904 设某种电子管的使用寿命服从正态分布,从中随机抽取16个进行检验,得平均寿命1950小时,标准差为S=300小时,试求95%的可靠性求出整批电子管的平均使用寿命和方差的置信区间 . 解 (1) 的置信区间为 (2未知)所以置信区间为(
20、1790.138, 2109.863) (2) 方差方差s s2 2的置信区间的置信区间方差方差s s2 2的置信区间为（的置信区间为（49112.34，215586.1）1 已知某炼铁厂的铁水含碳量(%)正常情况下服从正态分布,且标准铁水含碳量为4.3,若已知标准差=0.108,现测量五炉铁水,其含碳量分别为4.28, 4.4, 4.42, 4.35, 4.37 (%)问这些铁水是否合格?(显著性水平为 =0.05 ) .第15次1 提出待检验的提出待检验的假设假设 H0 ： m= 4.3m= 4.3解解2 选取检验统计量选取检验统计量若假设成立若假设成立 N(0 0, 1)3 对于给定的检
21、验水平对于给定的检验水平a a ，确定接受域，确定接受域a=0.05a=0.05查表可得查表可得Za/2 a/2 =H0的接受域为的接受域为1.96-1.961.964 计算统计量计算统计量U的值的值1.325接受原假设接受原假设 H0 ： m= 4.3m= 4.3均值的检验（方差已知）2 正常人的脉搏平均为72次/分,现测得10名病人脉搏数据如下54, 67, 68, 78, 70, 66, 67, 70, 65, 69 问患者脉搏与正常人的脉搏有无显著差异(显著性水平=0.05 )均值的检验（方差未知）1 提出待检验的提出待检验的假设假设 H0 ： m= 72m= 72解解2 选取检验统计
22、量选取检验统计量若假设成立若假设成立 t(9)(9)3 对于给定的检验水平对于给定的检验水平a a ，确定接受域，确定接受域a=0.05a=0.05查表可得查表可得ta/2a/2(9) (9) =H0的接受域为的接受域为2.26-2.262.264 计算统计量计算统计量U的值的值-2.45拒绝原假设拒绝原假设 H0 ： m= 72m= 723 某机器生产的垫圈厚度 ,为确定机器是否正常,从它生产的垫圈中抽取9个,算得平均厚度为1.6cm,标准差为0.1cm,检验机器是否正常 (1) 显著性水平为=0.05 (2) 显著性水平为=0.01 均值的检验（方差未知）1 提出待检验的提出待检验的假设假
23、设 H0 ： m= 1.5m= 1.5解解2 选取检验统计量选取检验统计量若假设成立若假设成立 t(8)(8)3 对于给定的检验水平对于给定的检验水平a a ，确定接受域，确定接受域 a =0.05a =0.05查表可得查表可得ta/2a/2(8) (8) =H0的接受域为的接受域为2.306-2.3062.3064 计算统计量计算统计量U的值的值=3拒绝原假设拒绝原假设 H0 ： m= 1.5m= 1.53 某机器生产的垫圈厚度 ,为确定机器是否正常,从它生产的垫圈中抽取9个,算得平均厚度为1.6cm,标准差为0.1cm,检验机器是否正常 (1) 显著性水平为=0.05 (2) 显著性水平为
24、=0.01 均值的检验（方差未知）1 提出待检验的提出待检验的假设假设 H0 ： m= 1.5m= 1.5解解2 选取检验统计量选取检验统计量若假设成立若假设成立 t(8)(8)3 对于给定的检验水平对于给定的检验水平a a ，确定接受域，确定接受域a=0.01a=0.01查表可得查表可得ta/2a/2(8) (8) =H0的接受域为的接受域为3.3554-3.353.354 计算统计量计算统计量U的值的值=3接受原假设接受原假设 H0 ： m= 1.5m= 1.51 设总体 样本观测值为1.34 1.41 1.38 1.39 1.38 1.41 1.37 1.38 1.34 1.40 是否认
25、为 ( 显著性水平为=0.05) 1 提出待检验的提出待检验的假设假设解解2 选取检验统计量选取检验统计量若假设成立若假设成立方差的检验3 对于给定的检验水平对于给定的检验水平a a ，查表，查表2.719.04 计算统计量计算统计量c c2 2 (n-1)的值的值8.96接受原假设接受原假设H0 ： s s2 2 = = 0.0252第16次2 抽取10件零件,测得直径的样本均值为 ,样本方差为 , 已知机器正常情况下 ,判断机器工作是否正常(1-=0.95)1 提出待检验的提出待检验的假设假设解解2 选取检验统计量选取检验统计量若假设成立若假设成立3 对于给定的检验水平对于给定的检验水平a
26、 a ，查表，查表2.719.04 计算统计量计算统计量c c2 2 (n-1)的值的值4.959接受原假设接受原假设H0 ： s s2 2 = = 0.3923 某厂生产的电缆 , 抗拉强度现从改进工艺后生产的电缆中抽取10根,测量抗拉强度,样本均值为 方差为 ,问 新工艺生产的电缆抗拉强度，其方差是否有显著变化 ? (=0.05)1 提出待检验的提出待检验的假设假设解解2 选取检验统计量选取检验统计量若假设成立若假设成立3 对于给定的检验水平对于给定的检验水平a a ，查表，查表2.719.04 计算统计量计算统计量c c2 2 (n-1)的值的值9.358接受原假设接受原假设H0 ： s s2 2 = = 8224 零件的直径 ，该厂承诺 ，现从产品中抽取10件，测得直径样本均值为 ，方差为 ,问在显著性水平=0.05下,该厂承诺是否可信? 1 提出待检验的提出待检验的假设假设解解2 选取检验统计量选取检验统计量若假设成立若假设成立3 对于给定的检验水平对于给定的检验水平a a ，查表，查表2.719.04 计算统计量计算统计量c c2 2 (n-1)的值的值14.5接受原假设接受原假设H0 ： s s2 2 = = 0.392
